6 方阵的若当标准形

§6 方阵的若当标准形

一、 不变子空间

设L为一个实（或复）线性空间V的一个线性变换，S为V的一个子空间，若LSS， 则称S为关于L的一个不变子空间.

设V₁,V₂,,V_s是n维线性空间V的一个线性变换L的不变子空间，V可以用它们的直和：

Vs

V V

V  ₁ ₂ 

来表示的充分必要条件是：在某基底下线性变换L对应的矩阵A可化为分块对角矩阵



















As

A A A

0

0

2 1



式中A_i的阶数分别等于V_i的维数(i1,2,,s).

二、方阵的标准化

[若当块与若当标准方阵] 形为



















i i

i

m_{i i}

J









0

1 0 1

, 



的m阶方阵称为若当块，式中_i是一特征值.

一个方阵的分块矩阵在主对角线上的子阵都是若当块，而其余的子阵都是零矩阵，即























s

ms

m m

J J

J J







, ,

,

2 2 1 1





 （1）

则称其为若当标准方阵或若当标准形. 注意，不同块里的这些_i未必两两不同.

[方阵的标准化]

1^o特征值都不同的情形 若一个方阵A的特征值都不相等，则A可以化为对角矩阵，

它的主对角线上的元素就是这些特征值：

















n





0

0

2 1



2^o特征值有相等的情形 任意方阵A都可以化为与它相似的若当标准形（1），其中_i 是它的特征值，mi是特征值i的重数. 如不计若当块J_mi,i的次序，则A的标准形是唯一的.

当且仅当一切若当块的阶m_i都等于1时，可化为对角矩阵. 这就是1^o的情形.

以上说明，假定 A 是一个方阵，那末总可找到一个非奇异的方阵 T，使得方阵T^1AT与 A相似.

JT^1AT

三、方阵标准化的方法与步骤

[λ 矩阵] 假定一个n阶方阵A的元素都是变数λ 的复系数多项式

A A()

则A()称为λ 矩阵. 一个λ 矩阵A()的不恒等于零的子式的最高阶数r称为A()的秩.

[不变因子与初等因子] 设r为A()的秩，k是正整数1k r，D_k()为A()的一切k 阶子式的最高公因式，则D_k()是一个的多项式，规定D_k()的最高次项系数是1；此外 规定

D_o()1, D_k()0 (rkn) 称













 _ 

) (

0

) ) (

( ) ( )

( 1

n k r

n k D r

D

d k

k

k 





为A()的不变因子.

把每个d_k()分解为一次因子，得到

d_k()(₁)^t1k(₂)^t2k(_i)^tik (k 1,2,,r)

式中指数t_ik有的可能是零，当t_ik 0时，(_i)^tik称为A()的一个初等因子.

[初等变换·矩阵的等价] 对λ 矩阵A()的下列三种变换的有限次组合称为A()的初等

变换.

（i）任何两行（列）互换；

（ii）把任何一行（列）的各元素乘上同一个λ 的多项式后加到另一行（列）的相应的元 素上；

（iii）把任何一行（列）的元素乘上同一个不等于零的复数.

应当指出，适当地施行（ii），（iii）两种变换可以得到（i）.

若B()可由A()经过有限次初等变换得到，则称A()与B()等价，记作A()B(). λ 矩阵经过初等变换后，其不变因子和初等因子都不变.

[λ 矩阵的标准形] 设λ 矩阵A()的秩为r，不变因子为d₁(),d₂(),,d_r()，则































0 0

0 ) ( )

(

0 )

(

) (

2 1











 d_r

d d

A

称右边的方阵为A()的标准形. 它是由A()唯一确定的.

等价的λ 矩阵具有相同的标准形.

[特征矩阵] 方阵A的特征矩阵(AI)是一个特殊的λ 矩阵. 所以 1^o若(AI)的初等因子为

(₁)^m1,(₂)^m2,,(_s)^ms 其中各_i未必两两不同，则

m₁m₂ m_s n 且有







































ms s m

I m

A

) (

0

) (

) (

1

0 1

) (

2 2 1

1



















2^o如果n阶λ 矩阵





































ms s m

B m

) (

0

) (

) (

1

0 1

) (

2 2 1

1



















其中m₁m₂ m_s n，则

) (

)

( J I

B   式中J为A的若当标准形.

3^o若A的特征矩阵的初等因子为

(₁)^m1,(₂)^m2,,(_s)^ms 则 A~ J

J为A的若当标准形.

[方阵标准化的步骤] 把方阵A化为A的若当标准形的步骤如下：

(1) 利用初等变换把(AI)化为对角矩阵，分解对角线上的多项式，就得到AI的全

部初等因子.

(2) 相应于每个初等因子(₀)^m，作出一个m阶的若当块

















0 0

0

0

1 0 1











(3) 把全部若当块合并起来就得到A的若当标准形.

例1 求方阵





























4 1 2

9 2 7

3 1 3

A

的若当标准形.

解













































4 1 2

9 2

7

3 1

3 I A

容易求出它的不变因子为1，1，(1)(2)²，所以初等因子是(1),(2)²，因此得到A 的若当标准形

















2 0 0

1 2 0

0 0 1

例2 求方阵

























 

0 1 5 14

1 2 1 6

0 0 1 4

0 0 1 3 A

的若当标准形.

解

















































1 5

14

1 2

1 6

0 0 1

4

0 0 1

3 I A

经过初等变换可以把它化为如下形式的对角线矩阵





















1 0 0

0

0 ) 1 ( 0 0

0 0 )

1 ( 0

0 0 0

1

2 2





所以初等因子为(1)²，(1)²，相应的若当块为



 



 



 





1 0

1 , 1

1 0

1 1

所以A的若当标准形为

















1 0 0 0

1 1 0 0

0 0 1 0

0 0 1 1