高雄市明誠中學 高二數學平時測驗
日期：92.10.24 班級範
圍 2-1
座號
姓 名
得 分
※每題十分
1. 試敘述三垂直線定理；並證明之。
「敘述」：
AB⊥平面E於B，直線L∈E，BC⊥L於C，則AC ⊥L
「證明」：
於直線L上取一點D≠C，連接AD BD, ，
2 2 2
AB⊥BC⇒ AB +BC = AC
∵
又BC⊥L於C ⇒BD2 =BC2+CD2 AB⊥
∵ 平面E於B ⇒AB⊥BD，故
2 2 2
2 2 2
2 2
( ) (
AD AB
2) BD
AC B C
= − C BC CD
AC D AC L
= +
+ +
= + ⇒ ⊥
L A
B C
D
E
2. AB⊥E, P,Q∈L, BP⊥L, AB=5, BP=12, AQ= 180， 則BQ=________；PQ=_________。
L A
B E
P
答案： 155, 11 Q
詳解：BQ= AQ2−AB2 = 180 25− = 155
2 2
155 144 11 PQ= BQ −PB = − =
3. (每格4分)正四面體A−BCD，AB=6，則
(1)高AG=__________。 (2)表面積為____________。
(3)體積V =__________。 (4)兩平面ABC、BCD夾角
θ
，則cosθ
=__________。(5)兩歪斜稜AB,CD間距離為__________。
答案：(1) 2 6 (2) 36 3 (3)18 2 (4) 13 (5)3 2 詳解：(1) 6 2 6
h= 3 a= (2)4 3 2 4 4 a
∆ = × =36 3
(3) 2 3 2 63 18 2
12 12
V = a = × = (4) 兩平面ABC、BCD夾角
θ
cos 1⇒ θ =3
(5) 歪斜稜AB,CD間距離 2 3 2
2 a
= =
3、( ACE ) 下列敘述何者正確？(複選)
(A)一線及線外一點，決定唯一平面 (B)不相交的兩直線，決定唯一平面 (C)兩平行線，決定唯一平面
(D)相異三點決定唯一平面
(E)相交於一點的兩直線，決定唯一平面
解析：(D)相異不共線三點，決定唯一平面 (B)歪斜線，不共平面
4、( BC )下列敘述何者正確？(複選)
(A)垂直同一直線的相異兩直線必平行
(B)平面E1平行平面E，平面E2垂直平面E，則平面E1垂直E2 (C)平行同一平面之相異兩平面必平行
(D)垂直同一平面之相異兩平面必平行 (E)平行同一平面的相異兩直線必平行
解析：(D)此二平面可能相交於一直線 (B)垂直於同一直線之二直線，可能為歪斜線 (A)平行同一平面的二直線可能相交於一點，或是歪斜
5.長方形紙ABCD，AB=4, AD=3，沿著對角線BD摺起，使A點在平面BCD上之投影恰
在CD邊長，則此時A、C兩點間的距離為_______。
答案： 7 解析：
設A在平面BCD上之投影點為A′，A′在CD邊上AA′⊥平面 BCD，又A′C⊥CB ∴AC⊥CB(三垂線)
2 7
2 − =
= AB BC AC
6.空間中有一點A，在平面E上的投影為B，在平面E上有C, D兩點且BC⊥CD於C，若
4 ,
5 ,
13 = =
= CD BC
AD ，則AB =_______。
答案：8 2
解析：由三垂線定理知AC⊥CD ∴AC =12 又AB⊥BC ∴AB= 122 −42 =8 2
7、直三角錐ABCD中，AB= AC = AD=5, BC =CD= BD=6，若平面ABC與平面ABD之 夾角為
α
，平面ABC與平面BCD的夾角為β，則cosα
=______，cosβ =______。答案：32 7 ;
4 3
解析：
BC之中點M，AM =4且AM⊥BC,DM =3 3且DM⊥BC
∴β =∠AMD ∴
4 3 3
3 4 2
25 27
cos 16 =
⋅
⋅
−
= +
β
過C作CN⊥AB於N ∵△ABC≅△ABD ∴DN⊥AB ∴BN =3.6,CN =DN =4.8
∴
α
=∠CND ∴32 7 5 )
)(24 5 (24 2
36 5 )
(24 5 )
(24 cos
2 2
=
⋅
− +
α
=8、設一長方體之長、寬、高依次為a, b, c，試求其對角線之長____________。
答案：如下圖中
對角線 2 2 2 2 2 2 2 2
c b a CG
BC AB CG
AC
AG= + = + + = + +
