5.6 空间曲线及其方程
一、相关问题
1．指出曲线
2 2 2
2 2 2
4
( 3) 4
x y z
x y z
在zOx面上的投影为何种曲线.
解：在方程组的两个方程中消去y，可得投影曲线的方程为
2 2 7
4 0 x z
y
，
它是zOx面上一个以圆点为圆心，半径为 7 2 的圆.
2．在空间直角坐标系中，旋转抛物面x2y2 z与球面x2y2z2 1的交线是什么
图形？一般来说，
0 ) , , (
0 ) , , (
z y x G
z y x
F ，代表什么图形？
解：联立抛物面与球面的方程可得
2 2 1 5
2
1 5
2 x y
z
，交线为平面 1 5 z 2
上的一个圆.一般地，
0 ) , , (
0 ) , , (
z y x G
z y x
F 表示空间曲线，即两空间曲面的F(x,y,z)0与
0 ) , ,
(x y z
G 的交线.
二、相关知识
1．如果空间一动点M 在圆柱面x2y2 a2上从点M0 (a,0,0)出发以角速度
绕z
轴旋转，同时又以线速度v沿z
轴正方向上升（其中
，v都是常数），那么动点M的运动轨迹称为螺旋曲线，试建立其方程.
解：假设时刻t，动点M 的位置在( , , )x y z ，于是z vt ，设M 在xOy面上的射影
为N ,则M ON0 t.于是点M 的坐标满足方程组：
cos sin
x a t
y a t
z vt
，消去参数t可得其方程为：
v z a x
a y
x
cos
2 2 2
.如果令 t为参数，则螺旋
曲线可表示为
b z
a y
a x
sin cos
.
2．怎么定义曲线的方程？
答：空间曲线可看作是两空间曲面的交线，把两空间曲面的一般方程F(x,y,z)0
和G(x,y,z)0，联立起来得到的方程组 ( , , ) 0 ( , , ) 0 F x y z G x y z
就是空间曲线（曲面交线）的
一般方程,曲线上的每点都满足该方程组，反之，任何满足该方程组的有序数组( , , )x y z 一 定是曲线上某个点的坐标.
3．空间曲线在坐标平面上的投影一般是什么图形，如何建立这个投影图形的方程？
答：空间曲线在坐标平面上的投影一般是平面曲线，在空间曲线的方程中消去该坐标 平面中坐标恒为0(横、纵、竖)的那个坐标，得到其中一个方程再与坐标平面的方程联立，
即得投影曲线的方程.
三、练习题
1．方程组
) 4 ( 2
2 2 2
2 2 2
y a x a
y x a z
代表什么图形？
答：第一个方程表示以原点为圆心，a为半径的上半球面，第二个方程表示母线平行 于z轴的圆柱面，所以方程组代表上半球面与圆柱面的交线.
2．分别求母线平行于
x
轴和y 轴，且通过曲线
0 16 2
2 2 2
2 2 2
y z x
z y x
的柱面方程；
解：母线平行于
x
轴：设P x y z1( , , )1 1 1 为曲线上的任意一点，过点P1的母线为：1 , 1, 1
x x t y y zz ，将其代入
2 2 2
1 1 1
2 2 2
1 1 1
2 16
0
x y z
x z y
，消去t得到柱面方程为：
2 2
3y z 16.同样可得母线平行于y轴的柱面方程为：3x22z2 16.
3．已知两个球面的方程为 x2y2z2 1 和 x2(y1)2 (z 1)2 1 求它们的交线C 在xoy平面上的投影.
解：联立上述两个方程消去z可得：x22y22y0与z0联立可得投影为：
2 2 2 2 0
0
x y y
z
.
四、思考题
1．试求椭圆曲面 1
4 9
2 2
2 y z
x 与平面y 1的交线方程；
解：将y1代入椭圆曲面方程可得： 2 2 3
9 4
x z ，交线方程为：
2
2 3
9 4
1 x z
y
.
2．设 yoz平面上一动点到点(2,0,0)的距离为到点(4,0,0)的距离的一半，求动
点轨迹的方程.
解：设M x y z( , , )为轨迹上的点，根据条件：
2 2 2 1 2 2 2
( 2) ( 4)
x y z 2 x y z ，轨迹方程为：x2y2z28x0.
3．试求抛物面z x2 y2与平面yz 1的交线在xoy平面上的投影曲线方程.
解：联立抛物面与平面方程得方程组：
2 2
1 z x y
y z
消去z得曲线方程为：
2 2
1 0 0
x y y
z
.
4．设一个立体由上半球面 z 4x2 y2 和锥面z 3(x2 y2)所围成，求它在
xoy面上的投影.
解：见教材P49 例5.6.5.
