二維數據 - 明誠

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：105.06.22 範

圍 4-2二維數據分析 班級 一年____班 姓 座號 名

一、填充題(每題10分) 1. 已知

100 100 100

2 2

1 1 1

( _{i X}) 36, ( _{i Y}) 49, ( _{i X})( _{i Y}) 28

i i i

x  y  x  y 

  

      

  

^{，則X 與Y的相關係數r ．}

答案： ² 3

解析： 相關係數

100 1

100 2 100 2

1 1

( )( ) 28 2

36 49 3

( ) ( )

i X i Y

i

i X i Y

i i

x y

r

x y

 

 



 

 

  

 



 

2. 五位同學參加一項包含數學與英文的能力競賽，每科滿分為10分，成績如下表：

數學

9 7 8 6 5

英文

6 7 10 8 9

則x與y的相關係數為 ，y對x的迴歸直線方程式為 . 答案： 0.4 ；2x5y54

解析： ¹(9 7 8 6 5) 7,

x 5

       1

(6 7 10 8 9) 8

y 5

      

5 5

2 2

1 1

( _{i x}) 4 1 1 4 10, ( _{i y}) 4 1 4 1 10

i i

x  y 

 

           

 

5

1

( _i )( _{i y}) 2 ( 2) 1 2 ( 2) 1 4

i

x x y 



           



^{4 0.4}

10 10

r 

   

( )

y

y x

x

y r x

 

     10 54 2

: 8 ( 7)

10 4

5 5

L y    10 x  y  x

3. 下圖為變數X 與Y 的散布圖，如下圖一至五所示，每個圖都有9個點，X 與Y的相關係數依序為

1, , , ,2 3 4 5

r r r r r ，試比較r r r r r₁, , , ,_{2 3 4 5}的大小順序為 .

答案： r₁    r₄ r₂ r₅ r₃

圖一 圖二 圖三 圖四 圖五

圖二 ， r₂ 0 圖三為負相關， r₃ 0 圖四為正相關， r₄ 0 圖五為對稱圖形， r₅ 0 故r₁   r₄ r₂ r₅ r₃

4. 設3筆資料(1, 3), (2, a), (3, b)的迴歸直線方程式是y 4 x，則數對( , )a b __________.

答案： (2, 1)

解析： 1 2 3

3 2

x  ^{ } 

 ，又( _x, _y)代入y  4 x _y  4 _x 4 2 2 3 3

 a b



3

  a b ，又 _y ^y ( _x)

x

y r x

 

     y 2

3

1 3

2 1

( )( )

( 2)

( )

i x i y

i

i x

i

x y

x x

 







 

  







即迴歸直線的斜率為

3

1 3

2 1

( )( )

1

( )

i x i y

i

i x

i

x y

x

 







 

 







2 2 2

(1 2)(3 2) 0 1 ( 2) 3

( 1) 0 1 2 1

b b

      

   

        b 3 2 b 1,a2 故( , )a b (2,1) 5. 若散佈圖上任一點( , )X Y 均滿足Y 2X 10，則X 與Y的相關係數為 . 答案： 1

解析：所有點均在一條正斜率的直線上 r 1

6. 已知兩組變量X 與Y 共10筆資料，若平均數_x 4,_y 3，且Y對X 的迴歸直線過點(0,1)，則 迴歸直線方程式為 .

答案： 1 ¹ y 2x

解析： : _y ^y ( _x)

x

r x

L y 

 

    ，

過(0,1)代入 1 3 (0 4) ¹

2

y y

x x

r r

 

      1 1

3 ( 4) 1

2 2

y x y x

      

7. 分析一組10個二維數據得到

10

1

5, 7, 3, 5, ( )( ) 45

X Y X Y i X i Y

i

x y

     



   



   ^{，則Y 對X 的迴}

歸直線為 ． 答案： y0.5x4.5

解析： ¹

2 2

1 1

( )( ) 1 45

10 3 5 0.3

( ) ( )

( )( )

n

n i x

i X i Y

i

i X i Y

i i

i y

i

n n

x y

x y

r

x

x y n

  y

 

 

 









 

  

   

 







 

Y對X 的迴歸直線為 _y ^y ( _x)

x

y r x

 

     7 0.3 ⁵( 5) 0.5 4.5 y  3 x  x 8. 有10筆資料統計如下

10

1 i 270,

i

x





 ¹⁰

1 i 360,

i

y





 ^{10 2}

1

7434,

i i

x





 ^{10 2}

1

13185,

i i

y





 ¹⁰

1 i i 9864

i

x y





 ^，則X與Y 的相關係數 = __________.

答案： 0.8

解析： 27,_x  _y 36

10

1

10 10 2 2

2 2 2 2

1 1

9864 10 27 36

0.8 7434 10 27 13185 10 36

i i i

i i

i i

x y

x y

x y n r

x n y n











 

   

   

    

  



 

9. 某校高一n位同學，測得平均身高_x 172cm，標準差_x 7.6 cm，平均體重_y 72 kg，標準

差_y 15.2 kg，身高與體重的相關係數為r0.5，則體重對身高的迴歸直線方程式為_____.

答案： y 100x

解析： _y ^y ( _x)

x

y r x

 

     15.2

72 0.5 ( 172)

y   7.6 x  y 72 x 172   y 100x 10. 已知兩變數X Y, 的數據如右：

若Y對X 的迴歸直線為 ^{3 1} 2 2

Y   X ，則k值為 . 答案： 3

解析： 迴歸直線 ^{3 1} 2 2

Y   X 必過( _X, _Y)

故 ^{1 2 4 5} 3, ^{2 2 5 9}

4 4 4

X Y

k k

  ^{  }    ^{  }  ^ 9 3 1

3 3

4 2 2

k     k

11. 設兩組資料x y, . 若y對x的最適合直線為 ² 28

y5x 且x的平均數為50. 今 ¹ 15, s 2x

1 3

t 4y ，若t對s的最適合直線為tas b ，則數對( , )a b ____________.

答案： ( , 7)¹ 5

解析： 將_x 50代入 ² 28

y 5x ，得 2

48, 5

y xy

x

y r 

 ^  ^

 1  ^{1 1 1}

X     

Y   k  

t對s的最適合直線 _{t st} ^t ( _s)

s

t  r  s 

    

1

4 ( ) 1[ ]( )

1 2

2

y y

t xy s t xy s

x x

t r s t r s

 

   

 

      

1 2

9 ( 10)

2 5

t s

     ，即 ¹ 7

t5s ，∴( , ) (1 ) 5, 7 a b 

12. 設抽樣某班8位學生的數學成績( )x 與英文成績( )y ，得到平均數、標準差與相關係數如下﹕

x 65,

  _y 70,_x 10,_y 5,r0.8

(1)請寫出英文成績( )y 對數學成績( )x 的迴歸線方程式：______________.

(2)若此班上某位同學的數學成績60分，請預測此生的英文成績為______________.

答案： (1) 2 44 5

y  x(2)68分

解析： (1)迴歸線方程式 _y ^y ( _x)

x

y r x

 

     70 5 ( 65) 0.8 10

y   x ， 2

44 5 y  x

(2)數學x60代入：英文 2

44 60 68

y  5  （分）

13. 一組二維數據滿足下列的條件：

50 50 50 50 50

2 2

1 1 1 1 1

, 250, 1200, 1500, 900

i i i i i i

i i i i i

x p y x y x y

    

    

    

^{，已知y對x的迴歸直線方程式為}

2 21

5 5

y x ，若相關係數為r，則數對( , )p r  . 答案： (100, )⁴

5 解析：

50 50

1 1

; 250 250 5

50 50

i x i y

i i

x p  p y 

 

      

 



將( , 5) 50

p 代入 ^{2 21}

5 5

y x 得p100

50 2

2 2

1 1200

2 20

50 50

i i

x x

 



^x    



50 2

2 2

1 1500

5 5

50 50

i i

y y

 



^y    

又^{2 2 5 4}

5 5 20 5

y x

r  r r

       4 ( , ) (100, )

p r 5

 

14. 有n個觀測點( ,x y_{1 1}), (x y₂, ₂),…, (x y_n, _n)在散布圖上，若這n個點恰好在同一直線上，且其中兩點 的坐標為(15, 30), (30, 40). 若變量X的算術平均數為30，標準差為6，則Y的算術平均數為 __________，標準差為___________.

解析： 迴歸直線方程式即 30 40 30 15 30 15 y

x

  

 

30 2( 15)

y 3 x

    2

3 20

y x

  

2 20

y 3 x

    2

30 20

 3  40

2 2

6 4

3 3

y x

     

15. 某次段考，某班英文平均60分、標準差4分；數學平均55分、標準差8分，而這兩科成績之相

關係數為0.7. 後來調整分數，英文將原成績乘以1.2再減3分；數學將原成績乘以0.6再加25分，

則調整分數後，兩科間之相關係數為____________.

答案： 0.7

解析： r_{1.2X38,0.6Y25} r_{X Y,} 0.7(因為1.2與0.6同號)