中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
高等数学 A
4.3.3 幂级数的运算性质 4.3.4 幂级数和函数的性质
4.3 4.3 幂级数 幂级数
第 第 4 4 章 无穷级数 章 无穷级数
4.3 幂级数
4.3.3 幂级数的运算性质
习例 1-4
4.3.4 幂级数的和函数的性质
加减法 乘法 除法
连续性 可导性 可积性
内容小结
幂 级 数 及 和 函 数 的 运 算
习题课
内容小结 常见题型 典型习例
一、幂级数的运算性质
1,
2
min R R
R
2
,
1 0
0
R R
x b x
a
n
n n n
n
n
和 的收敛半径各为 和 设
加 减 法
0
0 n
n n n
nxn b x
a ( ) .
0
n
n n
n b x
a x
R, R
乘
法
( ) ( )
0
0
n
n n n
n
n
x b x
a .
0
n
n n
x
c
x
R, R
( 其中
c
n a
0 b
n a
1 b
n1 a
n b
0)
除 法
0 0
n
n n n
n n
x b
x a
.
0
n
n n
x
c
( 0)0
n
n nx 收敛域内 b
( 相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得 多 )
连 续
性 幂级数
0 n
n nx
a 的和函数s(x)在收敛区间 )
,
(R R 内连续.
二、幂级数的和函数的性质
且幂级数在区间端点收敛时，和函数在该区间端点 连续 .
即幂级数的收敛区间为闭区间时，和函数的连续区 间也是该闭区间 .
可 导
性 幂级数
0 n
n nx
a 的和函数s(x)在收敛区间 )
,
(R R 内可导, 并可逐项求导任意次.
0
) (
) (
n
n n
x a x
即 s
0
) (
n
n n
x
a
.1
1
n
n nx na
( 收敛半径不变 )
可 积
性 幂 级 数
0 n
n n
x
a
的 和 函 数s ( x )
在 收 敛 区 间)
,
( R R
内 可 积 ,且 对 x ( R , R )
可 逐 项 积 分 .
xn
n n
x
s x dx a x dx
0 0
0
( ) ( )
即
0 0 n
x n
n
x dx
a .
1
1 0
nn
n
x n
a
( 收敛半径不变 )
幂级数的和函数习例
例 1 .
3 3
3 3
3 2
1 3
3 2
2 的和函数
求
n
n
n x x
x x
例 2 .
, 2
1 1
1
1
n n
n
n n
nx 的收敛域与和函数 并求 求
例 3 .
2
1 , 2
2
1 2
2 1
2
2
n n
n
n n
x n
n 的收敛域与和函数 并求 求
方法 : 通过恒等变形或遂项求导或遂项求积把原级 数化为可求和的级数 ( 等比级数 ).
例 1 .
3 3
3 3
3 2
1 3
3 2
2 的和函数
求
n
n
n x x
x x
解 ,
3 1 3
) 1 (
lim 3
lim 1 1
n
n n n
n
n n
n a
a
R 3.
; 1,
, 3
1
发散 原幂级数成为
时
当
n n x
. ) ,
1 , (
3
1
收敛 原幂级数成为
时
当
n
n
x n
).
3 , [3
收敛域为
3 , )
(
1
n n
n
n x x
设s 且s(0) 0.
1
1
) 3 (
n n
xn
x
则s
1
) 1
( 3 3
1
n
x n
3 . 1 1 3
1 3
1
x x
0x s(x)dx 0x 3 1 x dx
(0) )
(x s
s ln(3 x) ln 3
, 3 ln )
3 ln(
)
(
s x x x [3,3).
[ 3,3).
x
例 2 . , 2
1 1
1
1
n n
n
n n
nx 的收敛域与和函数 并求 求
解 1 1,
lim lim
) 1
( 1
n
n a
a
n n n
n
R 1.
; ,
, 1
1
发散 原幂级数成为
时
当
n
n x
. ,
) 1 ( ,
1
1
发散 原幂级数成为
时
当
n
nn x
).
1 , 1 (
收敛域为
, )
( )
2 (
1
1
n
nxn
x
设s 且s(0) 1.
1 n n
x
1 1
1 1
x
x x
21 .
(1 x )
1
1
1 1 )
2 (1 ) 2
3 (
n
n
n nn n
2) (1
s 4.
2) 1 1
(
1
2
2 1
2 3
1 2 3
( )
n n
x x nx
x x x x
例 3 . 2
1 , 2
2
1 2
2 1
2
2
n n
n
n n
x n
n 的收敛域与和函数 并求 求
解 ,
2 1 )
1 2
(
2 2
) 1 2
lim ( lim
) 1
( 1 1 2 2 2 x 2
x n
x n
u u
n n
n
n n n
n
n
; ,
2 2 1
2
原级数绝对收敛 时
即
当 x x
; ,
2 2 1
2
原级数发散 时
即
当 x x
. 2 ,
1 , 2
2
2 1 1
2
发散 原级数为
时 即
当
n
x n x
).
2 ,
2 (
收敛域为
2 2 2 4 2 2
2 3
1
3 5 2 1
2 3
2 1 1 3 5 2 1
(2) ( )
2 2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
n n
n n
n
n n
n n
s x x x x x
x x x x
设
2 1 2
1 1 1
( ) ( 1)
2 1
2
n n
x
x
x x
2 2 2
2
(2 ) x x
2 1 2
1 2
2
1 ) 2
3 (
1 2
n n
n n
n n
2 . 5 2
3 1 2
) 1 1
(
s
2
2x x
解
( 1 ) ,
1
n n
x n
n
考虑级数
收敛区间 (-1,1),
1
) 1 (
) (
n
x
nn n x
则 s
1 2 2 3 3 4
2( 1)
n 1
x x x n n x
2 3 n 1
x x x x
)3
1 (
2
x 1
1 1
x x
x
1
2
) 1 (
n n
n
故 n )
2 ( 1
s 8 .
内容小结 幂级数的性质
1)两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与 乘法运算 .
2) 在收敛区间内幂级数的和函数连续 ;
3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分 .
思考题
幂级数逐项求导后，收敛半径不变，
那么它的收敛域是否也不变？
内容小结
1. 数项级数
正项级数 交错级数 任意项级数
2. 幂级数
幂级数的收敛半径与收敛域
幂级数的和函数与数项级数的和
常见题型
1. 判别数项级数的敛散性
2. 求幂级数的收敛半径与收敛域 3. 求幂级数的和函数
4. 求数项级数的和
; 1)
( :
1
1
1
n n
n n
n n 判断级数敛散性 n
例
1
).
0 (
1) (
) 2 : ln(
2
n n a
a n 判断级数敛散性 n
例
敛？
是条件收敛还是绝对收
敛？如果收敛，
是否收 判断级数
例
ln ) 1 (
3
1
n
n
n n
.
6 . 1 5
1 4
1 3
1 2
1 1
4
收敛还是绝对收敛 如果收敛，说明是条件
的敛散性 讨论级数
例
. )
1 )(
1 (
5
0
敛域及和函数 收
求级数
例
n
x n
n
; 1)
( :
1
1
1
n n
n n
n n 判断级数敛散性 n
例
解 n
n n n n
n
n n
n u n
1) (
lim lim
1
n n
n
n n
1 ) 1
( lim
2 1
n n n
n
n n
1 2 ) ] 1 1
[(
lim
2
0
1
e 1 0,
根据级数收敛的必要条件，原级数发散．
1
).
0 (
1) (
) 2 : ln(
2
n n a
a n 判断级数敛散性 n
例
解
a n
u n n
n n n
n 1
) 2 lim ln(
lim
1 lim n ln( 2),
n n
a
, 2
,
2 n en
n 时 又
, )
2 ln(
1
n n n n
从而有 lim ln( 2) 1,
n
n n
则 1 .
lim n un a
n
1 0 1 1 , a a
当即时 原级数收敛；
, 1 1
1
0 即 时
当
a a 原级数发散；
, 1时
当 a ,
1) 1
(
) 2 ln(
1
n n
n 原级数为 n
, 1)
1 (
) 2
lim ln(
n
n
n
n 所以原级数也发散．
敛？
是条件收敛还是绝对收
敛？如果收敛，
是否收 判断级数
例
ln ) 1 (
3
1
n
n
n n
解 1 ,
ln 1
n n
n
1 ,
1
发散 而
n n
ln , 1 ln
) 1 (
1 1
发散
n n
n
n n
n n
即原级数不是绝对收敛的．
ln , ) 1 (
1
级数
是交错
n
n
n
n 由莱布尼茨定理：
, ln 0
1
1 ln lim
lim 1
n n n n
n n
n
), 0 (
ln )
(x x x x
f
), 1 (
1 0 1
)
(
x
x x f
( ) ln (1, ) ,
f x x x
在上单增
ln ,
1 单减
即 x x
, ln 1
1 当 时单减
故
n
n n
), 1 ) (
1 ln(
) 1 (
1 ln
1
1
u n
n n
n
un n n
所以此交错级数收敛， 故原级数是条件收敛．
.
6 . 1 5
1 4
1 3
1 2
1 1
4
收敛还是绝对收敛 如果收敛，说明是条件
的敛散性 讨论级数
例
解 1, .
) 1 ( ,
1 )
1 (
1
它为条件收敛 原级数为
时
当
n
n
n
) , 2 ( , 1
, 1 1
) 2 (
1 1
收敛 收敛
时
当
n
n n n
,
1 2
1
1
发散 而
n n
故原级数发散.
: ,
1 )
3
( 当 时 考察加括号的级数
]
1 2
1 )
2 ( [ 1 5)
1 4
( 1 3)
1 2
( 1
1 n n
且 除第一项外均为负项,
2 1 2
) 1 2
(
) 2 ( )
1 2
lim ( 1
1 2
1 )
2 (
1
lim
n
n n
n n n
n n
1 , ,
1
1
为发散级数 时
因为
n n
散, 形式知加括号的级数发 故由比较审敛法的极限
故原级数发散.
. )
1 )(
1 (
5
0
敛域及和函数 收
求级数
例
n
x n
n
解 ( 1)( 1) 1,
0
R x
n
n
n 的收敛半径为
, 1 1
1
收敛域为 x 即 0 x 2,
则有 设此级数的和函数为 s(x),
0
) 1 )(
1 (
) (
n
x n
n x
s [ ( 1) ]
0
1
n
x n
2 ) ( 1 )]
1 (
1
[ 1
x x
x
x .
) 2
(
1 x 2
