微积分基本公式

定义“

… ^设函数 ) (x

f _在[a,b]_上有界，

复习：一、定积分的定义



a^bf(x)dx^I^{ n} _{i i}

i

x

f 





 ( )

lim

0 1





“ 可积函数一定有界”或 “无界一定不可积”

但是：“有界不一定可积”

(4)f(x) 在 [a,b] 上有界是 f(x) 在 [a,b] 上可积的必要而 非充分条件；

（ 5 ） [a,b] 有限是 f(x) 在 [a,b] 上可积的必要条件而非

充分条件；“ f(x) 在 [a,b] 上可积，则区间有限” ,“ 区间无 限，则不可积” . 但是：“区间有限，也不一定可积”

 可积的必要条件定理

：

1 .

0

2dx



x

解：连续则可积，故积分与区间的分法、取点法无关。

将

[ 0 , 1 ] n

_{等分，分点为}

n

x

_i

 i

_，⁽

i  1 , 2 ,  , n

⁾

小区间

[ x

_i1

, x

_i

]

_的长度

x

_i

n 1





_，⁽

i  1 , 2 ,  , n

⁾

取 

_i

 x

_i

_，

⁽

^{i  1 , 2 ,} _ ^{, n}

⁾

i i

n

i

x f (



)





1

 ^{i i}

n

i

x







2 1



n n

i

n i

2 1

1

 



 

















ⁿ

i

n

₁

i

2 3

1

6

) 1 2

)(

1 (

1

3



 

 n n n

n

例 1 利用定义计算定积分

1 , 1 2

6 1

1 



 

 



 

 

 n n







 0 n



dx



0¹

x

2 i i

n

i

 x

 

 

2 0 1

lim 





 

 



 

 

 ⁿ n n

2 1 1 1

6

lim 1 ^.

3

 1

P 1(2) ： 利用定义计算定积分



¹

0

dx e^x 解 将 [0,1]

n

_{等分，左侧取点}

x n n

i

i i

, 1

1 

  

 _{f (}_{i )  e}^in1

] 1[

) (

1 2

1 0

1

n n n

i n n

i

i e e e e

x n f















^{ }  ^{ 等比数列}

n n n

e e n ¹

1

1

) (

1 1



 



1 1 )

1

( ₁







en

e n    n   n, 0

1 



1 1 lim

1 1

lim 1 0 

 

 ^



 x x

n n e

x e



n

  n

i

i

i x

f

0 1 ( )

lim  



1 1 )

1 (

lim ₁





  n n

e

e n  e  1

定理 1 _当函数f(x)_在区间[a,b]_{上连续时，}

称f(x)_在区间[a,b]_上可积.

定理 2 设函数f(x)_在区间[a,b]_上有界，

且只有有限个间断点，则f(x)_在

区间[a,b]_上可积.

 可积的充分条件定理（存在定理）

“f(x) 在 [a,b] 上积分是否存在，与 f(x) 在 [a,b] 上是否有 原函数没有必然联系！”

（1）当ab_时，



a^bf(x)dx0_；

（2）当

a b

_时，

 ^{ } 

b^a b

a

f ( x ) dx f ( x ) dx

.

定积分的性质

   

 



b

a

n

i

n

i

b

a i i

i

i f x dx k f x dx

k

1 1

) ( )]

( 性质 1 、 2 [



a^b f (x)dx^



^



c^b c

a f (x)dx f (x)dx^.

性质 3

b dx

a 



^{1 }



a^{b dxba.}

性质 4

性质 5 （非负

性） 如果在区间

[ a , b ]

_上

f ( x )  0

_，

性质 5 的推论：（比较定理）

则^bfxdx



a ^{() }



a^{bg(x)dx. (ab)}

（ 1 ） 如果在区间[a,b]_上f(x)g(x)_，

（ 2

） ^b

f x dx



a

^{( ) } 

a^b

^{f ( x ) dx}

^{. (a  b)}

设M_及m_{分别是函数} )

(x

f_在区间[a,b]_{上的最大值及最小值，}

则 m(b a) ^b f (x)dx M(b a)

a  







^.

性质 6 （估值定理）

如果函数f(x)_在闭区间[a,b]_上连续，

则在积分区间[a,b]_{上至少存在一个点}



^，

使^bf xdx



a ^{( ) f(}

^

^{)(ba). (a}

^

^b)

证 m(b a) ^b f ( x)dx M(b a)

a  









M dx

x a f

m b ^b

a 

 

 ¹



^{( ) 由介值定理知}

性质 7 （定积分中值定理）

注： 1 ）定理条件 f(x) 在 [a,b] 连续不能消弱

！

2 ）积分中值公式的几何解释：

( )

^x

( ) x

a

f t dt

  

把 称为积分上限函数”

5.2 微积分基本公式

定义 积分上限函数

证   ( x  x)  (x) f t dt ^x f t dt

a x

x

a





^

 ^ ( ) ( )

x x

( )

x ^

f t dt

  ^{ f ( )   x (   [ , x x   x ])}

] b , a [ C )

x ( f ,

,

0  





且

而

x



x )

( lim

lim0 0 f  x ^x

x  

 





).

( )

(x  f x



) 

x ( f )

( lim

) (

lim0  x 





  

 f

x f 故：

, x 0, ( ) ( );

x a     

_

a  f a 若取可证

, x 0, ( ) ( ).

x b     

_

b  f b

若取可证

如果f(x)_在[a,b]_{上连续，则积分上限的函}

数 x ^xf tdt



a



( ) ( ) _就是f(x)_在[a,b]_上的一个

原函数.

（ 1 ）肯定了连续函数的原函数是存在的 .

（ 2 ）初步揭示了积分学中的定积分与原函数 之间的联系 .

定理 2 （原函数存在定理）

f(x) 在 [a,b] 上连续时， f(x) 在 [a,b] 上可积、且存在原函数

；否则：“ f(x) 在 [a,b] 上积分是否存在，与 f(x) 在 [a,b] 上 是否有原函数没有必然联系！”

定理 3

Newton-Leibniz 公式

C x

x

F   

 ( ) ( )

^{x [a,b]}

令

x  a

 F (a)  (a)  C,

证

0 )

( )

(  

 ^a



a^{a f t dt}

 ^{ F(a)  C,} ),

( )

( )

(t dt F x F a

x f

a  





^{令 x  b }

) ( )

( )

( x dx F b F a

b

f

a

 



^

^

^{F( x)}

^

^ba

. )

1 sin

cos 2

(

2



0^{ x  x  dx}

解 原式 ^



^{2sin x  cos x  x}



₀^2 . 3  2



例 1 求

例 2 设 , 求 . 







 

2 1

5

1 0

) 2

( x

x x x

f



0² f ( x)dx

解



^



0^{1 }



2 1 2

0 f (x)dx f (x)dx f ( x)dx

在[1,2]_上规定当x1_时，f(x)5^,



^



 ¹

0

2 15 2xdx dx

原式 _x

y

o ¹ 2

 6

注意 _当ab_时，^bf(x)dx F(b) F(a)

a  



^仍成立.

例 3 求 ² max{ , } .

2



 x x2 dx

解 由图形可知

x y

o

x2

y 

x y 

1 2

2

} ,

max{

)

( x x x

²

f 

,

2 1

1 0

0 2

2 2























x x

x x

x x







^{ }



 

2 1 1 2

0 0

2

2dx xdx x dx

原式

x .

2

 11

例 4 求 ¹ 1 .

2 dx



^ x

解 _当x0_时， x

1的一个原函数是ln|x|^, xdx



^ 1 2

1 ^



^{ln | x |}



^_¹₂

. 2 ln 2

ln 1

ln   



解 面积 A ^



0^sin xdx



^



^

 cos x ₀  2. ^x

y

o 

2 、 则按复合函数求导法则：例 5.2.3

) ( )]

( [ )

( ) u x (

] u )

( u [

] ) ( [

) u (

x a x

a f x

a d f

dt d t

d f dt d

t dx f

d

a x

a

a

 

 

 



2 2

2 x x

1 1 t

x

t

e dt e

dx dt d

dx e

d

_{  }







 



如：

dt ) t ( f )

x

( ^a(x)



a

 若

例 6 求 lim ₂ .

1 cos 0

2

x

dt ex

t

x



^

 0

0

解



cos^{1 }

2

x

t dt dx e

d ^cos

,

1



^ 2





^x

e

^t

dt dx

d

)

2

(cos

cos

 



 e

^{ x}

x  sin x  e

^{cos2 x}

,

2 1

cos 0

2

lim x

dt

x e

t x



^

 x

e

x ^x

x 2

lim sin

cos2

0





  .

2 1

 e

3 、一般：



 

^{( )}

)

(

( )

)

(

^{b x}

x

a

f t dt dx

x d

F ^{ f}  ^{b ( x )}  ^{b  ( x )  f}  ^{a ( x )}  ^{a  ( x )}

 

^{f t dt}

x

F a x

x

b ( )

)

( ⁰

) (

) (



^



0



dt t

x f



b

 ^{( )}

0 ( ) ^{( )} ( ) ,

0^{a x} f t dt







( )



( )



( )



( )

)

(x f b x b x f a x a x F     证