高雄市明誠㆗㈻ 高㆒數㈻平時測驗 ㈰期：92.04.16 範 班級
圍
2-2&3㆔角函數、
簡易測量+Ans 座號
姓
㈴
㆒. 單㆒選擇題 (每題 10 分)
1、( C ) 直角△ABC，∠C =90°，若BC =A，則AC=(A)A (B)A (C)A
(D) (E)
A
tan sinA cotA
A cos
A AcscA
2、( A ) 設圓O半徑為r，則其內接正m邊形之周長為(A)
mr 180m° sin
2 (B)
mr 180m° sin (C)mr 360m°
sin (D)
mr 180m° tan
2 (E)
mr 360m° sin 2 解析：周長為
r m
m× × °
× 180
sin 2
3、( C ) 下列選項何者為負數？(A) 3−tan54° (B)1−cos54° (C) (D)
°
−
° sin54 54
cos
°
−cot54
3 (E) 2−csc54° 二. 填充題 (每題 ０ 分)
1、甲乙丙三人放風箏，三人放出的線分別為40公尺，30公尺，25公尺，又線與地面分別
成 , , ，則三人所放風箏離地面的高度_________最高，___________最低。
若甲想使風箏離地面的高度與乙相同，則甲應___________(再放出或收 回)____________公尺的線才可如願。
°
30 45° 60°
答案：丙，甲，放出，30 2−40
解析：40sin30°=20 ,30sin45°=15 2≒21.21 25sin60°≒21.65 ∴丙最高，甲最低 ∴甲應再放出k公尺的線，使(40+k)⋅sin30°=30⋅sin45° ∴k =30 2−40
2、如圖欲測量山高h，先自山腳外一點A，測出山的仰角為 ，向山走30公尺後到達D，
再測出其仰角為 ，則山的高度為____________公尺。
° 30
° 45
答案：15( 3+1)
解析：設山高為h公尺 ∴CD=h ,AC = 3h ∴30= 3h−h ∴h=15( 3+1)
3、如圖，公園中有A, B兩個涼亭，且此二涼亭被一荷花池隔開，在公園
中找到一點C，並測得AC =10公尺，BC=20公尺，且∠ACB=60°， 則A, B之間的距離為_____________公尺。
答案：10 3 解析：
過A作AD⊥BC於D ∴AD=5 3 ,CD=5
∴DB=15 ;AB= (5 3)2 +152 =10 3
4、△ABC中若AB= AC=12, 則△ABC的面積為
_______。
°
=
∠B 15
答案：36
解析： 36
2 12 1 30
sin °× × =
× 12
5、設0° < ∠ <A 20 , sin° A=cos4A，則∠A=______。 答案：18°,
解析：sinA=cos 4A⇒ ∠ + ∠ = °A 4 A 90
6、當45°<θ <90°時， (tanθ +cotθ)2 −4 = ______。 答案：tanθ −cotθ
解析： (tanθ +cotθ)2 −4 = (tanθ −cotθ)2 = tanθ −cotθ ∵45°<θ <90°
∴tanθ >cotθ
7、利用三角函數表與內插法求(1)設θ為銳角，cotθ =2.699，則θ =______。 (2)sin69°17' = ______。
角度 sin cos tan cot sec Csc
° 20 00'
10 '
20' 30 '
40' 50 '
.3420 .3448 .3475 .3502 .3529 .3557
.9397 .9387 .9733 .9367 .9356 .9346
.3640 .3673 .3706 .3739 .3772 .3805
2.747 2.723 2.699 2.675 2.651 2.628
1.064 1.065 1.066 1.068 1.069 1.070
2.924 2.901 2.878 2.855 2.833 2.812
° 70 00'
50 '
40' 30 '
20' 10 '
° 21 00'
10 '
20' 30 '
40' 50 '
.3584 .3611 .3638 .3665 .3692 .3719
.9336 .9325 .9315 .9304 .9293 .9283
.3839 .3872 .3906 .3939 .3973 .4006
2.605 2.583 2.560 2.539 2.517 2.496
1.071 1.072 1.074 1.075 1.076 1.077
2.790 2.769 2.749 2.729 2.709 2.689
° 69 00'
50 '
40' 30 '
20' 10 '
cos sin cot tan csc sec 角度
答案：(1)20°20' (2) 0.9353
解析：(1)cotθ =2.699 ∴θ =20°20' (2)sin69°10' =0.9346
sin 69 17° '=? sin69°20' =0.9356 7
0.0007 10 0.001
a a
= ⇒ = ∴sin 69 17° '=0.9346 0.0007+ = 0.9353
8、一梯子靠在牆上，梯長3公尺，梯子與地面成θ 角度，且
5
cosθ =3，則牆腳到梯子上端 的高度為___________公尺，又梯子突然下滑，且在梯子與地面成 角時停止，則梯 子下端移動之距離為____________公尺。
° 30
答案： 5 12,
5 9 2
3
3 −
解析：高度為
5 12 5 3 4 sin
3⋅ θ = × = 下端距離原來為
5 cos 9
3 θ = ，
下滑後距離變為
2 3 30 3
cos
3 °= ，共移動 )
5 9 2
3
(3 − 公尺
9、如圖△ABC，∠B=30° ,∠A=45°，且AB=10 ,CD⊥AB於D，則CD=______，又 ______
=
AC 。
答案：5( 3−1)，5( 6− 2)
解析：設CD=x，則BD= xcot30°= 3x AD=xcot45°=x
∴x+ 3x=10
∴x=5( 3−1) AC =CD⋅csc45°=5( 6− 2)
10、設x2 +(tanθ +cotθ)x+1=0有一根為2− 5，則sinθcosθ = ______，又另一根為 ______。
答案：10
5, −(2+ 5)
解析：有一根為2− 5，另一根為β ∴(2− 5)β =1 ∴β =−(2+ 5) ∴−(tanθ +cotθ)=2− 5+β =−2 5 ∴ tan cot 2 5
cos sin
1 = θ + θ =
θ θ ∴
10 5 5 2 cosθ = 1 = θ
sin
11、設45°<θ <90°，若
2 cot 5
tanθ + θ = ，則
(1) sinθ⋅cosθ =______, (2)sinθ +cosθ =______, (3)sinθ −cosθ =______, (4)sinθ = ______。
答案：(1) 5 2 (2)
5
3 (3)
5
1 (4)
5 2 解析：(1)
θ θ θ
θ sin cos
cot 1
tan + = ⋅ ∴
5 cos 2 sinθ⋅ θ = (2)
5 ) 9 cos
(sinθ + θ 2 = ∴
5 cos 3
sinθ + θ =± (負不合) (3)(sinθ −cosθ)2 ∴
5 cos 1
sinθ − θ =± (負不合) (4)∵45°<θ <90°時sinθ >cosθ ∴
5 sinθ = 2
㆔. 計算與證明題 (每題 10 分)
1、在海岸上有A, B兩瞭望臺，相距2哩，海中有一船C，在A臺測得 ，在B
臺測得 ，問瞭望臺A和船C相距多少哩？
°
=
∠BAC 60
°
=
∠ABC 75
答案：自B作BD⊥AC於D ∴∠ABD=30° ,∠CBD=45°
∵AB=2 ∴AD=1 ,BD= 3 ∴CD= 3 ∴AC=1+ 3
2、一梯子靠在牆上，梯長6公尺，梯子與地面成20°的傾斜角，求牆腳到梯子上端的高度。
答案：sin 20 6
° = ⇒h h=6 sin 20公尺× ° =6 0.3420公尺× =2.052公尺
3、有甲、乙兩棟大樓，相對而立，在兩棟大樓基地連線上一點A，測得甲棟仰角45 ，乙
棟仰角 ，若由A點沿著此基地連線向乙棟移動10公尺後，再測得甲棟仰角30 ， 乙棟仰角 ，試求甲、乙兩棟大樓之高度。
°
° 30
60
°
° 答案：
∴設甲樓高h， 3h−h=10 ∴h=5( 3+1)
設乙樓樓高k， =10
− k3
k ∴k =5(3+ 3)
4、有一人在一塔的正東A處，測得塔頂的仰角為 。他走到塔的東南B處，再測得塔頂
的仰角為 。若A, B的距離為1000公尺，試求塔高。
° 30
° 45
答案：設塔高為x公尺（即CD= x），則 x
x
AD= cot30°= 3 ;DB=xcot45°= x 自B作BE⊥AD於E。因∠BDE=45°，而有
2 2
x DE = DB = ;
2 BE = x ; x x
x
EA )
2 3 1 2 (
3 − = −
=
在直角△ABE中
EA2 +BE2 = AB2 2
2 2
2 1000
) 2 2 3 1
( − + x =
x (4− 6)x2 =10002
6 4 1000
= − x
5、有一艘船向北航行，途中發現北 東的方位有一燈塔．繼續向北航行12公里後，燈塔
在船的南 東。試求航程中船與燈塔的最小距離。
° 30
° 60 答案：
如圖：A表船的第一次位置，B表燈塔的位置，C表船的第二次位置，
自B作BD⊥AC於D，設BD= x公里
則 AD=xcot30°= 3x（公里） x
3 60 3 cot °= x
DC= （公里）
由AD+DC = AC得 12
3 3x=
3x+ 即 =12
3 3
4 x 故
3 3 3
4 12⋅ 3 = x=
° 30
6、有一人在一塔的正東A處，測得塔頂的仰角為60 ，他走到A的正南B處，再測得塔頂
的仰角為 。若A, B的距離為400公尺，試求塔高。
° 答案：
設塔高CD=x公尺，則
60 3
cot x
x °=
AD= （公尺）
BD=xcot30°= 3x 在△ABD中，∠BAD=90°， 所以 BD2 − AD2 = AB2
即 2 2 2 =4002 3
400 8
3 = ⇒
− x x
3x2
16 6 4002
2 = ⋅
⇒ x ⇒ x=100 6（公尺）
7、設方程式x2 +(tanθ +cotθ)x−1=0有一根為2+ 5，試求sinθcosθ 之值。
答案：另一根為 2 5 5
2
1 = −
+
− ，故兩根之和為
−(tanθ +cotθ)=(2+ 5)+(2− 5); tanθ +cotθ =−4 故
4 cosθ =−1 θ
sin 。
8、試證 2sin 1
cos 2 cos sin sin
cos sin
cos 2 sin
2
2 2
−
−
= + +
+
θ
θ θ
θ θ θ
θ
θ
θ 恆成立。
答案：右式
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
cos sin
cos 2 sin cos
sin
) cos )(sin
cos 2 (sin
2
2 +
= +
−
−
= +
9、試證 θ θ
θ θ
θ θ
cos sin
cos sec
cot 1
tan
+
= −
+ 恆成立。
答案：左式
) cos (sin
cos
sin sin cot
1 tan
θ θ
θ
θ θ θ
θ
+
= ⋅ +
右式
) cos (sin
cos sin )
cos (sin
cos
cos 1 cos
sin
cos
sec 2 2
θ θ
θ
θ θ
θ θ
θ θ
θ
θ θ
= + +
= − +
− ∴左式 右式 =
10、有一人在一塔的正東A處，測得塔頂的仰角為α。他走到塔的正西B處，再測得塔頂
的仰角為β。若A, B的距離為a，試求塔高。
答案：
設塔高CD=h，則 AD=hcotα ;BD=hcotβ 由
AB BD
AD+ = ，得hcotα +hcotβ =a h
即
=a +cot )
(cotα β 故
β α cot cot +
= a
h
