第二节 数量积、向量积、混合积

* 三、向量的混合积

第二节

一、两向量的数量积

二、两向量的向量积

数量积 向量积

^*

混合积

第八章

M1

一、两向量的数量积

沿与力夹角为



的直线移动 ,



 W 1. 定义

设向量 的夹角为 称,

记作

数量积 ( 点 积 ) .

引例 . 设一物体在常力 F 作用 下 ,

F 位移为 s

,

则力 F 所做的功



为 cos s

F 

s F W   

M2

b a



cos b

a 的 与

为a b

b

a, s

记作



故

b a j r b P 2. 性质

为两个非零向量 ,则有

a b j r



P b cos



 b

a a Prj_a^ b



b a



 a a ) 1

( a ²

b a, )

2 (

 0

b

a a ^ b

b

a

 0

b 则 a

2

 π ) , (a b

0 ,

0 

 b a

, 0 时

当a  b 在 a 上的投影为

, 0

,当 时

同理 b 

b

a a b cos



3. 运算律 (1) 交换

律(2) 结 合律 ( , 为实数) a

b b

a   



b a )

(



a (



b) 



(a b) )

( )

(



a 



b ^

^ 

^{a (}

^

^b)



) (a b



 

(3) 分配律



a  b



c  a c  b c 事实上 ,

当 c  0^{时 , 显然成立 ;}当c  0时

c )

(a  b a b

c b j r a P

c

j r P



^{a  b}



^c  c Prj_c



a  b



 c



^Prj_c^{ a  Prj}_c^{ b}



c a j r

 c P  c Prj_c^ b  a c  b c

) (

j r

P _c^ a  b

例 1. 证明三角形余弦定理

 cos

2 2

2

2 a b ab

c   

证 : 如图 .

则



cos

2 2

2

2 a b ab

c   

, a B

C  C A  b, AB  c

A

B



C a

c b b

a c  

2 

c ( a  b) ( a  b) a  a  bb  2a b a 2

  b ²  2 a b cos



c

c b

b a

a  ,  ,  设

4. 数量积的坐标表示

设 则

,

1  0

z z y

y x

xb a b a b

a  



当 为非零向量 时 ,





cos  a ^xb^x  a ^yb^y  a^zb^z

2 2

2 y z

x a a

a   b_x²  b_y²  b_z² 由于a  b  a b cos



, k a j

a i

a

a  _x  _y  _z b  b_x i  b_y j  b_z k ,



b

a (a_x i  a_y j  a_z k )  (b_x i  b_y j  b_z k ) i

i   j  j  k  k i  j  j  k  k i b

a 

b a 

b a

b a,

两向量的夹角公式

, 得

)

 ( , MB

)

 ( MA



M B 例 2. 已知三点M (1,1,1), A(2,2,1),B(2,1, 2),

 AMB . A

解 : 1 ,, 1 0 1, 0, 1 则 cosAMB 



1 0 0

2 2 2

 1

3

 π

AMB

求

MB MA 

MA MB

故

为  ) .

求单位时间内流过该平面域的流体的质量 P ( 流体密度 例 3. 设均匀流速为 的流体流过一个面积为 A 的 面 平

域 ,

与该平面域的单位垂直向量



,

 解 :

单位时间内流过的体 积 : A



P



A



A



且 的夹角为

v

v n

 v cos

 v cos

n v 

n ^{为单位向量} n

A v

二、两向量的向量积

引例 . 设 O 为杠杆 L 的支 点 ,

有一个与杠杆夹角为



 OQ O

P L

 

符合右手规则 Q

 OQ F  OP F sin





OP sin

M F

OP   OP M 

M

矩是一个向量 M :

的力 F 作用在杠杆的 P 点 上 ,

则力 F 作用在杠杆上的 力

F

o

_P

F

M F

M 

1. 定义

定义 向量 方向 :

( 叉积 )

结作

且符合右手规则 模 :

向量积 ,

， 的夹角为

设 a , b



c c a, c b

c  a b sin



b

a c 称 c 为向量 a 与b 的

b a

c  

b a  引例中的力矩 M  OP  F 

思考 : 右图三角形面积

a 

b b a 

21

S ＝

2. 性质

为非零向量 , 则

， 0

sin



 即



 0 或 π a

a  )

1

(  0

b a, )

2

( a b  0 a^∥ b

, 0

,

0 时

当a  b 

b a^∥

 0

b

a a b sin



 0

3. 运算律

(2) 分配律

(3) 结 合律

( 证明 略 )

a b





c b

a  ) 

(  a  c  b c b

a )

(



 ^a  ⁽



^b) 



( a b) b

a  )

1 (

证明 :



a b sin



b a





 )

( a_x i a_y j a_z k (b_x i  b_y j  b_z k ) 4. 向量积的坐标表示式

设 a  a_x i  a_y j  a_z k , b  b_x i  b_y j  b_z k , 则



b a

) ( i i b

a_{x x} 

  a_xb_y ( i  j )  a_xb_z ( i  k ) )

( j i b

a_{y x} 

  a_yb_z ( j  k )

) ( k i b

a_{z x} 

  a_zb_y ( k  j ) i

b a b

a_{y z z y} )

( 

  (a_zb_x  a_xb_z ) j k

b a b

a_{x y y x} )

( 



) ( j j b

a_{y y} 



) ( k k b

a_{z z} 



i j k

向量积的行列式计算法

k j

i

 a_x a_y a_z bx b_y b_z

,

z y

z y

b b

a

 a



  ,

z x

z x

b b

a

 a 





y x

y x

b b

a a



b

a (a_yb_z  a_zb_y ) i  (a_zb_x  a_xb_z ) j k

b a b

a_{x y y x} )

( 



k a j

a i

a

a  _x  _y  _z k b j

b i

b

b  _x  _y  _z

( 行列式计算见上册 P355 ～ P358 )

例 4. 已知三点A(1,2,3), B(3,4,5),C(2,4 ,7), 角形 ABC 的面积

. 解 : 如图所

示 , S_ABC 

A

B



C

2

 1

k j

i

2 2 2

1 2 4

) 2 (

 1 4,  6, 2

2 2

2 ( 6) 2

2 4

1   

  14



2 sin

1 AB AC

2

 1 AB  AC

求三

一点 M 的线速 度

例 5. 结 结 体以等角速度  绕 l 轴

旋转 , 导出刚体上

的表示式 .

M l

解 : 在轴 l 上引进一个角速度向

量 使

a

其 在 l 上任取一点

O,

O

作



它与 则

点 M 离开转轴的距 离



a

且 符合右手法则 的夹角为 ,



, sin



 a r ,

r OM 

 v 









r sin



,







,

v r 





r v  





v

v 方向与旋转方向符合右手法

则 ,

r 向径

* 三、向量的混合积

1. 定义 已知三向量 称数量 混合积 .

记作

几何意义

为棱作平行六面体 ,

底面积 高



 h 故平行六面体体积为

h A

V  





cos c

b a  ) 

(



^{a b c}



, , , b c a

的 的 a , b , c

 ,

A a b c

c b a , ,

以 则其

 a b c cos



( a  b )  c



^{a b c}



b a 

c b a

z y

x

z y

x

b b

b

a a

a



cx cy c_z

k j

i





2. 混合积的坐标表示 设

ax a_y a_z bx b_y b_z



 

z x

z x

b b

a

 a

y x

y x

b b

a

 a c

b a  

 ( )



b a

, ) ,

,

(a_x a_y a_z a 



^{a b c}



z y

z y

b b

a

 a

, ) ,

,

(b_x b_y b_z

b  c  (c_x ,c_y ,c_z ) ,

z y

z y

b b

a

a ,

z x

z x

b b

a

 a

y x

y x

b b

a a

cx c_y c_z

3. 性质

(1) 三个非零向量 共面的充要条件是

 0 (2) 轮换对称性 :

] [

( 可用三行列式推出结 结 结 结 结 结 )



^{a b c}



c b a , ,

a b c  [ b c a ]  [ c a b ] a

b c

例 6. 已知一四面体的结

点 A_k (x_k , y_k , z_k ) (k  1,2,3, 4 ) , 求四面体体结 结 结 结 结

积 .

A1

A2

A3

A4

解 : 已知四面体的体积等于以向 结 棱的平行六面体体的量 结 结 ,

6

1 故

6

 1 V

6

 1

1

2 x

x  y₂  y₁ z₂  z₁

1

3 x

x  y₃  y₁ z₃  z₁

1

4 x

x  y₄  y₁ z₄  z₁

2 ,

1A

A A₁A₃ , A₁A₄

] [ A₁A₂ A₁A₃ A₁A₄

例 7. 已知 A (1,2,0) 、 B (2,3,1) 、 C

(4,2,2) 、 M ( x, y , z)

四点共面 , 求点 M 的坐标 x 、 y 、 z 所足的方结 结 结 结 程 .解 : A 、 B 、 C 、 M 四

点共面

 0

A

B

C

M

1

x y  2 z  0

1 1 1

3 0 2

展开行列式即得点 M 的坐 所 足的方标 满 程

AM 、 AB 、 AC 三向量共面 ]

[ AM AB AC

0 4

3

2x  y  z  

 0 即

内容小结

设

1. 向量运算

加减 : 数乘 : 点积 :

) ,

,

(a_x b_x a_y b_y a_z b_z b

a     

) ,

,

( a_x a_y a_z

a

  





z z y

y x

xb a b a b

a b

a    

) ,

, (

, ) ,

, (

, ) ,

,

(a_x a_y a_z b b_x b_y b_z c c_x c_y c_z

a   

叉积 :

k j

i

ax a_y a_z bx b_y b_z



b a

混合积 :

2. 向量 系关 :



x x

a

b 

y y

a b

z z

a b

 0



 _{y y z z}

x

xb a b a b

a b

a //

b

a  a b  0

z y

x

z y

x

z y

x

c c

c

b b

b

a a

a c 

b a  

 ( )



^{a b c}



共面 c

b a, ,

 0

z y

x

z y

x

z y

x

c c

c

b b

b

a a

a

0 )

( a b c 

 0

b a

思考与练习

1. 设 计算 并求

夹角 _{的正弦与余弦}

.  (1,1, 3)

3, 2

cos



 1

12 sin



 11

答案 :

2. 用向量方法明正弦定理结 结 结 结 结 结 : C

c B

b A

a

sin sin

sin  

b a,

,

 1

b

a a b

, ,

2 j k b i j

i

a       a b 及 a b,

B

a b

c

A C

证 : 由三角形面积公式

A c

b  sin



B a

c  sin



B b A

a

sin sin 

所以 C

c

 sin

C b

a  sin

 因

AB AC

S_ABC   2

1

BC BA

 2

1  CB CA

2 1 AB

AC 

BC BA

CA CB

B

a b

c

A C

P22 3 , 4 , 6 , 7 ,

9 ^{(1) ; (2)} , 10 , 12

作业

2

2 3

4 π cos 3

3 2 2

) 2

(    



17 备用题

1. 已知向量 的 角夹 且

解：

4 , π

 3



b

a , .

|

| a  b 求

, 2

|

| a  | b |  3,



 b ²

 a ( a  b ) ( a  b ) a

a 

  2 a b  b b

2

2 2 a b cos b

a   





 17



 a b

2 2

2 0 0

) 2 2 (

1   

  1

A

B D C 在顶点为

三角形中 ,

, ) 2 , 1 , 1 ( 

A B(1,1,0) 和 C(1,3,1) 的 求 AC 边上的高 BD .

解： AC  ( 0,4, 3)

, 5 )

3 (

4²   ² 



|

| AC

) 2 ,

2 , 0

( 

 AB

三角形 ABC 的面积为

| 2 |

1 AC AB

S  

2

 1

S | AC | | BD | 2 5

1  1   | BD |

5

| 2

| 

 BD 2.

而 故有