幻灯片 1

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

第 第 7 7 章 多元函数积分 章 多元函数积分 学 学

高等数学 A

7.1.3 三重积分的计算 ( 直角坐标 系 )

7.1 7.1 重积分 重积分

7.1 7.1 重积分 重积分

7.1.3 三重积分的计算（直角坐标系）

化三重积分为三次积分

“ 先一后二”法 习例 1-3

“ 先二后一”法 习例 4-7

三重积分的轮换对称性 轮换对称性结论 习例 8-10

利用积分区域的对称性与函数 的奇偶性化简三重积分计算

奇偶对称性结论 习例 11-12

小结

直 角 坐 标 系 下 三 重 积 分 的 计 算

一、化三重积分为三次积分

} )

, ( ), ,

( )

, (

| ) , ,

{(x y z z₁ x y  z  z₂ x y x y  D

 设

x

y z

o



D z1

z2S2

S1

) ,

1(x y z

z 

) ,

2(x y z

z 

a b

)

1(x y y 

)

2(x y y  )

, (x y

满足 :



} ),

( )

(

| ) , {(

) 1

( 在xoy面上D  x y y₁ x  y  y₂ x a  x  b (2) 通过 D 内的点且平行于 z

轴的直线与边界交点

不多于两个 .

则 的函数

只看作 将

看作定值 先将

, ) , , (

, ,

z

z y x f

y x

1. “ 先一后二”法



 ^{( , )}

) , (

2 1

) , , ( )

,

( ^{z x y}

y x

z f x y z dz

y x F

上的二重积分 在

再计算 F(x, y) D







^{( , ) } _a^b _y^y₁²₍⁽_x^x₎^{) ( , )}

D

dy y

x F dx

d y x

F 





 f ( x , y , z ) dv

^{( )}

( , , ) .

) (

) , (

) , (

2 1

2

  

1



_a^b

dx

_y^y _x^x

dy

_z^z _x^x _y^y

f x y z dz

称为先积 z 再积 y 最后积 x 的三次积分 , 记为 zyx.

需把一般区域先投影到 xoy 面得 D, 再作平行于 z 轴的 直线求得 z₁,z₂,得到简单区域.

则有 面上

面或 投影到

若将 zox yoz ,

. )

, , ( )

, ,

(

^{( )}

) (

) , (

) , (

2 1

2

  

1

 ^



b a

x z

x z

z x y

z x

y

f x y z dy

dz dx

dv z

y x f

. )

, , ( )

, ,

(

^{( )}

) (

) , (

) , (

2 1

2

  

1

 ^



d c

y z

y z

z y x

z y

x

f x y z dx

dz dy

dv z

y x f

投影要求 :

投到 xoy 面 , 平行于 z 轴的直线与边界不多于两个交点 . 投到 yoz 面 , 平行于 x 轴的直线与边界不多于两个交点 . 投到 zox 面 , 平行于 y 轴的直线与边界不多于两个交点 .

“ 先一后二”法习例

例 3 计算 ₃ , 0, 0, 0,

(1 )

1 dxdydz

x y z

x y z x y z



   

  

  



^其中是由

所围成的区域 .

解 由

 











2 2 2

2

2 x z

y x

z

,

得交线投影区域

,

2

1

2

 y  x

Z

Y X

故  的不等式组形式为

2 2

1 1

1 1

x

I dx ^ x dy

  

 

 

2 2 2

2 2

2 2

1 1

1 1

xy

x y z x

D x

x y x

    

    

 

 

    

 

2

2 2

2

2 ( , , )

x

x^ y f x y z dz





解



1^

x y

z

O

在 xoy 面上的投影区域如图 .

} 1 1

, 1

| ) ,

{( ²     

 x y x y x

D

. 0  z  x²  y² 且

x y

o 1

x2

y 

2 2

0^{x y} ( , , ) I 

 

_¹₁^dx _x^{12 dy}



^ f x y z dz

2 2

2

0

: 1 1

xy 1

z x y

D x

x y

   

    

   



1 作图 2 投影 3 穿体 4 定限

解

例 3 计算 ₃ , 0, 0, 0,

(1 )

1 dxdydz

x y z

x y z x y z



   

  

  



^其中是由

x y

0 1

z

: 0 1

: 0 1

z x y

D x

y x

   

 

    

     



y

x

所围成的区域 .

3

1 1 1

0 0 0 3

(1 )

1

(1 )

x x y

dxdydz x y z

dx dy dz

x y z



  

   

   



  

1 作图 2 投影 3 穿体 4 定限

1 1 1 2 0

0 0

1 |

2(1 )

x x y

dx dy

x y z

  

 

  

 

1 1 1

3 0 0 0 3

1

(1 ) (1 )

x x y

dxdydz

dx dy dz

x y z x y z

  



 

     

   

1 1

0 0 2

1 1

[ ]

8 2(1 )

dx x dy

x y

   

 

 

1 1

0 0

1 1

[ ]|

8 2(1 )

y x dx

x y

   



  0¹

3 1

[ ]

8 8 2(1 )

x dx

    x





2 1

0

3 1 1

[ ln(1 )]

8 x 16 x 2 x

     1 5

ln 2 .

2 16

 

2. “ 先二后一”法

z

(1) 把积分区域



_向某

轴（例如z _轴）投影, 得投影区间

[ c

₁

, c

₂

]

_；

(2)对z[c₁,c₂]_用过

z

_轴且

平行

xoy

_{平面的平面去}

截



_，得截面

D

_z^;







^

 D_z

c

c dz f x y z dxdy dxdydz

z y x

f ( , , ) ( , , )

) 3

( ²

1

).

, ( )

, , ( )

( )

, ,

(x y z g z f x y z g x y

f  或 

用于

“ 先二后一”法习例

. 1 :

, ) ( ) 1

( )

(

, )

, (

) ( .

5

2 2

1 2 1

2    













_



z y

x dx

x f x

dv z

f x f ex



证明 可积

在 例 设

6

例 7 计算

( x

²

y dv

²

) , :



 



^{由 yoz 上y  2z}

8 ,

2 

 z

绕 z 轴旋转所得旋转面与z 围成的区域

} 1

| ) ,

{(x y x y z

D_z    

x

o z

1 y

1

1

1

z

x   z ^{y  1 z}

“ 先二后一”法

0 1

: _z {( , ) | 1 }

z

D x y x y z

  

     





zdxdydz ¹

0

Dz

zdz dxdy



 

1(1 )(1 ) 2

z z

D D

dxdy  S   z  z



1 0

1 1

(1 )(1 )

2 z z z dz 24





  





zdxdydz ^{1 1 1}

0 0 0

x x y

xdx ^ dy ^{ } zdz



  

1 1 2

0 0

1 (1 )

2

dx ^x x y dy



 

 

x

o z

y

1 1

1

0 1

: 0 1

: 0 1

z x y

D x

y x

   



    

    



1 3

0

1 (1 )

6 x dx

    ^ ₂₄ ¹

解法 2 “ 先一后二”法

x

y

z

o

Dz

解

2 2 2

2 2 2

: _z{( , ) | 1 }

c z c

x y z

D x y

a b c

  



    

2 2

2 2

2 2

(1 ) (1 )

Dz

z z

dxdy a b

c c



   



), 1

( ₂

2

c ab  z









 



^c

c

z dz

c

ab z

₂ ²

2

) 1

( .

15

4

₃

 abc



2

z

c

c D

z dz dxdy









. 1 :

, )

( ) 1

( )

(

, )

, (

) ( .

5

2 2

1 2 1

2    













_



z y

x dx

x f x

dv z

f x f ex



证明 可积

在 设

证明  1  z  1,

. 1

: x² y² z²

D_z   







_







Dz

dxdy dz

z f dv

z

f ¹

1 ( ) )

(



_ ^

 ¹

1

2) ( ) 1

( z f z dz

 ¹ _{(1 ) ( ) .}

1



_ ^ 2

  x f x dx 例 6

z

例 7 计算

( x

²

y dv

²

) , :



 



^由

^yoz

^上

z

y  2 绕 轴旋转所得旋转面与 z  2, z  8 区域．

围成的

8

z

x o² y

提示 : 由于被积函数只含有 x , y , 利用“先二后一” 计算也方

便 .

2 2

0 8

: ,

: 2

z

z

D x y z

  

   

原式 = ( ^{2 2} )

Dz

x  y d xd y

8



2

d z



8 2 2 2

2 0 0

d z

^

d 

z

r rdr

   

^{ 2}

^

^{28 1}₄ ^r4 ₀^{2z d z  336}

二、三重积分的轮换对称性

( , , )d d d ( , , )d d d .

f x y z x y z f y x z x y z

 







1.( 两字母轮换 ) 如果将 x,y 换为 y,x 积分域不 变 , 则

2.( 三字母轮换 ) 如果将 x,y,z 换为 y,z,x 积分域不 变 , 则

( , , )d d d ( , , )d d d . f x y z x y z f y z x x y z

 







3.( 三字母轮换 ) 如果将 x,y,z 换为 y,z,x 积分域不 变 ; 当被积函数 f(x,y,z) 中 x,y,z 依次轮换，函数的 形式不变 ; 而 f=ff₁+f₂+f_{3 ,} 且 x,y,z 依次轮换时， f₁

， f₂ ， f₃ 依次轮换，则

1

2 3

d d d 3 d d d

3 d d d 3 d d d .

f x y z f x y z

f x y z f x y z

 

 



 

 

 

轮换对称性习例

2 2 2

2 2 2 2

8 ( ) ,

: .

I lx my nz dxdydz

x y z a



  

   



例求

其中

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

1

9 ( ) .

x y z

a b c

x y z

I dv

a b c

  

   

例求

2 2 2 2

10 ( )

( ) ( ) ( )

: , 0( )

I f x dxdydz

f x f y f z

x y z a f



  

    



例求

其中连续

2 2 2

2 2 2 2

8 ( ) ,

: .

I lx my nz dxdydz

x y z a



  

   



例求

其中

解 由轮换对称性可知 ,







  



 y dxdydz z dxdydz dxdydz

x^{2 2 2}











 I (l m n) z²dxdydz





   







2 2 2

2

) 2

(

z a y x

a

a z dz dxdy

n m

l



_ ^





 ^a

a z a z dz

n m

l ) ( )

( ² ^{2 2 ( ) .}

15

4 ₅

a n m

l  

 

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

1

9 ( ) .

x y z

a b c

x y z

I dv

a b c

  

   

例求

解

2 2 2

2 2 2

2

1

:

x y z

a b c

z dv

  



利用 ^ ₁₅ ^{4  abc}

³

^.

由对称性知：

2 2 2

2 2 2

4 15

z x y

dv dv dv abc

c a b 

  

  

  

2 2 2

2 2 2

( ) 4

5 x y z

dv abc

a b c 



    

2 2 2 2

10 ( )

( ) ( ) ( )

: , 0( ).

I f x dxdydz

f x f y f z

x y z a f



  

    



例求

其中连续

解

( )

( ) ( ) ( )

f y dxdydz f x f y f z



 



原式 =

( )

( ) ( ) ( )

f z dxdydz f x f y f z



 



=

1 ( ) ( ) ( )

= 3 ( ) ( ) ( )

f x f y f z

dxdydz f x f y f z



 

 

 ^{= 4} ₉ ^{ a}

³

^.

三、利用积分区域的对称性与函 数的奇偶性化简三重积分计算 使用对称性时应注意：

１ . 积分区域关于坐标面的对称性；

２ . 被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的

一般地，当积分区域 关于xoy平面对称，且被 积函数f(x,y,z)是关于z 的奇函数，则三重积分 为零，若被积函数f(x,y,z)是关于z 的偶函数， 则三重积分为在xoy平面上方的半个闭区域的 三重积分的两倍.

奇偶性．

则 面对称

关于 , .

1  xoy























^

 0 ( , , ) ( , , ) ) , , ( )

, , ( )

, , ( 2

) , , (

z y x f z

y x f

z y x f z

y x f dv z

y x f dv

z y x

f _上

则 面对称

关于 , .

2  yoz























^

 0 ( , , ) ( , , ) ) , , ( )

, , (

)

, , ( 2

) , , (

z y x f z

y x f

z y x f z

y x f

dv z

y x f dv

z y x

f 前

则 面对称

关于 , .

3  zox























^

 0 ( , , ) ( , , ) ) , , ( )

, ,

( )

, , ( 2

) , , (

z y x f z

y x

f

z y x f z

y x

f dv z

y x f dv

z y x

f _右

奇偶对称性习例

2 2 2

12 ( )d d d ,

1 .

x y z x y z

x y z



 

   



例求

其中为球面所围成的区域

解

x

y

2 z

) ( x  y  z



) (

2

2

2

2

y z xy yz zx

x     



同理,zx是关于x的奇函数,

0,







^xzdv 

则









 x y z dxdydz

I ( )

²









 (x² y² z² )dxdydz x

y z







 (r² z² )rdrddz

, 1 : x²  y²  D

. 2 ²

2 z r

r   



 

^{ }

 ² ₂^{2 2 2 2}

0

1

0 ^r ( )

r r r z dz

dr

 d



).

89 2

96

60 ( 

 

2 2 2

12 ( )d d d ,

1 .

x y z x y z

x y z



 

   



例求

其中为球面所围成的区域 解 由轮换对称有

d d d d d d d d d

x x y z y x y z z x y z

  

 

  

由奇偶对称性有 x x y zd d d 0







(x y z x y z)d d d 3 x x y zd d d 0.

 





  





三重积分的定义和计算

在直角坐标系下的体积元素

dv  dxdydz

（计算时将三重积分化为三次积分）

方法 1: 先一后二法 ,

方法 2: 先二后一法 ( 截面法 )

( 当被积函数为单变量函数时 , 一般用此法 )

小结

注意：利用对称性简化运算

书后习题

3(1)

3(2)

2 2 2 2

2 2

1

: 1

: 2

xy

x y z x y

D x y

     

 

 



2 2

2 2

1

xy

x y x y D

I dxdy

^{ }

zdz

  



2 12 2

0 0

1 (1 2 )

2 8

d r rdr







 



 

3(3)

xyzdxdydz , : 由及 x

²

y

²

z

²

1



   



三个坐标面所围成的第一卦限内的闭区域。

2 2

1 0

2 2

1 (1 )

2

xy

xy

x y D

D

xyzdxdydz xydxdy zdz xy x y dxdy

 





  

  



2 2

2 2

0 1

: : 1, 0, 0

解：

xy

z x y

D x y x y

    

 

   



1 2 2 2

2

0 0

1 1 1 1 1

sin cos (1 ) sin 2 ( )

2 4 4 6 48

0

d r r rdr

 

   



 

    

3(4)

xzdxdydz , : 由及 z 0, z y y , 1 y x

²



    



所围成的闭区域。

书后习题

5. 计算 ^{(x2 y dxdydz2 ) ,}







2 2 2

(x b )  z  a (0  a  b)

其中为由圆

绕 oz 轴旋转一周所围成的 空间环形域 。

解： 将向 xoy 面投影，如图示。由对称性

2 2

2 2

( )

2 ( )

up

x y dxdydz

x y dxdydz







 





2 2 2 2

0 ( )

: 0 2

xy :

z a x y b

D b a r b a

 

     

    

     

 



b a b a

2 2 2 2

0 ( )

: 0 2

xy :

z a x y b

D b a r b a

 

     

    

     

 



2 2

2 3 ( )

0 0

3 2 2

3 2 2 3 2 2

2 3 2 2

0

sin 2 2 2 2 2 2

0

2 2 2 2 2 2 2

0

2 2 2

2

4 ( )

4 ( 3 3 )

8 (3 )

8 (3 sin ) cos

8 (3 sin cos cos )

8 [3 (sin

b a a r b

b a

r t b a

a a

a a

t a u

I d r dr dz

t b a t dt

t t b tb b a t dt t b b a t dt

b a u b a udu

a b a u u b u du

a b a u





















  



 









  

    

  

 

 



  











令

4 2 2

2 0

2 2 2

cos ) cos )

1 3 1

8 [3 ( ) ]

2 8 2 2

u b u du

a b a b



 

 

    



2 2

2 2

(3 4 ) 2

a b a b

  

6.

1 3

0

1 [ ( ) ] 3!



f t dt

书后习题

1 3 0

1 [ ( ) ] 3! f t dt





8.