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中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

3.3 3.3 定积分的应用 定积分的应用

高等数学 A

第 第 3 3 章 一元函数积分 章 一元函数积分 学 学

3.3.1 平面图形的面积 3.3.2 体积 (1)

3.3 定积分的应用

3.3.1 平面图形的面积

问题的提出与微元法

直角坐标情形 参数方程情形

计算平面图形面积习例 1-3

极坐标情形

计算平面图形面积习例 7-10

3.3.2 立体体积

旋转体的体积

计算立体体积习例 8-11

内容小结

定 积 分 的 几 何 应 用

习例 4-6

回顾 曲边梯形求面积的问题





^b

a

f x dx A ( )

曲 边 梯 形 由 连 续 曲 线

) ( x f

y  ( f ( x )  0 )

_、

x

轴 与 两 条 直 线

x  a

_、

b

x 

_{所 围 成 。}

^{a b x}

y

o

) (x f y 

一、问题的提出与微元法

具有对区间的可加性. 要求量

运用定积分处理问题时 A

” 取极限 求和—

近似—

“分划—

, 利用整体上变化的量在局 局部问题

的步骤将整体问题化成

,

, 在局部上以 不变 代“ ” 替 变“ ” 关系

部上近似于不变的辩证

, 采用

按照定积分的概念

].

, [

)

(

₁

1 1

i i

i n

i

i i

n

i

i f x x x

A

A _















 

^{ }

便有关系式

,

, 略去下标 将具有代表性的第 个

为简便和醒目起见 i i

,

, ] d ,

[

] , [

₁ 表示为 称之为典型小区间 且取 小区间 x_i x_i x x  x

, 则有

为区间的左端点 x

i

. d ) (x x f

A 



, ) (

d )

( 为量 的微分元素 或积分元素 记为 通常称 f x x A

. d ) (

d A  f x x

( 0 d

, 取极限过程 相当于 对区间的可加性

由量 A x 

]

, [ d

, 0)

||

|| x  将微分元素 A在区间 a b 上 无限累加 起来“ ”

] , [ )

(即作定积分 就得到量 A 在区间 a b 上的值：

. d ) (

d





^

 ^b

a b

a A f x x

A

.

, 我们在这里将定积分理解为微分元素的无限累加 简言之

元素法的一般步骤：

第一步 利用“化整为零

,

以常代变” 求出局部量的 微分表达式

x x

f

U ( ) d

d 

第二步 利用“ 积零为整

,

无限累加 ” 求出整体量的 积分表达式



U

^b

f x x

a

( ) d



这种分析方法成为元素法

(

或微元分析法

)

元素的几何形状常取为条

: ,

带

,

段

,

环

,

扇

,

片

,

壳 等 近似值

精确值

应用方向：平面图形的面积、 体积、平面曲线的弧 长、 功、水压力、引力和平均值等。

x y

o

) ( x f

y 

a b

^x

y

o

)

1

( x f

y 

)

2

( x f

y 

a b

曲边梯形的面积





^b

a

f x dx A ( )

围成图形的面积

 ^



^b

a

f x f x dx

A [

₂

( )

₁

( )]

x_{x  dx} x ^{x  dx}

1.

直角坐标情形

二、平面图形的面积

说明：注意各积分区间上被积函数的形式．

问题：积分变量只能选 吗？

x

1

(y) ,

2

(y) C c d [ , ],

1

(y)

2

(y)

     

dy y

y

dA  [ 

₂

( )  

₁

( )]

 ^



^d

c

y y dy

A [ 

₂

( ) 

₁

( )]

计算平面图形面积习例

积

.

所围成的平面图形的面

2 0

, sin

,

cos

³



³

  

 a t y a t t

求星形线

x

例 5 例 2

例 4 例 3

)

cos 1

(

), sin

( 的第一拱

求由摆线 x  a t  t y  a  t

. )

2 0

(  t   与横轴 x所围成的平面图形的面积

例

6

解 两曲线的交点

) 1 , 1 ( )

0 , 0 (

面积元素

dA  ( x  x

²

) dx

选 为积分变量

x x  [ 0 , 1 ]

dx x

x

A

¹

(

²

)

0



 

1

0 3

3 3

2

₂³

 

 



 

 x

x .

3

 1

x2

y  y2

x 

两曲线的交点

).

4 , 8 ( ), 2 , 2 ( 

 

 







4

2

2 x y

x y

选 为积分变量

y _{y  [  2 , 4 ]}

2 , 4

2

y dy y

dA 



 



  

 ) 18 .

4 2

4

(

2

2









 ^A 

_

^{y y dy}

x y²  2

4

 x y

], 4 , 2 [ ]

,

[   

 y y dy

例

2

解

解 两曲线的交点

).

9 , 3 ( ),

4 , 2 ( ),

0 , 0

( 

 

 







2

3

6

x y

x x

y

] 3 , [ 2

 x

], 0 , 2 [ 



x dA

₁

 ( x

³

 6 x  x

²

) dx

], 3 , 0

 [

x dA

₂

 ( x

²

 x

³

 6 x ) dx

x

2

y 

x x

y 

³

 6

选

x

为积分变量

,

dx x

x x

A

⁰

( 6

²

)

2

3

 

 

 ³

( x

²

x

³

6 x ) dx

0

 

  ^{ 253} ₁₂ ^.

例

3

归纳

求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤：

（ 1 ）画草图，求出曲线的交点坐标

（ 3 ）写出面积微元

（ 4 ）写出面积的定积分表达式

（ 5 ）计算定积分，求出面积

（注

y

型：把

x

写成

y

的函数

)

（ 2 ）根据图形特点，选取适当的积分变量

)

, ,

(

且被积表达式尽量简单

应使图形的分块尽量少 根据平面图形

椭圆的参数方程

 







t b

y

t a

x

sin cos

由对称性知总面积等于

4

倍第一象限部分面积．





^a

ydx

A 4

0

^{ 4} 

^₂⁰

^{b sin td ( a cos t )}

dt t ab 

^



²

0

sin

2

4   ab .

例

4

解

o y

a b x

a b o

y

x



  

) (

) (

t y

t x  

则曲边梯形面积

^{A } 

_t^t₁²

^{ ( t )    ( t ) d t}

)

( t

₁ 对应

x  a ( t

₁ 对应

x  b )

此时要注意曲边是有正方向的 ! 从而确定出起点和终点 . 当你沿曲边朝着这方向前进时曲边梯形将在你的右边 .

2.

参数方程情形

积 . 所围成的平面图形的面

2 0

, sin

,

cos

³



³

  

 a t y a t t

求星形线

x

O x

y

a 2





2 3

, 只需求出

由对称性

1, 然

第一象限中的面积 A .

4即可

后乘以

0 2 4 2

1

2

4 4 ( 3 sin cos ) d A  A 



_  a t t t

8 . d 3

sin ) sin 1

(

12 ^{2 2}

0

4 2

2 t t t a

a ^    





^

t

例

5

解

所求面积

)

cos 1

(

), sin

( 的第一拱

求由摆线x  a t  t y  a  t

. )

2 0

(  t   积 积 积 x 积 积 积 积 积 积 积 积 积 积 积

O x

y

a 2 a

) 1

( 积 积 积 积 积

. 2 0

: , 2

0

:   a t  

x 积

) 2

( 积 积 积 积 积 d |

|

d A  y x  a(1cost)d(a(t sint))

. d ) cos 1

( ²

2 t t

a 



) 3

( 积 积 积 积





^{ }

 ^{ 2}

0

2 2 2

0 | y | d x a (1 cost) dt

A ^a

. 3

d ) cos cos

2 1

( ²

2 0

2

2 t t t a

a ^     





^

t

例

6

解

设 由 曲 线

r   (  )

_{及 射 线}



 

_、

  

围 成 一 曲 边 扇 形 ， 求 其 面 积 ． 这 里 ，

 (  )

在

[  ,  ]

_{上 连 续 ， 且}

 (  )  0

_．

o x



 

 d



  



  d

面积元素

dA [  (  )]

²

d  2

 1

曲边扇形的面积

.

2 )] 1

( 2 [

1  

₂



_^ ₂







d r d

A ^  ^ 

) (



 r

3.

极坐标情形

.

,   



为积分变量 且

 

选

计算平面图形面积习例

例

8

例

9

cos

1 cos

3

与心形线 所围成的

求圆

r   r   

平面图形的面积

.

例

10

对应



_从

0

例

7

计算阿基米德螺线

r  a  ( a  0 )

变

到

2

所围图形面积

.

对应



_从

0

例

7.

计算阿基米德螺线 变

解

:

) 0 ( 

 a a

r 

a x

 o  2

 d



 ) d 2 (

1

₂

 a



^2

A

0

2 a

2

  

 

3

3 1 

0 2 

2 3

3

4  a



到

2

所围图形面积

.

由对称性知总面积

=4

倍第一象限部分面积

4 A

1

A 





d r

A ^{ 4} 

₀⁴

¹ ₂

²

^{ a}

²

^.

x y 

 2

2

cos

2

a

r 

A

1

4 , 0    







d a cos 2 2

4 

₀⁴

1

²



例

8

解

利用对称性知

d 







₀^{ 2}

 2

2 1 r d A

, 0    

 ^





₀^{ 2}

( 1 cos  )

²

 2

2 1 a d





 cos ) d cos

2 1

(  

²



^



0

a

2

 

   

   sin 2 

4 sin 1

2 2

2

3

a 

0 .

2

3

₂

 a



例

9

解

cos

1 cos

3 与心形线 所围成的

求圆r   r    平面图形的面积.

例

10

解

O x

3

 cos

 3 r

 cos 1

 r

. 2

,

, 求出上半部分的面积 A₁ 则 A  A₁ 由对称性

) 1

( 求积分区间 联立方程组

 cos

 3 r

 cos 1

r 

2 cos  1

3

   2A1

A 







  



 

²

3 3 2

0

2 (3cos ) d

2 d 1

) cos 1

2( 2 1





    



^{  }

 ³

0 )d

2 2 cos cos 1

2 1 (

    ^



^{2 }

3

2 d

) 2 cos 1

(

 9

  

4 5





旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一 条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋 转轴．

圆柱 圆锥 圆台

旋转体的体积

三、立体体积

一般地，如果旋转体是由连续曲线

y  f ( x )

_、

直线

x  a

_、

x  b

_及

x

_{轴所围成的曲边梯形绕}

x

_{轴旋转一周而成的立体，体积为多少？}

取积分变量为

x

_，

] , [ a b x 

在

[ a , b ]

_{上 任 取 小 区}

间

[ x , x  dx ]

_，

取以

dx

为底的窄边梯形绕

x

轴旋转而成的 薄片的体积为体积元素，

dV   [ f ( x )]

²

dx

旋转体的体积为

V

^b

f x dx

a

)]

2

(

 ^ [



x x  dx x y

o

) (x f y 

(1)

类似地，如果旋转体是由连续曲线

x   ( y )

_、

直线

y  c

_、

y  d

_及

y

轴所围成的曲边梯形绕

y

轴 旋转一周而成的立体，体积为

x y

o

) ( y x   c

d

dy y )]

²

(

[ 

 ^



^d

V

c

. ),

( ),

( ,

, )

2

(

平面图形

x  a x  b y  f

₁

x y  f

₂

x

绕

x

轴旋转

o x

y

a b

)

1

( x f

y 

)

2

( x f

y 

] , [ a b

x   [ x , x  dx ] A ( x )   f

₂²

( x )   f

₁²

( x ) dx

x f

x f

dV  [ 

₂²

( )  

₁²

( )]

. )]

( )

(

[

₂² ₁²

 ^



^b

a

f x f x dx

V 

例

11

例

13

例

14

计算立体体积习例

.

2 1

2 2

2 绕 轴与 轴旋转所成的旋转体的体积

求椭圆 x y

b y a

x  

例

12

 a o a y

x

解 ³

,

2 3

2 3

2

x a

y  



3 3 2 3

2

2





 



 



 y a x

] , [ a a x  

旋转体的体积

^V

^a_a

^{a x dx}

3 3 2 3

2

 



 

 



 



.

105

32

₃

 a



例

11

.

2 1

2 2

2 绕 轴与 轴旋转所成的旋转体的体积

求椭圆 x y

b y a

x  

解

(1)

绕

x

轴旋转时选

, x

为积分变量

, ].

, [ a a

x   1

₂²

a b x

y  



_



 V

_x ^a_a

 y

²

dx ^ 

_^a_a

^{b ( 1 } _a ^x

2

^{) dx}

2 2

 ;

3

4

₂

 ab



(2)

绕

y

轴旋转时

, y  [  b , b ]. 1

₂²

b a y

x  



_



 V

_y ^b_b

 x

²

dy ^ 

_^b_b

^{a ( 1 } _b ^y

2

^{) dy}

2 2

 ^.

3

4

₂

b

 a



例

12

解 _绕

x

_{轴旋转的旋转体体积}

dx x

y

V

_x ^{2 a 2}

( )



0 ^

^





^

^{  }





²

0

2

2

( 1 cos t ) a ( 1 cos t ) dt a



^

^{  }





²

0

3 2

3

( 1 3 cos t 3 cos t cos t ) dt

a ^{ 5 }

²

^a

³

^.

a

a

2



)

( x

y

例

13

绕

y

_{轴旋转的旋转体体积}

可看作平面图

OABC

_与

OBC

分别绕

y

_{轴旋转构成旋转体的体积之差}

.

dy y

x

V

_y ^{2a 2}

( )

0 ²



 

^2a

x

²

( y ) dy

0 ¹



 

o y

a x

 2

A C B

a

2 x  x

₂

( y ) )

1

( y x x 



^

 





2

2

2

( t sin t ) a sin tdt a



^

^{ }





0

2

2

( t sin t ) a sin tdt a

 ^



  a

³ ₀^2

( t sin t )

²

sin tdt ^{ 6 }

³

^a

³

^.

（

2

）解法

2

（柱壳法）

 a 2

柱壳体积

x x  d x

y

也可按柱壳法求出

V

y

y x 



柱面面积

2 2  x y  d x

 

    

) cos 1

(

) sin (

t a

y

t t

a x

x y x V

_y

2

^{2 a}

d



0

 

^



 2  a ( t  sin t )  a 2 ( 1  cos t ) 2 d t

0



2

补充 如果旋转体是由连续曲线

y  f ( x )

_、直线

a

x 

_、

x  b

_及

x

轴所围成的曲边梯形绕

y

轴 旋转一周而成的立体，体积为

dx x

f x

V

^b

y

^ 2 ^ 

a

| ( ) |

取积分变量为

y ^{, y  [ 0 , 4 ]}

体积元素为

dy QM

PM

dV  [ 

²

 

²

]

dy y

y ) ( 3 4 ) ] 4

3 (

[   

²

   

²



, 4

12   y dy



dy y V ^{ }  ^



⁴

0

4

12 _{ 64 .}

3

P

dy ^{Q M}

例

14

解

内容小结

1.

平面图形的面积

边界方程 参数方程 极坐标方程 直角坐标方程

上下限按顺时针方向 确定

 ^{ }



²

1

( ) ( ) d

t

t

t t t

A  











( ) d 2

1

₂





A

2.

旋转体的立体体积





^b

a

A x x

V ( ) d

)

2

( x y

A  

绕

x

轴

: A ( x )  2  x y

绕

y

轴

:

( 柱壳法 )

)

( x

y

y 