空間向量的內積

空間向量的內積 例題 1 設△ABC 三頂點的坐標為 A ( 1，2，3 )，B ( 1，1，0 )，C (－2，－3，2 )，求△ABC 之面積。 AB ＝( 0，－1，－3 )， AC ＝(－3，－5，－1 )，所以 1 △ABC 之面積＝ 2. | AB |2 | AC |2－( AB ‧ AC )2. 1 ＝2. 10‧35－( 5＋3 )2. 1 ＝2. 1 350－64 ＝ 2. 286 。. 例題 2 已知空間中兩個向量 OA ＝( 2，2，1 )， OB ＝( x，y，z )，設 x2＋y2＋z2＝16，試 求： (1) OA ‧ OB 的最大值。 (2) 若 OA 與 OB 交角為 60°時， AB 的長度。 (1) OA ‧ OB ＝2x＋2y＋z， ∵ | OA ‧ OB |  | OA | | OB |＝3‧4， ∴－12  OA ‧ OB  12，當 OA 與 OB 同向時，有最大值＝12。 (2) ∵ AB ＝ OB － OA ， ∴ | AB |2＝| OB |2＋| OA |2－2 OB ‧ OA ＝16＋9－2‧3‧4‧cos 60°＝13， ∴ | AB |＝ AB ＝ 13 。 例題 3 空間中，設兩定點 A ( 1，2，0 )，B ( 1，－1， 3 )，動點 P 在 x 軸上， ∠APB＝θ，滿足 0°  θ  180°。 (1) 若 P ( x，0，0 )，試以 x 表示 cosθ。 (2) 若 θ＝60°，求 P 點坐標。 (3) 求 θ 的最大值。 (1) PA ＝( 1－x，2，0 )， PB ＝( 1－x，－1， 3 )， PA ‧ PB ( 1－x )2－2 故 cosθ＝ ＝ | PA | | PB | ( 1－x )2＋4 ( 1－x )2＋1＋3 x2－2x－1  cosθ＝ x2－2x＋5 。 2 1 x －2x－1 (2) θ＝60°時，則 2 ＝ x2－2x＋5 ，整理得 x2－2x－7＝0，. 故 x＝1±2 2 ，所以 P 點坐標是 ( 1±2 2 ，0，0 )。.

x2－2x－1 (3) 令 y＝ x2－2x＋5 ，則 yx2－2yx＋5y＝x2－2x－1， 即 ( y－1 ) x2＋(－2y＋2 ) x＋( 5y＋1 )＝0， 因 x 為實數，故 (－2y＋2 )2－4 ( y－1 ) ( 5y＋1 )  0， 即 2y2－y－1  0， 1 1 得－ 2  y  1，故－ 2  cosθ  1。 1 當 cosθ＝－ 2 時，得 θ＝120°為最大值。 例題 4 設△PQR 中，P ( 1，1，1 )，Q ( 3，3，0 )，R ( 1，2，3 )，求 (1) PQ ‧ PR 之值。 (2) 若 P，Q，R 在 xy 平面上的投影點分別為 P'，Q'，R'，試求∠Q'P'R'的 度數。 (1) PQ ‧ PR ＝( 2，2，－1 )‧( 0，1，2 )＝0＋2－2＝0。 (2) P'( 1，1，0 )，Q' ( 3，3，0 )，R' ( 1，2，0 )， 故 P'Q' ＝( 2，2，0 )， P'R' ＝( 0，1，0 )， P'Q' ‧ P'R' 2 1 所以 cos (∠Q'P'R' )＝ ＝ ＝ ， | P'Q' | | P'R' | 2 2 ‧1 2 得∠Q'P'R'＝45°。 例題 5 空間中兩向量 u ， v ，若 | u |＝5，| v |＝2， u 與 v 的夾角為 60°，求 (1) | u － v | 之值。 (2) u ＋ v 與 u － v 所決定之三角形的面積。 (1) | u － v |2＝| u |2－2 u ‧ v ＋| v |2＝25－2 × 5 × 2 × cos 60°＋4＝19， 故 | u － v |＝ 19 。 (2) | u ＋ v |2＝| u |2＋2 u ‧ v ＋| v |2＝25＋10＋4＝39， 又 ( u ＋ v )‧( u － v )＝| u |2－| v |2＝25－4＝21， 於是 ( u ＋ v ) 與 ( u － v ) 所決定之三角形面積為 1 2 1 ＝2. | u ＋ v |2 | u － v |2－〔( u ＋ v )‧( u － v )〕2 1 39 × 19－212 ＝ 2. 300 ＝5 3 。.