表面积、侧面积几何重心与转动惯量计算公式

§4 立体图形的体积、表面积、侧面积 几何重心与转动惯量计算公式

一、 立体图形的体积、表面积、侧面积、几何重心与转动惯量计算公式

图形 体积V、表面积S、侧面积M、几何

重心G与转动惯量*J

a为棱长，d为对角线

a,b,h分别为长,宽,高,d为对角线

体 积 V a³ 表面积 S6a² 侧面积 M 4a² 对角线 d  3a

重 心 G在对角线交点上

2 GQ a

体 积 V abh

表面积 S2(abahbh) 侧面积 M 2h(ab) 对角线 d  a² b² h² 重 心 G在对角线交点上

2 GQ h 转动惯量

取长方体中心为坐标原点,坐标 轴分别平行三个棱边

m h b

J_x ( )

12

1 _{2 2}





m h a

J_y ( )

12

1 _{2 2}





m b a

J_z ( )

12

1 _{2 2}





m h b a

J_o ( )

12

1 ₂  ₂  ₂



(当abh时,即为正方体的情况)

表中m为物体的质量，物体都为匀质.一般物体的转动惯量计算公式见第六章，§3，五.

图形 体积V、表面积S、侧面积M、几何重 心G与转动惯量J

a,b,c为边长,h为高

a为底边长,h为高,d为对角线

体 积 V Fh 表面积 S2FM 侧面积 M (abc)h 式中F为底面积 重 心

2 GQ h

(P、Q分别为上下底重心) 转动惯量

对于正三棱柱(a=b=c)取G为坐标原 点,z轴与棱平行

a m h

a J_z

12 48

3 4  ²



体 积 V a²h 2.5981a²h 2

3

3 

 表面积

ah a

ah a

S 3 3 ² 6 5.1962 ² 6 侧面积 M 6ah

对角线 d  h² 4a² 重 心

2 GQ h

(P、Q分别为上下底重心) 转动惯量

取G为坐标原点,z轴与棱平行 a m

h a J_z

12 5 8

3

5 4  ²



n为棱数,a为底边长,h为高,g为斜高

体 积 V Fh 3

 1

表面积 SM F

侧面积 nag

nF M  ' 2

式中F为底面积,F'为一侧三角形面 积

重 心

4

GQ h (Q为底面的重心)

图形 体积V、表面积S、侧面积M、几何重

心G与转动惯量J

a,b,c,p,q,r为棱长

体积

0 1 1 1 1

1 0

1 0

1 0

1 0

288 1

2 2 2

2 2

2

2 2 2

2 2 2

2

c b a

c p

q

b p r

a q r V 

重心 GQ PQ 4

 1

(P为顶点,Q为底面的重心)

体积 ( ' ')

3 F F FF

V  h  

h为高

a’,a分别为上下底边长,n为棱数,h为高,g为斜 高

式中F',F分别为上下底面积 重心

' '

' 3 ' 2

4 F F FF

F FF F

GQ PQ







 

(P,Q分别为上下底重心)

体 积 _^









 



 









' 2

1 '

3 a

a a a V hF

表面积 SM F'F 侧面积 n a a g M ( ' )

2 



式中F',F分别为上下底面积 重 心 ²_{2 2}²

' '

' 3 ' 2

4 a aa a

a a a a GQ h







 

(P、Q分别为上下底重心)

图形 体积V、表面积S、侧面积M、几何重

心G与转动惯量J

两底为矩形,a’,b’,a,b 分别为上下底边长,h 为 高,a₁为截头棱长

底为矩形,a,b为其边长,h为高,a’为上棱长

r为半径

体积

] ' ' ) ' )(

' (

6[ab a a b b ab

V  h    

' ' '

1 b b

ab b a a



  重心

' ' 2 ' ' 2

' ' 3 ' '

2 ab ab a b ab b a b a ab ab GQ PQ











 

(P,Q分别为上下底重心)

体积 (2 ')

6 a a

V  hb  重心

' 2

'

2 a a

a a GQ PQ



 

(P为上棱中点,Q为下底面重心)

体 积 ^{3 3} 0.52360 ³ 6

3

4 r d d

V     表面积 S4r²

重 心 G与球心O重合 转动惯量

取球心O为坐标原点 J_x J_y J_z r²m

5

 2



 J_o r²m

5

 3

图形 体积V、表面积S、侧面积M、几何重 心G与转动惯量J

[半球体]

r为半径,O为球心

r为球半径,a为弓形底圆半径,h为拱高,为锥 角(弧度)

r为球半径,a为拱底圆半径,h为拱高

体 积 ^{3 3}

12 3

2 r d

V     表面积 S3r² 侧面积 M 2r² 重 心 GO r

8

 3 转动惯量

取球心O为坐标原点,z轴与GO重合 J_x J_y J_z r²m

5

 2



 J_o r²m

5

 3

体 积 V r²h 2.0944r²h 3

2 

  表面积 Sr(2ha)

侧面积 (锥面部分) M r 重 心 (2 )

8

3 r h

GO  转动惯量

z轴与GO重合



 



 



 

 

 sin 2

cos2 cos2

1 15 2

2 ₅   ₂

r J_z





 



  

 cos 2

cos2 3 5 2

3

3  

h m r

体 积

) 3 3 ( ) 3

6 (

2 2

2 h h r h

a h

V    

表面积 S (2rha²)(h² 2a²) 侧面积(球面部分)

) (

2 rh a² h² M     重 心

) 3 (

) 2 ( 4

3 ²

h r

h GO r



 

图形 体积V、表面积S、侧面积M、几何重 心G与转动惯量J

[球台]

r 为球半径,a,

a

分别为上下底圆的半径,h 为 高

R为中心半径,D为中心直径,r为圆截面半径,d 为圆截面直径

体 积 (3 3 ' ) 6

2 2

2 a h

a h

V   

表面积 S (2rha² a'²) 侧面积 M 2rh

2 2 2 2 2 2

2

' 



 



  



 h

h a a a

r 重 心

2 2 2

4 4

' 3 3

' 2

3

h a a

a a GO h





 

₂² ₂² ₂² ' 3 3

' 4 2

2 a a h

h a a GQ h







 

(Q为下底圆心)

体 积 ^{2 2 2 2}

2 Rr 4 Dd

V    表面积 S4²Rr ²Dd 重 心 G在圆环的中心上 转动惯量

取圆环的中心为坐标原点,z 轴垂直 于圆环所在平面

R m

r J

J_{x y} 



 



 



 8 2

5 ₂ ²

J_z r R m



 



 

 ^{2 2}

4 3

图形 体积V、表面积S、侧面积M、几何重 心G与转动惯量J

[圆柱体]

r为底面半径,h为高

R为外半径,r为内半径,h为高

r 为底圆半径,h,H 分别为最小,最大高度,为 截角,D为截头椭圆轴

体 积 V r²h 表面积 S2r(rh) 侧面积 M 2rh 重 心

2 GQ h

(P,Q分别为上下底圆心) 转动惯量

取重心G为坐标原点,z轴垂直底面 h m

r J

J_{x y} 



 



 



 4 3

1 ₂ ²

r m J_z

2

 2

体 积 V h(R² r²)2Rth 表面积 S M 2(R² r²) 侧面积 M 2h(Rr)4hR 式中t为管壁厚,R 为平均半径 重 心

2 GQ h 转动惯量

取z轴与GQ重合 R r m

J_z

2 ) ( ²  ²



体 积 ( ) 2

2 H h

r V  

表面积 



 

 



  

cos 1 1 r2

M S





 



   

 2

h D H r

r

侧面积 M r(Hh)

截头椭圆轴 D 4r² (H h)² 重 心

) (

4 tan 4

2 2

h H r h GQ H

 

  

) ( 2

2tan h H GK r

 

(GQ为重心到底面距离,GK 为重心到轴线OO的距离)

图形 体积V、表面积S、侧面积M、几何重 心G与转动惯量J

h 为截段最大高度,b 为底面拱高,2a 为底面弦 长,r为底面半径,2为弧所对圆心角(弧度)

a,b,c为半轴

体 积

[ (3 ) 3 ( ) ] 3

2 2

2 a r b r a

r b a

V  h   





 



  

  sin  cos

3

sin 1 ³

3

b a hr

侧面积(柱面部分) 2 [( ) ]

a r b b

M  rh  

体 积 V abc 4.1888abc 3

4 

 

重 心 G在椭球中心O上 转动惯量

取椭球中心为坐标原点,z轴与c轴重 合

J_x (b c )m 5

1 ₂  ₂



m a c

J_y ( )

5

1 _{2 2}





m b a

J_z ( )

5

1 ₂  ₂



图形 体积V、表面积S、侧面积M、几何 重心G与转动惯量J

r为底圆半径,h为高,l为母线

r,R分别为上,下底圆半径,h为高,l为母线

体 积 V r²h 3



表面积 Sr(rl) 侧面积 M rl 母 线 l  r² h² 重 心

4 GQ h

(Q 为底圆中心,O 为圆锥顶 点)

转动惯量

取圆锥顶点为坐标原点,z 轴与 GQ 重合

r h m J

J_{x y} 



 



 



 ^{2 2}

4 5 3

J_z r²m 10

 3

体 积 ( )

3

2

2 r Rr

R h

V    表面积 S M (R² r²) 侧面积 M l(Rr) 母 线 l  (Rr)² h² 圆锥高(母线交点到底圆的距离)

r R h hr H    重 心

2 2

2

2 2 3

4 R Rr r

r Rr R

GQ h







 

上下底平行,F,F分别为上,下底面积,F₀为 中截面面积,h为高

(P,Q分别为上下底圆心)

体 积 ( ' 4 ) 6 F F F⁰ V  h  

[注] 棱台、圆台、球台、圆锥、棱柱、

圆柱等都是拟棱台的特例

图形 体积V、表面积S、侧面积M、几何重心G

与转动惯量J

d为上,下底圆直径,D为中截面直径,h为 高

母线为圆弧时:

体积

) 2

( 26180 . 0 ) 2

12(

2 2 2

2 d h D d

h D

V    

0.08727h(2Dd)² 母线为抛物线时:

体积





 



  

 ^{2 2}

4 2 3

15h D Dd d

V 

0.05236h(8D² 4Dd3d²) 重心

2 GQ h

(P,Q分别为上下底圆心)

二、 多面体

[正四面体] [正八面体] [正十二面体] [正二十面体]

图形

面数f 4 8 12 20

棱数k 6 12 30 30

顶点数e 4 6 20 12

体积V 0.1179a³ 0.4714a³ 7.6631a³ 2.1817a³ 表面积S 1.7321a² 3.4641a² 20.6457a² 8.6603a²

表中a为棱长.

[欧拉公式] 一个多面体的面数为f，棱数为k，顶点数为e,它们之间满足

2



k f e