§1单变量函数的积分 - DrHuang.com

第六章 积 分 学

这一章综述了单变量函数的常义积分、广义积分、含参数积分的基本概念、性质和计算 方法，收集了求不定积分、定积分、多重积分、曲线积分、曲面积分的有关公式，主要的积 分不等式以及积分的某些近似计算公式，简要地列举了积分在实际中的各种应用；编制了不 定积分表和定积分表.

§１单变量函数的积分

一、 积分基本概念

［不定积分（原函数）］ 如果在给定的区间[a ,b]上 _F_{(x) f(x)}

那末F (x)称为f(x)在区间[a,b]上的一个原函数.

如果f (x)有一个原函数F (x)，那末它一定有无穷多个原函数，它们是形如

F x( )C

（式中C 是任意常数）的函数族，所以用记号

C x F x x

f  



^{( )d ( )}

表示f (x)的原函数全体，称为f (x)的不定积分.

［定积分·黎曼积分］ 设在区间[a,b]上给定了函数f (x).用任意方法把区间[a,b]分成若干

部分，其分点为ax₀ x₁  x₂  x_i  x_i1 x_n b，并设λ 是Δx_i  x_i1 x_i (i=0,1,2,…,n－1)中最大的.在每一个小区间[x_i,x_i1]上任取一点x_i,x_i _i x_i1

(i=0,1,2,…,n－1),作和



^



 ¹

0

)Δ (

n

i

i

i x

f 

 （图6.1）.当λ →0时，如果极限



^

 

  ¹

0 0

0 lim ( )Δ

lim

n

i

i

i x

f 

 



存在，那末这个极限称为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作



^{ }



 

b a n

i

i

i x f x x

f( )Δ ( )d lim

1

0 0 



此时，函数f(x)称为区间[a,b]上的可积函数（黎曼可积），a和b分别称为积分的下限和上限，

f(x)称为被积函数，x是积分变量，“ _ ” 是积分号.

［牛顿－莱布尼茨公式］ 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，

或分段连续，则f(x)在[a,b]上有原函数，设F(x)是f(x)在[a,b]上 的一个原函数，则

) ( ) ( d )

(x x F b F a

bf

a  



这称为牛顿－莱布尼茨公式，或微积分学基本定理，它指出了 定积分与不定积分的内在联系.

［可积函数及其性质］

１° 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)是可积的.

２° 若函数f(x)在[a,b]上有界，且只有有限多个间断点，则f(x)是可积的.

３° 单调有界函数一定是可积的.

４° 可积函数一定是有界的.

５° 若函数f(x)可积，则|f(x)|与kf(x)（k为常数）也可积.

６° 若函数f(x)，g(x)可积，则其和、差、乘积也可积.

７° 若函数f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]中的任一部分区间[α ,β ]上也可积.反之，若

把[a,b]分割成若干部分区间，并分别在每个部分区间上f(x)可积，则它在整个区间[a,b]上可积.

［积分中值定理］儍儍儍儍

１° 若函数f(x)在区间[a,b]上连续（图6.2），则在区间[a,b]内至少存在一个数ξ (a<ξ <b)，

使得

) ( ) ( d )

(x x b a f 

bf

a  



２° 若函数f(x)，g(x)在区间[a,b]上有界且可积，f(x)连续，

g(x)在区间[a,b]内不变号，则在区间[a,b]内至少存在一个数ξ (a<

ξ <b)，使得





^ a^b

b

a f(x)g(x)dx f() g(x)dx 这称为关于积分的第一中值定理.

３° 若函数f(x)，g(x)在区间[a,b]上有界且可积，而f(x)在[a,b]上是单调的，则在区间[a,b]

内至少存在一个数ξ (a<ξ <b)，使得



^{ }



a ^{ }



^b

b

a f x g x x f a g x x f b g x x



 ( )d ( 0) ( )d

) 0 ( d ) ( )

(

这称为关于积分的第二中值定理.

４° 除此条件而外，若f(x)非负单调下降（广义的），则





^{ } a^

b

a f(x)g(x)dx f(a 0) g(x)dx (a<ξ <b)

若f(x)非负单调上升（广义的），则





a^bf x g x x^f b^{ b}g x x

 ( )d )

0 ( d ) ( )

( (a<ξ <b)

二、 积分不等式

设f(x),g(x)在区间[a,b]上可积，则有下列不等式：

１° 若在区间[a,b]上，f(x)≤ g(x)，则



a^bf(x)dx≤



a^bg(x)dx ２° 设m inf f(x),M sup f(x)

b x b a

x

a    

 ，则

m≤ _



a^bf x x a

b1 ( )d ≤ M ３°



a^bf(x)dx^≤



a^b| f(x)|dx

４° 施瓦兹不等式

 _

_a^bf(x)g(x)dx



^2≤

_

_a^b[f(x)]2dx

_

_a^b[g(x)]2dx

５° 赫尔德不等式 设ｋ>1，

k 

>１，^{1 1 1} k k 

' ，则



^{abf(x)g(x)dx≤}

  

a^b



^k

k k b

a

k x g x x

x

f



^



1 1

d

| ) (

| d

| ) (

| ^'

等号只当f(x)g(x)符号固定且| ( )|f x ^kc g x| ( )|^k'（ｃ为正常数）时成立，当ｋ＝ｋ＇＝２时，就 是施瓦兹不等式.

６° 闵可夫斯基不等式 设r>0，则

 _

_a^{b| f(x)g(x)|r dx}



^{r1≤ (}

_

_a^{b| f(x)|r dx)r1 (}

_

_a^{b|g(x)|r dx)r1 (r≥ 1)}



a^{b } r r

x x g x f

1

) d

| ) ( ) (

|

( ≥ ^{b r}

a r r b

a

r x g x x

x f

1 1

) d

| ) (

| ( ) d

| ) (

|

(



^



（r<1, f(x)与g(x)在[a,b]上同号）

等号只当f(x)=cg(x)(c为常数)时成立.

７° 贝塞耳不等式 设 f_n(x)（n为正整数）在[a,b]上为一正规正交系：







 



a^bfn^(x)fm^(x)dx ₁⁰₍⁽_m^m _nⁿ₎⁾

则



^



 b

a n

n

x x f x

g ²

1

) d ) ( ) (

( ≤



a^b(g(x))²dx

８° 哈代不等式 设f(x)在［0，∞ ）上可微且上升，f '(x)连续，f(0)=0，p>１，则





0^{ } _ ) 0^( '( )) d ( 1

d ))

( ( f x x

p x p x

x

f _{p p p}

等号只当f(x)≡ ０时成立.

三、 原函数的求法

１．不定积分法则



f ^'(x^)dx f⁽x⁾C^,



^{f ' '(x)dx f ' (x)C}



^{(af(x)bg(x))dxa}



^f(x)dxb



^{g(x)dx (a,b}为常数) (线性运算)



^f(x)dx



^{f[(t)]' (t)dt} (变量替换)



^{u' dx u}



^{u 'dx} (分部积分)



f ^'[(x^)]d[(x^)]f^[(x^)]C (配元积分) ２．有理分式的积分

［化成基本真分式法］ 设R(x)是一个具有实系数的真分式，则R(x)的积分可化成它分 解出的基本真分式（第一章，§１）的积分，并且

( )

) (

) ) (

( ) ( d ) (

1 1

1 H x

x Q

x x P

H x R x x

R    



式中R₁(x)仍为一有理函数，并且还是真分式，H(x)一般是超越函数（对数函数和反正切函数）.

［奥斯特洛格拉特斯基方法］ 任一真分式P x

Q x ( )

( )的积分可以写为 x x

Q x P x

Q x x P x Q

x

P d

) (

) ( )

( ) d (

) (

) (

2 2

1

1





^{ }

式中^{P x} Q x

1 1

( )

( )， ^{P x} Q x

2 2

( )

( )为真分式，

Q₁(x)(xa₁)^k11(xa₂)^k21(xa_m)^km1(x²  p₁xq₁)^l11(x²  p_nxq_n)^ln1 Q₂(x)(xa₁)(xa₂)(xa_m)(x² p₁xq₁)(x² p_nxq_n)

Q Q_{1 2}Q )

1(x

P 和P₂(x)的系数可利用待定系数法从关系式

) (

) ( )

( ) ( )

( ) (

2 2 1

1

x Q

x P x

Q x P x Q

x

P 





 



 中求出.

３．有理函数积分的变量替换公式表 表中R表示有理函数

积分类型 变量替换公式 dxdt















 x

e cx

b x ax

R ,ⁿ d

（n为整数）





x e

cx b ax

e cx

b x ax

R

m n

d ,

, ,

 









（m,n为整数）

n n n

ct a

et x b

e t cx

b ax



 



 

 ,

r r r

ct a

et x b

e t cx

b ax



 



 

 ,

式中r为n,m,…的最小 公倍数

ct t a

t bc ae

x n _n

n

) d (

)

d ( ₂

1



  ^

ct t a

t bc ae

x r _r

r

) d (

)

d ( ₂

1



  ^

x c bx ax x R

d ) ,

(

2  



a>0 时

c>0 时

b t a

c x t

x a t c bx ax



 









2

2 2

a t

b t x c

c xt c bx ax



 











2 2

2

t b

t a

a c bt t

x a d

) 2

( 2

d 2

2





 

a t t

c a bt t

x c d

) 2 (

d _{2 2}

2





 

) 0 4 (

) )(

(

2 2















ac b

x x a

c bx ax













 









2 2

2 ( ),

t a x t

a x t c bx

ax _t

a t

x at d

) (

) (

d 2 _{2 2}



 

 



^{R x, x2 a2 dx}

 



^{R x, a2 x2 dx}

 



^{R x, x2 a2 dx}

t a a

x t a x

cos , tan

2

2  



（或x=asht, t a a

x²  ²  ch )

t a x a

t a x

cos , sin

2

2  



(或x=acost, t a x

a²  ²  sin )

t a a x

t a x

tan , sec

2

2  



(或x=acht, t a a

x²  ²  sh )

t t

x a d

d cos

 2

（或dx=achtdt）

t t a x cos d

d 

（或dx=-asintdt）

t t t

x a d

cos d  sin₂

（或dx=-ashtdt）

积分类型 变量替换公式 dxdt





^x

b ax

b ax

b ax R

d ) ( ,

, ) (

, ) (

















（式中,,,为分数）

设m为,,,的分 母的最小公倍数,

a b x t

t b ax

m m

 



 ) , (

1

t a t

x m ^m d

d  ^1

 



^{R cosx,sinx dx}

2 2 2

1 cos 1

1 , sin 2

2 , tan

t x t

t x t

x t



 

 

 t

x t d

1 d 2

 2



 



^{Rcos2 x,sin2x dx}

2 2

2 2 2

1 cos 1

1 , sin

, tan

x t t x t

t x

 

 

 t

x t d

1

d 1 ₂

 

4．不定积分表

表中略去积分常数，ln g(x)是指ln |g(x)|.

[基本积分表]

) (x

f



^f(x)dx

k (常数) kx xn (n1)

1

1





n xⁿ

x

1 lnx

ex e^x

ax (a>0)

a a^x ln x

sin x cos

x

cos x sin x

tan lncosx

x

cot lnsinx

x

sec ⁾

4 tan(2

ln x_ 或ln(secxtanx) x

csc lntan2x或ln(cscxcotx)

2x

sin x x x

cos 2sin

1 2

2x cos

2 x tan

2x cot

2x sec

2x csc

x sh

x x x

cos 2sin 1 2

x x tan

x x

cot x tan

x

cot x ch

) (x

f



^f(x)dx

x

ch shx

thx lnchx

cthx lnshx

sechx arcsin(thx) cschx

th2 ln x

2x

sech thx

2x

csch -cthx

2 2

1 x

a  (a>0)

a x aarctan 1

2 2

1 x

a  (|x|<|a|)

a x aArth

1 或

x a

x a

a 

ln  2

1

2 2

1 a

x  (|x|>|a|)

a x aArcth

1 或

a x

a x

a 

ln  2

1

2 2

1 x

a  a

arcsinx

2

2 x

a 

a x x a

x a

arcsin 2

2

2 2

2  

2 2

1 a

x  a

Arshx或ln(x x²a²)

2

2 a

x 

a x a a

x x

2 Arsh 2

2 2

2  

或 ln( )

2 2

2 2 2

2

2 a x x a

a x x









2 2

1 a

x  a

Archx或ln(x x²a²)

2

2 a

x 

a x a a

x x

2 Arch 2

2 2

2  

或 ln( )

2 2

2 2 2

2

2 a x x a

a x x









2 2

1 x a

x  x

a aArch

1 或

x x a a a

2 2

1ln  



2 2

1 a x

x 

2 2

1 a x

x 

2 2

1 x ax

x a aArsh

1 或

x a x a a

2 2

1ln  



| arccos| 1

x a

a 或

a x a

| sec| 1arc

) 1 arccos(

a

 x 或arcsin( 1) a x

2axx2 arcsin( 1) 2 2

2 )

( ₂ ²





 

a x x a

a ax x

[含ax+b 的有理式的积分] （a0,b0） )

(x

f



^f(x)dx

b n

ax )

(  (n1)

) 1 (

)

( ¹



 ^ n a

b ax ⁿ

b ax

1 1ln( )

b a ax )2

( 1

b

ax ( )

1 b ax

a 



)3

( 1

b

ax 2 ( )²

1 b ax

a 

 )

2 , 1 ( )

(axb n 

x ⁿ

) 1 (

) ( ) 2 (

) (

2

1 2

2



 



 ^{ }

n a

b ax b n

a b

ax ^{n n}

b ax

x

 ₂ ln(ax b)

a b a

x  

)2

(ax b x

 1 ln( )

)

( ²

2 ax b

a b ax a

b  

 )3

(ax b x

 ( )

1 )

(

2a² ax b ² a² ax b b

 

 b n

ax x²(  )

(n1,2,3) ]

1 ) ( 2

) 2 (

3 ) [(

1 ^{3 2} ₂ ¹

3 

 



 



 ^{  }

n b b ax

n b b ax n

b ax a

n n

n

b ax

x



2

)]

ln(

) ( 2 ) 2(

[1

1 _{2 2}

3 ax b b ax b b ax b

a     

2 2

) (ax b

x

 



 





 





 ax b

b b ax b b a ax

2

3 2 ln( )

1

3 2

) (ax b

x



n

m ax b

x (  )

（m0,mn10）



 





 

 

 ² ₂

3 2( )

) 2 1 ln(

b ax

b b

ax b b a ax





^





 







x b ax x mb

b ax n x

m a

n m

n m

d ) (

) ) (

1 (

1

1 1

或





^









 



x b ax x nb

b ax n x

m

n m

n m

d ) (

) 1 (

1

1 1

或







 











n

k

k n k

m ax b

n m k n

k n m n x b

0

1 ( )

)!

1 (

)!

(

)!

(

!

) (

1 b ax

x 

) (

1

2 ax b

x 

x b ax b

1ln 

x b ax b

a bx

 

 1 ln

2

) (x

f



^f(x)dx

) (

1

3 ax b

x  x

b ax b a x b

b

ax  

2 ln 2

3 2 2 2

)2

( 1

b ax

x  x

b ax b b ax b

 

 1 ln )

( 1

2

)3

( 1

b ax

x  









   



 









x b ax b

ax b ax

b 2 ln

2 1

1 ²

3

2

2( )

1 b ax

x  x

b ax b

a b ax x b

b

ax  



  2 ln

) ( 2

3 2

[含 axb的积分] （a0,b0） )

(x

f



^f(x)dx

b ax

b ax

x 

b ax x² 

b ax x³ 

b ax xⁿ 

)3

3 (

2 ax b

a 

3

2 ( )

15 ) 2 3 (

2 ax b

a b

ax 

3 3

2 2

2

) 105 (

) 8 12

15 (

2 ax b

a

b abx x

a   

3 4

3 2

2 2 3

3

) 315 (

) 16 24

30 35

(

2 ax b

a

b x ab bx

a x

a    



^

 

 

 ax b x

a x n b nb a ax

n

xⁿ _n

) d 3 2 ( ) 2 ) (

3 2 (

2 _{3 1}

或





 

 





 ⁿ 

k

k k

n

n ax b

k k n k

b b n

a ax 0

1

1 ( )

) 3 2 ( )!

(

!

) (

! 2

b ax

1 ax b

a2  b

ax x

 ax b

a b

ax 

3 2

) 2 ( 2

b ax

x



2

b a ax

b abx x

a   

3

2 2

2

15

) 8 4

3 ( 2

b ax

x



3

b a ax

b x ab bx

a x

a    

4

3 2

2 2 3 3

35

) 16 8

6 5

( 2

b ax

xⁿ

 x

b ax

x a n b nb a ax

n

x^{n n}

) d 1 2 (

2 )

1 2 (

2 ¹



_

 

 



或





 





 

 ⁿ

k

k k

k n

n

b k ax

k n k b b n a ax

b

0

1 ( )

) 1 2 ( )!

(

!

! ) 1 ( )

( 2

b ax

x 

1 （b0）

b b ax

b b ax

b  

 ln 

1

b ax

x 

1 （b0）

b b ax

b 



2 arctan b

ax x² 

1 ^{ ax}_bx^{b }₂^a_b



_{x ax}^dx_b

) (x

f



^f(x)dx

b ax x³ 

1 ^ ₂^ax_bx^{2b 3a}_4b^ax2_x^{b }₈³_b^a22



_{x ax}^dx_b

b ax xⁿ 

1 (n1) ^_(n^ax_1)bx^{bn1 (}₂²₍ⁿ_n^_1³₎⁾_b^a



_x^{n1 d}_ax^x _b

x b

ax ^{2 axb b}



_{x ax}^{d x}_b

xn

b

ax (n1) ^_(n⁽_^ax₁₎^_bx^{bn)31 (}₂²₍ⁿ_n^_⁵₁₎⁾_b^a



^ax_x^n1bdx

) 2 ( )

(axb ⁿ n 2

) ) (

2 (

2 





b

n

n ax a

) 2 ( )

(

1 

 n

b

ax ⁿ ( ) ²

1 )

2 (

2

 

 



b n

n ax a b n

ax x (  )

b n

ax x

)

( 



 

 

 



4 2

2 ( )

) 2 4 (

1

2 _{n n}

b n ax

b b n ax

a













 

 

 ^{2 4}

2 ( )

1 4

1 )

( 1 2

2

n

n n ax b

b n ax

b a

b n

ax

x ( )

1





_ n ^



_ n

b ax

x b

a b

ax x

x

b ( )

d )

( d 1

2

x b ax )ⁿ

( 

x x b b ax

x b

ax a

n

n ( ) d

d ) (

2

2





^{    }

[含(axb),(cxd)的积分]

) (x

f



^f(x)dx

) (

) )(

(

1 bc ad

d cx b ax





 cx d

b ax bc

ad 



 ln 1

) (

) (

) (

1

2

bc ad

d cx b ax





 



 









 







d cx

b ax bc ad

c b

ax bc

ad 1 1 ln

) ,

1 , 0 (

) (

) (

1

bc ad n

m

d cx b

ax ^{m n}

















 



















^





1 1

1

) ( ) ( ) d 2 (

) ( ) (

1 )

)(

1 (

1

n m

n m

d cx b ax n x

m a

d cx b ax bc ad n

n

m cx d

b

ax ) ( )

(  





^















 



x d cx b ax bc ad n

d cx b a ax n m

n m

n m

d ) (

) ( ) (

) (

) ) (

1 (

1

1 1

) (x

f



^f(x)dx

n m

d cx

b ax

) (

) (





) ) (

)(

( ad bc

d cx b ax

x 







^









 

















d x cx

b a ax

n m

d cx

b ax bc ad n

n m n

m

) d (

) ) (

2 (

) (

) ( ) )(

1 (

1

1 1

1

或



^_























d x cx

b bc ax

ad m

d cx

b ax c n m

n m n

m

) d (

) ) (

( ) (

) (

) 1 (

1

1 1



   



 cx d

c b d a ax

b bc

ad 1 ln ln

) ) (

( )

( ² ad bc

d cx b ax

x 



 



 









 



 cx d

b ax bc ad

d b

ax a

b bc

ad ln

) (

1

b ax

d cx



 ad bc acx ax b

a (3 2  )  3

2

2

) ,

0

(c ad bc

d cx

b

ax  





bc ad

b ax c c

bc ad b c

c ax 



 

 ( )

arctan 2

2

) ,

0

(c ad bc

d cx

b

ax  





ad bc b

ax c

ad bc b

ax c c

ad bc b c

c ax   





 





) (

) ln (

1 2

) 0 ) (

(

) ( 1







 ad bc c

d cx b

ax ad bc

b ax c bc

ad

c 





) arctan (

) (

2

) 0 ) (

(

) ( 1







 ad bc c

d cx b

ax c ax b bc ad

ad bc b

ax c ad bc

c   







 ( )

) ln (

) (

1

) 0 (

1





 ac

d cx b

ax _{( )}

) Arth (

2

d cx a

b ax c

ac 



) 0 (

1





 ac

d cx b

ax _{( )}

) arctan (

2

d cx a

b ax c

ac 







d cx b

ax 



_{ }

 



 



d cx b ax

x ac

bc ad

d cx b ac ax

bc ad acx

d 8

) (

4 2

2

d cx

b ax



 ^axb_c ^{cxd ad}₂^_c^bc



_axb^dx_cxd

) (x

f



^f(x)dx

d x

b x



 xb xd (bd)ln( xb xd)

x q

x p





q p

x q q

p x q x

p 

 







 ( )arcsin

x q

x p





x x



 1 1

) )(

( 1

x q p

x 

q p

q q x

p x q x

p 

 





 ( )arcsin

1 2

arcsinx x

p q

p x

 arcsin  2

[含(ax² c)的有理式的积分]

) (x

f



^f(x)dx

) 0 , 0 (

1

2





 c a

c

ax 1 arctan( )

c x a ac

) 0 , 0 (

1

2





 c a

c

ax x a c

c a

x

ac  





 ln 2

1

) 0 , 0 (

1

2





 c a

c

ax x a c

c a x

ac   





 ln 2

1

) 1 ) (

( 1

2 

 n

c

ax ⁿ _2c(n1)(ax^{x 2} _c)^{n1 }₂⁽²_c(ⁿ_n^_³₁⁾₎



_(ax^2d_^x_c)^n1

) 1 (

) ( ²





 n

c ax

x ⁿ

) 1 ( 2

)

( ^{2 1}



 ^ n a

c

ax ⁿ

c ax

x



2 ln( )

2

1 ₂

c a ax 

c ax

x



2

2 _a^{x }_a^c



_ax^d2x_c

) 1

2 ( 

 n

c ax

xⁿ



_

 





c x ax

x a c n

a

x^{n n}

) d 1

( ²

2 1

) 1 ) (

( ²

2

 n c ax

x

n ^_2(n1)a(ax^{x 2} _c)^{n1 }_2(n¹_1)a



_(ax^2d_^x_c)^n1

) (

1

2 c

ax

x  ax c

x

c ² 

2

2 ln 1

) (

1

2

2 ax c

x  ^{ }



_

c ax

x c

a

cx ²

d 1

) 2 ) (

( 1

2

2 

 n

c ax

x ⁿ _c¹



_x²_(ax^d2x_c)^{n1 a}_c



_(ax^2d_^x_c)ⁿ

[含 ax² c 的积分]

) (x

f



f x( ) dx

ax² c (a>0) x

ax c c

a x a ax c

2 2

2   ln(  2  )

ax² c (a<0) x

ax c c

a x a

c

2 2

2  



arcsin(  )

(ax² c)³ (a>0) _{ln( )} 8

) 3 5 2

8(

2 2

2

2 x a ax c

a c c ax c x ax









 (ax² c)³ (a<0)



 



 

 



 c

x a a

c c ax c x ax

arcsin 8

) 3 5 2

8(

2 2

2

x ax² c 1

3

2 3

a (ax c) x² ax² c (a>0) ^x

a ax c cx

a ax c c

a

x a ax c

4 8

8

2 3 2

2 3

2

( )

ln( )

  

  

x² ax² c (a<0)



 



 

 







c x a a

a c

c a ax

c cx a ax

x

arcsin 8

) 8 4 (

2

2 3

2

xⁿ ax² c (n>0) ^x

n a ax c x c

n a x ax c x

n

n

 

   







1

2 3 2 2

2

1 2

( ) ( ) ( )

( ) d