Green 公式（1）

(1)

10.3 Green 公式

Green 揭示了重积分和第二类曲线积分之间的联系。

第二类曲线积分与路径无关的条件、应用重点：

Green 公式及其成立条件、应用



 ^ _ ^ ^ _ ^

L

^

D

Qdy Pdx

y dxdy P

x

Q )

(

(2)

设 D 为平面区域 , 如果 D 内任一闭曲线所围成的部分都属于 D, 则称 D 为平面单连通区域 , 否则称为复连通区域 .

D

单连通区域

D

复连通区域

一、区域连通性的分类

(3)

2 2

{( , ) |1 4},

{( , ) | 0 4}.

x y x y

  

  

或

^x

y o

复连通区域

2 2

{( , ) | x y x  y  4}.

_x

y

o 单连通区域

(4)

L2

D

L1

L2

L1

D

边界曲线 L 的正向 : 当观察者沿边界行走时 , 区域 D 内在他近处的那一部分总在他的左边 .

(5)

二、 Green 公式

定理 1

(6)

各种积分之间的联系

曲线积分曲线积分计算定积分定积分

重积分重积分

Green

公式计算

(7)

证明 (1)

y

o x

D

a b

c d

C E

)

2(y x  )

1(y x 

)

1(x y  

)

2(x y  

A

B

} ),

( )

,

{( x y

₁

x y

₂

x a x b

D       

} ),

( )

,

{( x y

₁

y x

₂

y c y d

D       

(8)

2 1

( ) ( )

( , )

d y

c y

D

Q Q x y

dxdy dy dx

x x



 

  

  



^

 ^d

c d

c Q( ₂( y), y)dy Q(₁( y), y)dy



^

 CBE Q( x, y)dy EAC Q( x, y)dy

( , )

L

Q x y dy

 

而

同理可证 ^



^_ ^



L D

dx y

x P y dxdy

P ( , )

y

o x d

)

2(y x 

D

c C

E

)

1(y x 

A B

2 1

( ( ), ) ( ( ), )

d c

c Q  y y dy d Q  y y dy









两式相加得



^_ ^ ^_ ^



L ^ D

Qdy Pdx

y dxdy P

x

Q )

(

(9)

证明 (2)

1 L

L

L2

L3

D D1

D3

D2

将D_分_成_三_个_既_是X_型_又_是



Y_型_的_区_域D₁_,D₂_,D₃_.



  

 



 



 



3 2 1

) (

D D D D

y dxdy P

x dxdy Q

y P x

Q



^_ ^ ^_ ^ ^_ ^ ^_ ^ ^_ ^ ^_

3 2

1

) (

D D

D

y dxdy P

x dxdy Q

y P x

dxdy Q y

P x

Q



^ ^ ^ ^ ^



3 2

1 L L

L Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy



^

 L Pdx Qdy

) ,

(L₁_,L₂ L₃

对

D

来说为正方向

(10)

证明 (3)

若区域不止由一条闭曲线所围成.添加直线段AB,CE. 则D_的_边_界_曲_线_由_A_B_,L₂_,_B_A_,

AFC,CE, L₃_,_E_C_及_C_G_A_构_成_. ^D

L3

L2

L1

A

B C

E

由 (2) 知



^_ ^ ^_

D

y dxdy P

x

Q )

(



^ ^ ^ ^

 { AB L₂ BA AFC CE ^



L^



EC^



CGA}^ (Pdx ^ Qdy)

3

  

^ ^ ^



2 3 1

) )(

( L L L Pdx Qdy



^

 L Pdx Qdy ₍_L₁_,_L₂_, _L₃_对_D_{来说为正方向} ₎ F G

(11)

例1计算



ABxdy,其中曲线AB_是_半_径_为r_的_圆_在

第一象限部分.

BO AB

OA

L   ^ 

应用格林公式, P0, Qx _有

D L

dxdy xdy







 

^

^

^OA ^xdy ^

^

^AB ^xdy ^

^

^BO ^xdy^,

x y

o L

A

B

4 .

1 ₂ r dxdy

xdy

AB   D   



 

(12)

解 _N ^A^(a^,⁰⁾

M

ONA_为_直_线y0.



^



 A L xdy ydx 2

1 ^



ONA xdy ^ ydx ^



AMO xdy ^ ydx 2

1 2

1



^

 AMO xdy ydx 2

1

o

dx x

ax ax dx

x a

a 1) ( )

(2 2

1 ⁰   





6 . 1 4

2 0 xdx a a ^a 





(13)

“P(x,y) Q(x,y) 在区域 G 内有界，如果对 G 内任意两点 A,B, 以及 G 内从 A 到 B 的任意两条曲线，满足



L₁ Pdx ^ Qdy

 

L₂ Pdx ^ Qdy

y

o x

1 G

L

L2



A



^B

则称曲线积分



^L^Pdx^^Qdy^在^G^内^与^路^径^无^关^,

否则与路径有关.

四、曲线积分与路径无关的定义

(14)

五、曲线积分与路径无关的条件

定理 2

(15)

与路径无关的三个等价命题

条件



L Pdx ^ Qdy

D

内与路径无关在

) 1 (

(2) 0,

C Pdx Qdy  C  D

 

^{任意闭曲线}

(3) , P Q

D y x

 

   在内

等价命题

G

G G

(16)

有关定理的说明：

(1)开区域G_是_一_个_单_连_通_域.

(2)函数P(x,y),Q(x,y)_在G_内_具_有_一_阶_连

续偏导数. 两条件缺一不可

在 G 内破坏函数 P(x,y), Q (x,y), 及连续性条件的点称为“奇点”

P Q y x

 

 ，

(17)

解

15 .

 23 又例如： P260 例 10.3.3~

4

2 2 4

( 2 ) ( )

OA AB

I x xy dx x y dy





_{ }

   

P 2 Q

y x x

 

 

 

(18)

思考题

若区域 H 如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中

L 及其方向。 ^o ^x

y

A _B

D C

E F

G





^_^ ^_ ^ ^_ ^_^ ^ ^

L D

Qdy Pdx

y dxdy P

x Q

H

思考题解答

由两部分组成 L

外边界：BCDAB

内边界：EGFE

Green 公式（1）

10.3 Green 公式



      



Qdy Pdx

y dxdy P

x

Q )

(

一、区域连通性的分类

{( , ) |1 4},

{( , ) | 0 4}.

x y x y

x y x y

  

  

或

{( , ) | x y x  y  4}.

二、 Green 公式

各种积分之间的联系

曲线积分 曲线积分 计算 定积分 定积分

重积分 重积分

公式 计算

} ),

( )

( )

,

{( x y

x y

x a x b

D       

} ),

( )

( )

,

{( x y

y x

y c y d

D       

( , )

Q Q x y

dxdy dy dx

x x

 

  

  









( , )

Q x y dy

 

而































对

来说为正方向

















 ^ _ ^ ^ _ ^

^

曲线积分曲线积分计算定积分定积分

重积分重积分

公式计算

^

^

^

条件

内与路径无关在

等价命题