高雄市明誠中學高二數學平時測驗日期

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(1)高雄市明誠中學高二數學平時測驗範. Chap1 空間向量. 圍. 日期：107.03.20. 班級二年____班姓名. 座號. 一、填充題(每題 10 分) 1. a  (1,1, 2) ﹐ b  (3 ,1, 3) ﹐求 | 2 a  3 b | ____________﹒ 解答. 5 3. 解析. 2 a  3 b  (7 ,  1,  5) | 2 a  3 b | 49  1  25  5 3 ﹒. 2. OA  (2,1, 3) ﹐OB  (1,0, 2) ﹐已知 OC  OA  t OB ﹐若 OC 平分 AOB﹐且 t  0﹐求 t 之值為____________﹒ 解答解析. 70 5. OC 為 OA ﹐ t OB 所成平行四邊形之對角線﹐平分夾角﹐表示此四邊形為菱形﹐ ∴ | OA |  t | OB |  14  t 5 ﹐∴ t . 14 70  ﹒ 5 5. 3.設平行四邊形 ABCD 其中三頂點坐標為 A(1,  7,3)﹐B(  3,  18,  4)﹐ C(1,  7,  9)﹐ 則 D 點的坐標_________﹒ A. D. B. C. 解答. (5,4,  2). 解析. AC 中點即為 BD 中點﹐設 D(x,y,z)﹐. 1  1 7  7 9  3 x  3 y  18 z  4 ( , , )( , , )  x  5﹐y  4﹐z   2﹐∴D(5,4,  2)﹒ 2 2 2 2 2 2 4.空間中三點 P(14,6,8)﹐Q(2,0,12)﹐R(8,10,  4)﹐試判別△PQR 的形狀為____________﹒ 解答. 等腰直角三角形. 解析. PQ  (2  14)2  (0  6)2  (12  8) 2  14 QR  (8  2)2  (10  0)2  (4  12)2  14 2 RP  (8  14)2  (10  6)2  (4  8)2  14 2. 2. 2. ∵ QR  PQ  RP 且 PQ  RP ﹐∴△PQR 為等腰直角三角形﹒ 5.設空間中三點 A(1,2,3)﹐B(2,4,1)﹐C(6,2,4)﹐試求 (1)若 v  AB  k AC ﹐且 AB  v ﹐則實數 k 之值為____________﹒ (2)△ABC 的面積為____________﹒ 1.

(2) (3)C 點到直線 AB 的最短距離為____________﹒. 15 ;(3)5 2. 解答. (1)  3;(2). 解析. (1) AB  (1, 2, 2) ﹐ AC  (5,0,1) ﹐ v  ( 1 , 2, 2k). ( 5 , 0 , 1) k ( 1  5 k﹐ , 2, 2. ). ∵ AB  v ﹐∴ AB  v  0  1  5k  4  4  2k  0 ﹐∴k   3﹒ (2) AB  (1, 2, 2) ﹐ AC  (5,0,1) ﹐. ∴△ABC 的面積 . 1 15 (3)△ABC 的面積   AB  d (C , AB)  2 2. 1 15 9  26  (5  0  2)2  ﹒ 2 2.  3 d (C , A B) 1﹐∴ 5 d (C , AB)  5 ﹒. 6.在空間坐標系中﹐點 P 在第一卦限﹐若 P 到 x 軸﹐y 軸﹐z 軸之距離各為 5﹐ 34 ﹐ 41 ﹐求 P 點坐標為 ____________﹒ 解答. (5,4,3). 解析. 令 P(x,y,z)﹐∵P 在第一卦限﹐∴x  0﹐y  0﹐z  0﹐ P 至 x 軸之投影點為(x,0,0)﹐ ∴P 至 x 軸距離為 y 2  z 2  5 P 至 y 軸距離為 x 2  z 2  34 P 至 z 軸距離為 x 2  y 2  41  y 2  z 2  25  x  5     x 2  z 2  34   y  4  2 z  3 2  x  y  41 . ∴P(5,4,3)﹒. 7.如下圖﹐若 A 點在平面 E 外﹐直線 L 在平面 E 上﹐D 點在直線 L 上﹐且 AB  平面 E﹐ CB  直線 L﹐B﹐C 為垂足﹐若 AB  8 ﹐ BC  6 ﹐ CD  2 11 ﹐則 AD  ____________﹒ A. D E. B C L. 解答. 12. 解析. 作圖如下﹕. 2.

(3) A 8 E D B 6 2 11 C L. 由三垂線定理可知 AC  L ﹐∴ AC  10 ﹐ 2. 2. 2. AD  CD  AC  44  100  144 ﹐∴ AD  12 ﹒. 8.有一正四角錐﹐底面是邊長 10 公分的正方形﹐側面是腰長 13 公分的等腰三角形﹐若底面與側面的夾角為. ﹐則 cos 之值為____________﹒ 解答. 5 12. 解析. 作圖如下﹕ A 13 E M. D H. B. C. 10. 由圖﹐ AM  132  52  12 ﹐ MH  5 ﹐∴△AMH 中﹐ cos  . MH 5  ﹒ AM 12. 9.如圖﹐空間坐標中﹐O 為原點﹐ABCDEF 是一個對稱的屋頂狀的五面體﹐E 在正 z 軸上﹐ AE  DE ﹐ABCD 是 xy 平面上的矩形﹐ EF 與 y 軸平行﹐ AD  10 ﹐ AB  8 ﹐ OE  5 ﹐求 AF  BD  ____________﹒ z E. F C y. D A. O B. x. 解答. 14. 解析. 令 A(5,0,0)﹐B(5,8,0)﹐D(5,0,0)﹐F(0,8,5)﹐則 AF  (5,8,5). 10.設 A(1,0,1)﹐B(3,  1,2)﹐C(0,1,  1)﹐求 (1) AB 在 AC 上的正射影為____________﹒ (2) AB 在 AC 上的正射影長為____________﹒ 解答. 5 5 5 5 6 (1) ( ,  , ) ;(2) 6 6 3 6. 解析. (1) AB  (2, 1,1) ﹐ AC  (1,1, 2) ﹐ 3. ﹐BD  (10, 8,0) ﹐故 AF  BD  14 ﹒.

(4) AB 在 AC 上的正射影為. (. AB  AC. )AC . | AC |2. 2  1 2 5 5 5 ( 1 , 1 ,  2 )  ( , ﹒ , ) 6 6 6 3. 5 5 5 5 6 (2)正射影長為 ( )2  ( ) 2  ( ) 2  ﹒ 6 6 3 6 11.A﹐B﹐C﹐D 為一個正四面體之四頂點﹐ 為 AB 與 CD 之夾角﹐則 cos  ____________﹒ 解答. 0. 解析. 如圖﹕ A. B. D C. AB  CD  AB  ( AD  AC )  AB  AD  AB  AC  0 ﹐∴ cos . AB  CD.  0﹒. | AB || CD |. 12.三角錐（四面體）ABCD﹐頂點 A﹐底面為△BCD﹐已知 AB  AC  AD  21 ﹐底邊 BC  CD  DB  6 ﹐ 求(1)平面 ABC 與底面 BCD 的銳夾角為____________﹒ (2)若 AH 垂直於底面 BCD 於 H﹐則高 AH 的長為____________﹒ 解答. (1)60;(2)3. 解析. (1) AM  21  9  2 3 ﹐ DM  3 3 ﹐ ∴ cos  (2) DH . 12  27  21 18 1   ﹐∴  60﹒ 2  2 3  3 3 36 2. 2 DM  2 3 ﹐∴ AH  21  12  3 ﹒ 3 A. 21 B. 21 D. 3. M 3H C. 6. 13.一正立方體之稜長為 a﹐共頂點的三稜為 AB ﹐ AC ﹐ AD ﹐則 A 到平面 BCD 的距離為_____﹒ 解答解析. 3 a 3. 設 A 到平面 BCD 之距離為 h﹐則四面體 ABCD 體積  四面體 CABD 體積 1 3 1 a2 3 3   ( 2a ) 2  h    a  h  a ﹐∴A 到平面 BCD 之距離為 a﹒ 3 4 3 2 3 3. 4.

(5) C. B A. D. 14.空間中一點 A(  7,3,  4)﹐則 A 到 x 軸距離為____________﹒ 解答. 5. 解析. A(  7,3,  4)對 x 軸投影點(  7,0,0)﹐∴所求  32  (4)2  5 ﹒. 15.下圖是一個四角錐﹐它的底面 ABCD 是一個邊長為 2 的正方形﹐四個側面均是腰長為 3 的等腰三角形﹐ 則(1)此四角錐的體積為____________﹒ (2)相鄰兩側面的夾角為 ﹐sin  ____________﹒ O D. C. A. B. 4 3 ;(2) 3 2. 解答. (1). 解析. 1 4 (1)體積   22  1  ﹒ 3 3 O 3 D. C. 1. 2 A. 2 2. B. 1 1 1 2 2 (2)(i) △OAB   2  2  2 ﹐又 △OAB  OB  AH  2   3  AH ﹐∴ AH  ﹒ 2 2 2 3 2 2 (ii) AH  CH  ﹐ AC  2 2 ﹐∴ cos  3. O D 2 2 A. C 2. H 2 2 3. B. 5. 8 8 8  8 1 3 3 3  3   ﹐故 sin   ﹒ 2 2 2 2 2 2 16 2  3 3 3.

(6) 16.如圖﹐有一個各稜等長的金字塔形﹐設其四個正三角形的側面中相鄰二面的夾角為 ﹐側面與底面之夾角為 ﹐則(1)cos  ____________﹒ (2)sin  ____________﹒. 解答. 1 6 (1)  ;(2) 3 3. 解析. (1)如圖﹐設 PB 之中點為 M﹐△PAB﹐△PBC 都是正三角形  AP  AB ﹐ CP  CB ﹐∴ AM  PB ﹐ CM  PB ﹐. 令 AP  a ﹐則 AM  CM . 故 AMC  （二面角的定義）﹐. 2 2 3 a ﹐又 AC  AB  BC  a 2  a 2  2a ﹐ 2. 3 3 2 2 2 ( a 2  a 2  2a 2 ) AM  CM  AC 1 4 △ACM 中﹐由餘弦定理得 cos    4  ﹒ 3 3 2 AM  CM 2( a 2 ) 4 P M C A. B. (2)設 E﹐F 分別為 BC ﹐ AD 之中點 3 △PEF 中﹐ PE  a  PF ﹐ EF  a ﹐ cos   2. ∴ sin   1  cos 2  . (. 3 2 3 a)  a 2  ( a) 2 1 2 2  ﹐ 3 3 2 aa 2. 6 ﹒ 3. P D. C E. F A. B. 17.四面體 A  BCD 中﹐ AC  AD  BC  BD  5 ﹐ CD  8 ﹐ AB  4 ﹐若平面 ACD 與平面 BCD 的兩面角為 ﹐ 求 cos  ____________﹒. 6.

(7) A. D B C. 解答. 1 9. 解析. 取 CD 中點 M﹐則 CM  4 ﹐得 AM  BM  52  42  3 ﹐故 cos . 32  32  42 1  ﹒ 2  3 3 9. 18.空間中 A(2,  1,6)﹐B(12,9,  4)﹐若 P 點在 AB 上且 AP：BP  2：3 ﹐則 P 的坐標為________﹒ 解答. (6,3,2) 2. 解析. 如圖﹐. A(2, 1,6). 3 P B(12,9, 4). P(. 6  2 4  3 1 8 1 8 8 , ,  ) P 5 5 5. ( 6, 3, 2 ). 19.已知 A(1,0,1)﹐B(3,  1,2)﹐C(0,1,  1)﹐求 (1) AB 在 AC 之正射影長為____________﹒ (2) AB 在 AC 之正射影為____________﹒ (3)點 B 在 AC 上之投影點坐標為____________﹒. 5 5 5 11 5 8 5 6 ;(2) ( ,  , ) ;(3) ( ,  , ) 6 6 3 6 6 3 6. 解答. (1). 解析. (1)∵ AB  (2, 1,1) ﹐ AC  (1,1, 2) ﹐ AB 在 AC 之正射影長為. |. AB  AC. ||. 2  1  2 6. | AC |. |. 5 6. . 5 6 ﹒ 6. (2)如圖﹐ B. A. H. C. AB 在 AC 之正射影為 (. AB  AC | AC |2. ) AC  (. 2  1  2 5 5 5 )(1,1, 2)  ( ,  , ) ﹒ 6 6 6 3. 5 5 5 11 5 8 (3) OH  OA  AH  (1,0,1)  ( ,  , )  ( ,  , ) ﹐ 6 6 3 6 6 3. 11 5 8 ∴投影點坐標為 ( ,  , ) ﹒ 6 6 3 7.

(8) 20. 下列哪些選項為真﹕____________﹒(複選) (1)空間中﹐若二相異直線不相交﹐則它們必定平行﹒ (2)長方體中的四條平行稜線被一平面恰截出四個點﹐則連接四點的四邊形必成為平行四邊形﹒ (3)空間中﹐已知有一平面 E 過相異兩點 A﹐B﹐且與另一平面 F 的銳角夾角為.  ﹐則滿足此條件的平面恰有兩個﹒ (4)空間中﹐若二相異直線同時垂直固定的一直線﹐則此二相異直線必平行﹒ (5)設直線 AB 垂直平面 E 於 B 點﹐L 為平面 E 上不過 B 點的一直線﹐若直線 AC 垂直 L 於 C 點﹐則直線 BC 垂直 L﹒ 解答 (2)(3)(5) 解析 (1)╳﹕空間中﹐不相交的兩相異直線可能平行或歪斜﹒ (2)○﹒. ﹐正方體中的 3 線﹒. (3)○﹒ (4)╳﹕反例﹐見圖. (5)○﹕三垂線定理的逆定理﹒ 21.設 ABCD 為正四面體（各面均為正△）﹐其稜長 a﹐設 M 為 CD 中點﹐ AMB  ﹐則(1)其高 AG  ______________﹒ (2)體積為____________﹒ (3)全表面積為____________﹒ (4)cos  ____________﹒ 1 6 2 3 a ;(2) a ;(3) 3a 2 ;(4) 3 3 12. 解答. (1). 解析. (1)∵稜長為 a﹐底面△BCD 的中線 BM 長為. 3 a ﹐G 為重心﹐ 2. 2 3 3 a)  a﹐ 3 2 3. ∴ BG  (. 2. 2. 2. 1 3. 2 3. △ABG 中﹐ AG  AB  BG  a 2  a 2  a 2  AG  1 3. (2)體積  (底面積)  高  . 1 3. 3 2 6 2 3 a  a a ﹒ 4 3 12. (3)全表面積  4(△BCD)  4 . 3 2 a  3a 2 ﹒ 4. 1 3  a GM 3 2 1   ﹒ (4)△AGM 中﹐ cos  3 AM 3 a 2. 8. 6 a﹒ 3.

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