四、定积分的求法 - Dr. Huang

四、定积分的求法

[定积分的性质]





^ b^a

b

a f(x)dx f(x)dx



a^af(x)dx^0







^{ } c^b

c a b

a f(x)dx f(x)dx f(x)dx







^{  } a^b

b a b

a[k₁f(x) k₂g(x)]dx k₁ f(x)dx k₂ g(x)dx

[分部积分法]



^



^{ }



a^b

b a b

a b

a f(x)g'(x)dx f(x)dg(x) f(x)g(x)| g(x)f'(x)dx 式中 f(x)g(x)|^b_a f(b)g(b) f(a)g(a)

[变量替换法] 设函数(x)在区间[a, ]上有连续的导数b '(x)，同时函数 f(u)在区间 )]

( ), (

[ a  b 上连续，并且u从(a)单调地变到(b)，则



_a^b f[(x)]'(x)dx^



_^(⁽_a^b)⁾f(u)du

［利用函数奇偶性求积法］

若 f(x)为偶函数，则



 ^



a a

a f x x f x x

0 ( )d 2

d ) (

若 f(x)为奇函数，则



 ( )d 0

a

a f x x

［利用积分对参数求导法］ 设f(x,t)在有界区域R(axb, t)上连续，并且存在连续 偏导数 f(x,t)

t

 ，则当t时，有

x t x tf x

t x t f

b a b

a ( , )d ( , )d

d

d



^



_^

例 计算积分 x x

I x d

ln 1

1



0 ^



解 设 ^{ } , ( )^



0¹ ( , )d ln

) 1 ,

( F x f x t x

x t x

x f

t

则 F(0)0,F(1)I .因

1 d 1

d ln ) ( 1 d

d 1

0 1

0    



  

x t x x x

x t t

F t t





^ 0¹ _ 1

0 d

1 ) 1

(

d t

x t F 所以︳I F(1)ln2.

［定积分表］

定 积 分 定 积 分 值 dx

a² x²

0 



 ₂^

0 a a (  )

1 1

2 0 4

1 



^x_x ^{d x }₄ 2



0^ _^ 1

1 dx

x xⁿ

) 1 0

sin ( n

n



定 积 分 定 积 分 值 sin² d

0^ ax x



^

2 cos² d

0^ ax x



^₂

sin d cos d

n

n

x x

0 2

0 2















































 

)

! (

!

! )!

1 (

) 2 (

!

!

! )!

1 (

) 1 ( ) 2 1 (

2 ) ( 1 2

为正奇数 为正偶数 n n

n n n n

n n n





sin(x²) dx

0



 ¹

2 2



cos(x²) dx

0



 ¹

2 2

 sinaxd

x x

0



 ^

2 0

2 0

( )

( )

a a



 







 tanxd

x x

0



 ^₂

arcsin xd

x x

0



1 ^₂^{ln 2}

sin d

2 0 2

ax

x x



 ^₂^a

sinxd x x

0



 ^

2 cosxd

x x

0



 ^

2 sinaxcosax xd

a 0



 ⁰



0^sinaxcosaxdx 0



0^sinaxsinbxdx 0 (ab) cosaxcosbx xd

0



 ^{0 (ab)}

sinaxcosbx xd

0













 

) (

0

) 2 (

2 2

为偶数 为奇数 b

a b b a

a a

定 积 分 定 积 分 值 sin cos

d

( , )

ax bx

x x

a b

0

0









² 4 0

( )

( )

( )

a b a b a b



















 sin cos

ax bxd

x₂ x

0



 ^a₂^{ (ab)}

cos cos

ax bxd

x x





0 lnb

a (arctan arctan

ax ) d x

bx

x x

 



0 b

lna 2



e e

x x

ax bx

 

 



0 ^d

lnb a 1

0 a b x x



^  _cos ^{d }

a b

a b

2 2 0

 (   ) 1

0 2

a b x x



^  _cos ^{d arccosb}a _{( )}

a b

a b

2  2 

cosaxd

x x

1 ²

0 



 ^

²

0

2 0

e a

e a

a

a

 











( )

( )

e^ax x



0 ^d

1 0

a (a ) x e^{n ax} x



0 ^d

n a_n! n

1 ( 为正整数,a>0) xe^ax x



0 ^d

1

2 0

a a a (  ) e

x x

ax



0 ^d



a (a0) e^ax bx x



0 ^{cos d}

a

a₂ b₂ a 0

 (  ) e^ax bx x



0 ^{sin d}

b

a₂ b₂ a 0

 (  ) e^ax bx x



0 ^{ch d}

a

a₂ b₂ b a

 (| | )

表中(2n)!!246(2n), (2n1)!!135(2n1).

e^ax bx x



0 ^{sh d}

b

a₂ b₂ b a

 (| | )



0^{ } sin d x x

x

e ^ax _{arccota a( 0)}

e^{a x} x



0 ^{2 2}d 

2 0

a (a ) x e^{2n ax} x

0

 2



 ^{d (}2 1^)!! ( )

2n ₁ 0

a a a

n n

 





定 积 分 定 积 分 值 e^{a x} bx x



0 ^{2 2}cos d

e

a a

b

 a



2

4 2

2  ( 0)

e x

x a

 x



 ²

2 2

0 d e

a

a 2 

2  ( 0)

(ln ) dx ⁿ x

0



1 ^(1)nn! (n为正整数)

lnx d x x 1

0 1



 ^2

6 lnx d

x x 1

0 1



 ^2

12

ln( )

1 d

0

1 



_x ^{x x 2}

12 lnx d

x x

1 ²

0 1



 ^2

8 lnx d

x x

1 ²

0 1



 ^₂^{ln 2}

0¹ _^{ }

d 1 ln1

x x x

x ²

4

lne d

e x

x x







0 ¹₁

² 4 ln1d

0 1

x x



₂^

1 1

0 1

ln d x



x _

ln(1 ) d

0

1 



^{x x 3}₂

x x

x x

b  a



0 _ln ^d

1 ln1

1



 b a ln sin dx x

0 2



 ^2ln 2

ln cos dx x

0 2



 ^2ln 2

xln sin dx x

0



 ^2

2 ln 2

ln(abcos ) dx x



0



ln

( )

a a b

a b

 



2 2

2

ln( cos )

cos d

1

0



^ ^a_x ^{x x arcsina}

ln ln dx x

0



1 ^ (欧拉常数，下同)

定 积 分 定 积 分 值 e^x x x



0 ^{ln d}



( e ) d

e e

x x

x x

 x



 

 



0 ₁



1 1

1

0 x( x e ^x) dx

  ^



 ^

1

1

0

1  ^ 



^e _x^{x ex d x }

xe^ax bx x



0 ^{sin d}

2 0

2 2 2

ab

a b a

( ) ( )

 

xe^ax bx x



0 ^{cos d}

a b

a b a

2 2

2  2 2 0

 

( ) ( )

x e^{2 ax} bx x

0

 



^{sin d 2 3}2 ² 2 3^{2 0}

b a b

a( b ) a

( ) ( )

 

x e^{2 ax} bx x

0

 



^{cos d 2a a}₂^{2 3}₂^b₃^{2 0}

a( b ) a

(  ) ( )

 

x e^{3 ax} bx x

0

 



^{sin d 24} 2 ² 2 4^{2 0}

ab a b a ( b ) a

( ) ( )

 

x e^{3 ax} bx x

0

 



^{cos d 6( 4} ₂^{6 2} ₂² ₄ ^{4) 0}

( ) ( )

a a b b

a b a

 

 

x e^{n ax} bx x



0 ^{sin d}

) 0 , 1 (

) (

2

] ) ( ) [(

!

1 2 2

1 1





















a i

b a

ib a ib

a in

n n n

x e^{n ax} bx x



0 ^{cos d}

) 0 , 1 (

) (

2

] ) ( ) [(

!

1 2 2

1 1





















a i

b a

ib a ib

a n

n n n

1

2 2 2 2

0 2

a x b x x

cos sin d



^  _2ab^

a b x

a ab x b x

 



0 ² 2 _cos^{cos 2 d}

 



a a b

a a b

a b (| | | |)

( )

(| | | |)



















 2 0

五、广义积分

１. 广义积分的概念

［无穷限广义积分］ 设函数f(x)在[a,b]上可积，u>a,



<b,u>



,当下列各式右边的极限 存在时，







  ^u

u a

a f(x)dx lim f(x)dx _^b_ ^f(^x)^dx_ulim_^bf(^x)d^x

 











  ^u

u f x x

x x

f _



d ) ( lim d

) (

这时称无穷限广义积分收敛，否则称为发散.

[无界函数的广义积分] 设函数f(x)在给定区间[a,b]上只有一个瑕点x=c,即函数f(x)在x=c

点的邻域内无界，而在[a,c-ε ]及[c+ε ',b]上可积，ε ，ε '为任意小的正数，当ε 和ε '独立地 趋于零，极限

 





 



b c c

a f x x _' f x x

' 0

0[ ( )d ( )d ]

l i m









(1) 存在时，则用上式定义无界函数f(x)从a到b的瑕积分，记作

 

^







 

 ^





 c a

b c b

a f x x f x x _' f x x

' 0

0[ ( )d ( )d ]

l i m d

) (

[柯西主值] 有时极限（1）不存在，但如果设ε '=ε →0，这个极限（1）存在，就称它

为瑕积分



a^bf(x)dx的主值，记作

 



  ^  _

 c a

b c b

a f x x f x x f x x

0[ ( )d ( )d ]

lim d

) ( . V . P

这时称无界函数广义积分在主值意义下收敛，否则称为发散.

[绝对收敛与条件收敛] 如果f(x)的广义积分与|f(x)|的广义积分同时收敛，那末称f(x)的广

义积分是绝对收敛, f(x)称为绝对可积；如果仅前者收敛，后者不收敛，那末称f(x)的广义积分 是条件收敛.

2. 广义积分收敛判别法

1°



a^f(x)dx收敛的充分必要条件是：对任意给定的ε >0,都存在N=N(ε )>0,只要 N

N N

N₁  , ₂  ,就有|



N^N₁² f⁽x^)dx|<ε .

2° 设f(x)是非负的，则



a^ f(x)dx收敛的充分必要条件是：

F(u)=



a^uf(x)dx是有界函数.

3° 设当x→ ∞ 时，f(x)= _



 



 xp

O 1 .若p>1,则



a^ f(x)dx^{收敛；若p≤ 1,则}



a^ f(x)dx发散.

4° 若



a^ f(x)dx收敛，g(x)单调有界(x≥ a),则



a^ f(x)g(x)dx收敛.

5° 设f(x)≥ 0,g(x)≥ 0,且f(x)≤ cg(x)(x≥ a,c是一个大于零的常数）.若



a^g(x)dx收敛，则



a^ f(x)dx也收敛；若



a^ f(x)dx发散，则



a^g(x)dx也发散.

6° 无穷级数与广义积分的关系：设f(x)是定义在区间[a,∞ )上的一个正的非增连续函数，

则级数f(a)+f(a+1)+··+f(a+k)+··与积分



a^ f(x)dx同时收敛或同时发散.

7° 广义积分



a^bf(x)dx（以a为瑕点）收敛的充分必要条件是：对任意给定的ε >0,都存 在δ (a<δ <b),使当a<u'<u''<δ 时|



u^u''' f⁽x^)dx|<ε .

8° 设g(x）有连续的导数，并是恒正的、单调下降的函数，且lim ( )

x ag x

 0.若有常数M,使

对一切u>a,都有|



a^u f⁽x^)dx|<M,则广义积分



a^ f(x)dx收敛.

六、含参数积分

1. 含参数常义积分

[连续性] 若二元函数f(x,y)在有界区域R(a≤ x≤ A,b≤ y≤ B)上有定义且连续，则

F(y)^



a^A f(x,y)dx 是闭区间[b,B]上的连续函数.

[积分号下的微分法] 若f(x,y)在有界区域R(a≤ x≤ A,b≤ y≤ B)上连续，并且存在连续偏

导数 f_y^'(x,y)，则当b<y<B时，



^



_a^A y^ A

a f x y x f x y x

y ( , )d ( , )d d

d

一般情况下，当积分限为参数y的可微函数(y)和(y)^, 且当b≤ y≤ B， a≤ (y)≤ A, a≤ (y)≤ A时，





^{    } (⁽)^{) }

) (

)

( ( , )d [ ( ), ] ( ) [ ( ), ] ( ) ( , )d

d

d y

y y

y

y f x y x f y y y f y y y f x y x

y







     (1)

[积分的求导运算] 以下公式为(1)的特殊情况.

t t t b b f x x t f

t b

a d

) ( )]d ( [ d ) d (

d ⁽⁾

 ^

) ( d ) d (

d f x x f t

t

t



a ^



 ^ a^b t^ b

a f x t x f x t x

t ( , )d ( , )d d

d





^ a^b t^{ }

t b

a t

t t b t b f x t x f x t x

t f d

) ( ]d ), ( [ d ) , ( d

) , d (

d ()

t t t a t a t f

t t b t b f x t x f x t x t f

t b

t

a t

t b

t

a d

) ( ]d ), ( d [

) ( ]d ), ( [ d ) , ( d

) , d (

d ⁽⁾

) ( )

( )

( 



  



[积分号下的积分法］若函数 f(x,y)在有界区域[a≤ x≤ A,b≤ y≤ B]上连续，则

 

^

 

a^A B b A

a B

b [ f(x,y)dx]dy [ f(x,y)dy]dx 2 . 含参数广义积分

[一致收敛性] 设函数f(x,y)是定义在区域R(a≤ x<∞ , y₁<y<y₂)上的连续函数，若对任意给

定的ε >0，都存在只与ε 有关的正数B=B(ε ),使得当b≥ B时，对区间(y₁，y₂)内一切y不等 式

^|



b^ f⁽x^,y^)dx^|

都成立，则称广义积分



a^ f(x)dx在区间(y₁，y₂)内一致收敛，并且在该区间内是参数y的连 续函数.

[一致收敛判别法]

1° 柯西判别积分



a^ f(x,y)dx

在区间(y₁，y₂)内一致收敛的充分必要条件是：对任意ε >0，都存在正数B=B(ε ),使得当 b'>B,b''>B时，对区间(y₁，y₂)内的一切y,都有

^|



^bb^''' f⁽x^,y^)dx^|

2° 外尔斯特拉斯判别法 设函数f(x,y)(x的函数)在任一有限区间[a,A]上可积，若存在与

参数y无关的函数F(x)，它在区间[a,∞ )上可积，并且对于区间(y₁，y₂)内的一切y |f(x,y)|≤ F(x) (x≥ a)

则积分



a^ f(x,y)dx 在区间(y₁，y₂)内一致收敛.

[对参数的微分法] 若(i)函数f(x,y)在区域R(a≤ x<∞ , y₁<y<y₂)内连续，并对参数y可微，

(ii)积分a^ f(x,y)dx收敛，(iii)积分



a^ fy^ (x,y)dx在区间(y₁，y₂)内一致收敛,则当y₁<y<y₂时，



a^f x y x^



a^ fy^ x y x

y ( , )d ( , )d

d d

[对参数的积分法] 若函数f(x,y)在区域R(a≤ x<∞ , y₁<y<y₂)内连续 ，并且a^ f(x,y)dx在

区间(y₁，y₂)内一致收敛，则

 

^{ }

 

a^ y y a

y

y[ f(x,y)dx]dy [ ²f(x,y)dy]dx

1 2

1

七、斯蒂尔吉斯积分

[定义] 设在区间[a,b]上给定两个有界函数f(x)和g(x).用任意方法把区间[a,b]分成若干部

分，其分点为

a=x₀<x₁<x₂<…< x_i<x_i+1<…<x_n=b

并设λ 是Δ x_i=x_i+1-x_i(t=0,1,…,n－1)中最大的.在每个小区间[x_i,x_i1]上任取一点 )

1 , , 2 , 1 , 0 (

,   ₁  

 x x_ i n

x _{i i} _{i i}  ,作和

σ = ^f i ^{g x}i ^{g x}i i

n

( )[ ( _ ) ( )]



 



¹

0 1

当λ →0时，如果极限 

 0

lim 存在，那末这个极限称为函数f(x)对函数g(x)的斯蒂尔吉斯积分，

记作

 

^

 

 

 ¹

0

0 ( )[ ( 1) ( )]

lim ) ( d ) (

n

i

i i

i b

a f x g x f  g x g x



特别是，当函数g(x)在区间上连续可微时，函数f(x)对g(x)的斯蒂尔吉斯积分就是通常的 黎曼积分





^ a^{b }

b

a f(x)dg(x) f(x)g (x)dx [可积性]

1°若函数f(x)连续，函数g(x)有有界变差，则积分



a^bf(x)dg(x) （1）

存在.

2°若函数f(x)在区间[a,b]上黎曼可积，函数g(x)满足李普希茨条件：

|g(x')-g(x'')|≤ L(x'－x'') (L为常数，a≤ x''<x'≤ b) 则积分(1)存在.

3°若函数f(x)在区间[a,b]上黎曼可积，函数g(x)可表示成

g(x)=C+



a^x(t)dt

式中C为常数，函数_(t)在区间[a,b]上绝对可积，则积分(1)存在.

[积分法则与不等式]

1°积分法则



a^bdg(x)^g(b)^g(a)

 



^{ } a^{b }

b a b

a[f₁(x) f₂(x)]dg(x) f₁(x)dg(x) f₂(x)dg(x)

 



^{ } a^{b }

b a b

a f(x)d[g₁(x) g₂(x)] f(x)dg₁(x) f(x)dg₂(x)





^ a^b

b

akf(x)d[lg(x)] kl f(x)dg(x) (k,l为常数)

 



^ a^{c }

b c b

a f(x)dg(x) f(x)dg(x) f(x)dg(x)

(a<c<b,三个积分都存在，当上式右边两个积分存在时，一 般不能推出积分



a^bf dg存在）





^{ } a^b

b a b

a f(x)dg(x) f(x)g(x)| g(x)d f(x) (分部积分公式) 2° 若g(x)在区间[a,b]上为一非减函数，则

| ) ( d ) (

|



a^bg x f x ≤



a^b| f(x)|dg(x)

3° 若g(x)在区间[a,b]上为一非减函数，则f(x)≤ F(x),则



a^bf(x)dg(x)≤



a^bF(x)dg(x)

八、积分的近似计算

1. 内插求积公式

[等距内插求积一般公式（柯斯特公式）]



a^bf(x)dx≈ (b－a)



 n

k

k n

k f x

C

0 )

( ( )

式中x_k为等距节点：

xk=a+kh k=0,1,2,…,n

n a h b



) (n

Ck 为柯特斯系数（见下表）.

柯特斯系数表

) (n

Ck k n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1

2

1 2

1

2

6

1

6

4 6

1

3

8

1

8

3 8

3

8

1

4

90 7

45 16

15

2

45 16

90

7

5

288

19

96

25 144

25 144

25 96

25

288 19

6

840 41

35

9 280

9

105 34

280 9

35 9

840 41

7

17280 751

17280 3577

17280 1323

17280 2989

17280 2989

17280 1323

17280 3577

17280 751

8

28350 989

28350 5888

28350

928 28350

10496 28350

4540 28350

10496 28350

928

28350 5888

28350

989

9

89600 2857

89600 15741

89600 1080

89600 19344

89600 5778

89600 5778

89600

19344

89600 1080

89600 15741

89600 2857

10

598752 16067

598752 106300

598752 48525



598752 272400

598752 260550



598752

427368 598752

260550



598752 272400

598752 48525



598752 106300

598752 16067

当区间[a,b]愈小，柯特斯公式所给出的结果愈精确.因此，当区间[a,b]较大时，为了避免 采用n值较大的柯特斯公式，常把[a,b]N等分，对其中各个等份应用n值较小的柯特斯公式 求积，然后再把各个等份的积分值相加，即得到区间[a,b]上的积分值，如下述的梯形公式(n=1) 和辛卜生公式(n=2).

[梯形公式]



a^bf(x)dx≈



^







 ¹

1

)}

( )]

( ) ( 2[ {1

N

k k

N h f a f b f x

T

x_k=a+kh, k=1,2,…,N－1

N a h b

 若max| f (x)|

b x a

 

 ≤ M₂,则截断误差为

rT≤ ² ₂

12ah M b [辛卜生公式]



_a^{bf(x)dx≈ [ ( ) ( ) 4 ( ) 2 ( )]}

6

1 1

2 1

1

2





^



  





 ^N

k

k N

k

k

N h f a f b f x f x

S

x_k=a+k 2

h,

N a h b 若 max | f ⁽⁴⁾(x)|

b x

a  ≤ M₄,则截断误差为

r

S≤ ⁴ ₄

2880ah M b [龙贝公式] 设

)]

( ) ( 2 [

1 0 ,

0 b a f a f b

T

R  





)]

1 2 2 ( 2 [

2

1 ¹

1

2

1 2

, 2

0  

 





 ^



^



a i a b

a f T b

T

R _k

i k k

k

k k

= ]}

[ 2 2 ) ( ) ( 2 {

1 ^{2 1}

1

1 b ai

a f b

f a

f _k

i k

k 









^

 

1 4

4 _{1, 1 1,}

, 

 ^m _m^k  ^{m k}

m k m

R R R

则





 





b k a m m k k m k

mlimR _, lim R _, f(x)dx

固定 固定

一般地，可适当选取m,使之固定，再增大k,使近似截断误差 |R_m1,k1R_m,k |

在允许误差范围内即可，这时



a^bf(x)dx≈ R_m,k

具体计算过程可按下表自左而右，自上而下进行（表中箭头方向表示计算顺序）.

例 用龙贝公式计算积分



0¹ _ 2

1

4 dx

x

误差不超过0.0000001.

解 这里f x ( ) x

4

1 ²,a=0,b=1.可按五步进行计算，结果如下：

(1) ^R0 0 ^T1 ^{f f}

1

2 0 1 1

2 4 2 3

,   [ ( ) ( )] (  )

(2) ^{f( ) ,R}, ^{T [T f( )] .}

1 2

16 5

1 2

1

2 3 1

0 1 2 1

    

k 区间等分数 2k

Tk

R _k

, 2

0  R_1,k1 R_2,k2 R_3,k3 R_4,k4 R_5,k5 …

0 1

0 ,

R0

1 2 R_0,1 R_1,0

2 4

2 ,

R0 R_1,1 R_2,0

3 8 R_0,3 R_1,2 R_2,1 R_3,0

4 16

4 ,

R0 R_1,3 R_2,2 R_3,1 R_4,0

5 32 R_0,5 R_1,4 R_2,3 R_3,2 R_4,1 R_5,0

6 64

6 ,

R0 R_1,05 R_2,4 R_3,3 R_4,2 R_5,1

        

R R R

1 0

0 1 0 0

4

3 3 133333333

,

, ,

  .



(3) ^R0 2 ^R0 1 ^{f f}

1 2

1 4

1 4

3

4 3 131176471

,  ,  [ ( ) ( )] . ^R1 1 ^{R R}

0 2 0 1

4

3 3 141568627

,

, ,

  .



3.1 4 2 1 1 7 6 4 7

15 16 _{1,1 1,0}

0 ,

2  

 R R

R

(4) ^R0 3 ^R0 2 ^{f f f f}

1 2

1 8

1 8

3 8

5 8

7

8 3 138988496

,  ,  [ ( ) ( ) ( ) ( )] . ^R1 2 ^{R R}

0 3 0 2

4

3 3 141592503

,

, ,

  .

 ^R2 1 ^{R R}

1 2 1 1

16

15 3 141594095

,

, ,

  .

 ^R3 0 ^{R R}

2 1 2 0

64

63 3 141585786

,

, ,

  .

 (5) 可以继续算出

R_{0 4,} 3.140941614 R_{1 3,} 3.141592655 R_{2 2,} 3.141592665 R_{3 1,} 3.141592643 因为

|R_{3 1,}-R_{2 2,} |=|3.141592643－3.141592665|<0.0000001 所以



0¹ _ 2 d 1

4 x

x ≈ 3.14159264 而准确值为



 



0¹ 2 4arctan |¹⁰ 1

4 dx x

x  3.141592654

在等距内插求积公式中，以辛卜生公式和龙贝公式为好，计算简单 ，便于在电子计算机 上实现(都有标准程序)，精确度也相当高.特别龙贝公式是采用区间逐次分半的方法,前一次分 割得到的函数值在区间分半后仍可利用，具有计算有规律，不需存储柯特斯系数和节点等优 点.

但等距内插求积公式不能计算广义积分.广义积分只能用下面的高斯型求积公式来计算.

[不等距内插求积公式（高斯型求积公式 ）]

高斯型求积公式为



a^bw(x)f(x)dx≈



 n k

n k n k f

1

) ( )

( ( )

 ^n=1,2,…

式中(a,b)区间可以是有限或无限，w(x)为(a,b)区间内的非负权函数.

－∞ ≤ a≤ ₁⁽ⁿ⁾< ^{( )}

2

 n <…<_n^{(n)<b≤ ∞}

为求积节点（相应的正交多项式的根），^{( )}_kⁿ (k=1,2,…,n)为求积系数.f(x)为不超过2n－1次的多 项式时，上述求积公式(1)成为等式.

下面列出几种特例.

1° ( )

)]

! 2 )[(

1 2 (

)

! ( ) 2

)] ( ( )[

1 ( d 2

)

( ₃ ^{(2 )}

4 1 2 )

1 (

1 1 ( )2 ( ) 2  





n n

n k n

k n

k n n k

n f n

f n x P

x

f  

  ^

 

 