第三节第三节 格林公式及其应用

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第三节

一、格林公式

二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件

格林公式及其应用

第十一章

* 三、全微分方

程

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L 区域 D 分 D

类

单连通区域 ( 无“洞”区域 多连通区域 ) ( 有“洞”区域 ) 域 D 边界 L 的正向 : 域的内部靠

左定理 1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围

成, , ), 则有

(x y

P Q(x, y)





^_^{ }_ ^{ }_ ^_^{  }

L D

y Q x

P y

y x P x

Q d d d d _{( 格林公式 )} 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数

,





^{   }

L D

y

x x y P x Q y

Q

P d d d d

或

一、 格林公式

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证明 : 1) 若 D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且













b x

a

x y

D (x) ( )

: ¹ ²













d y

c

y x

D (y) ( )

: ¹ ²

则 x y x

Q

D d d



^_



 ^d

c Q( ₂(y), y )dy



_^₁²₍⁽_y^y₎^{) }_^Q_x ^dx



 CBE Q(x, y)dy ^



_CAE ^{Q(x, y)dy}



 CBE Q(x, y)dy ^



_EAC^{Q(x, y)dy}



 ^d

c Q(₁(y), y )dy



 ^d

c dy O

d c

y

x E

C A B

a b

D

定理 1

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即 x y

x Q

D d d



^_ ^



_L^{Q(x, y)dy}

同理可证

y y x

P

D d d



^_

 ^



_L ^{P(x, y)dx}

①

②

① 、②两式相加得 :

  



_D ^_^Q_x ^{ }_^P_y ^{dxdy } _L ^{Pdx  Qdy}

定理 1

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L 2) 若 D 不满足以上条件

, 则可通过加辅助线将其分割

D1

Dn

D2

 



 

 



 ⁿ 

k D x y

y P x

Q

1 k

d d

 

x y

y P x

Q

D d d



 









  

 ⁿ

k D_k P x Q y

1

d d



^

 L Pdx Qdy

为有限个上述形式的区域 , 如图

) (D_k表示D_k的正向边界

证毕

y

O x

定理 1

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推论 : 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面 积 ^{A  1}₂



_L ^{xdy  y dx}

格林公式



^_^{ }_ ^{ }_ ^_^{ }



^

L D

y Q x

P y

y x P x

Q d d d d

例如 , 椭圆 (0 2π) sin

: cos  







 



 b

y

a

L x 所围面积



^

 L x y y x

A d d

2 1



^

 ^2π

0

2

2 sin )d

cos 2 (

1 ab  ab    π ab

定理 1

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例 1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线 , 证明 0

d d

2  ² 



_L ^{xy x x y}

证 : 令P  2xy, Q  x², 则

y P x

Q



 





利用格林公式 , 得

y x

x y

L 2x d ² d



^

0 2

2  

 x x





D

y x d d

0  0

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例 2. 计算



_De^y2 d^xd^y, ^{其中 D 是以} O(0,0) , A(1, 1) ,

B(0,1) 为顶点的三角形闭域 .

解 : 令P  0, Q  xe^y2, 则

 

 





y P x

Q

利用格林公式 ,

有



_D^{ey2dxdy }



_{ D} ^{x ey2dy}

y

OA x

y d e ²



^

 ¹ ye ^y dy

0



^ 2



) e

1 2 (

1  _1



e^y2 y  x

y

x ) 1 , 1 ( ) A

1 , 0 ( B

D O

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例 3. 计算 d d ,

2



_L ^x_x2^y _^ _y^{y x 其中 L 为一无重点且不过原}

的分段光滑正向闭曲线 . 点 解 :

令

,

2 0

2 时

则当x  y  _{2 2 2}

2 2

) ( x y

x y

x Q



 





设 L 所围区域为 D,

, )

0 , 0

( 时

当  D 由格林公式知 d 0

d

2

2 





_L ^x_x^y  _y^{y x}

2 ,

2 y

x P y



  _{2 2}

y x

Q x

 

y P



 

y

x L O

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 

 sin d cos

π 2

0 2

2 2

2



2 ^

 r

r

r  2 π

, )

0 , 0

( 时

当  D _{在 D 内作圆}

周 l : x²  y²  r², _取逆时 针方向 , D₁ , 对区域D_{1 应用格}



_L ^xd_x^2y _^ _y^{yd2x }



_l ^xd_x^2y _^ _y^yd2x



^ _^

 L l x y x y y

x

 2 2

d

d 0d d 0

1







_D ^{x y}





_^{ } _^

 L l x y

x y y

x y

x

x y y

x

2 2

2 2

d d

d d

L

D1

l

记 L 和 l ^¯ 所围的区域

林公式 , 为得 y

x O

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二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件

定理 2. 设 D 是单连通域 , P(x, y), Q(x, y)_{在 D} 具有一阶连续偏导数 , 内

(1) 沿 D 中任意光滑闭曲线 L , 有

. 0 d



_L ^Pd^{x  Q y } (2) 对 D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积

分

(3) P dx  Q dy u(x, y)

y Q

x P y

x

u( , ) d d

d  

(4) 在 D 内每一点都 有

x . Q y

P



 







_L ^{Pdx  Qdy}

与路径无关 , 只与起止点有关 .

函数

则以下四个条件等价 :

在 D 内是某一函数 的全微分 即 ,

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(1) 沿 D 中任意光滑闭曲线 L , 有

. 0 d



L Pdx ^ Q y ^

(2) 对 D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分



_L ^{Pdx  Qdy}

与路径无关 , 只与起止点有关 .

说明 : 积分与路径无关时 , 曲线积分可记为 证明 (1)  (2)

设 L₁, L₂





_L1 ^{Pdx  Qdy } _L2 ^{Pdx  Qdy}



^



1

d

L Pdx Q y ^



_L^₂ ^{Pdx  Qdy}



^{ }



1 2

d

L d

L P x Q y

  0

L2



^



2

d

L Pdx Q y



^



1

d

L Pdx Q y

为 D 内任意两条由 A 到 B 的有向分段光 线 滑曲

,

则

( 根据条件 (1))



^

 ^B

A Pdx Qdy



_AB ^{Pdx  Qdy}

A

B

L1

定理 2

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(2) 对 D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积 分

(3) ^{P dx  Q dy u(x, y)}

y Q x

P y

x

u( , ) d d

d  



L Pdx ^ Qdy 与路径无关 , 只与起止点有关 .

在 D 内是某一函数 的全微分 , 即

证明 (2)  (3)

在 D 内取定点A(x₀, y₀) _{因曲线积分}



^

 ^{( , )}

) ,

( _{0 0} d d

) ,

( ^{x y}

y

x P x Q y

y x u

) , ( )

,

(x x y u x y u

xu    

则 

) , (x y

 P x

u x

u _x

x 

 







lim0 lim ( , )

0 P x x y

x  

   



^{ }

 ^{( , )}

) ,

( ^{x x y} d d

y

x P x Q y ^



₍⁽_x^x_,^_y^₎^{x, y) Pd x}

x y

x x

P   

 (  , )

同理可证 y u



  Q(x , y), _因此有 du  P dx  Q dy 和任一点 B( x, y ),

与路径无关 ,

) ,

(x x y

C   )

, (x y B

) ,

(x₀ y₀ A

有函数

定理 2

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(4) 在 D 内每一点都有^_^P_y ^{ }_^Q_x ^.

(3) ^{P dx  Q dy u(x, y)}

y Q x

P y

x

u( , ) d d

d 在 D 内是某一函数 的全微分 , 即

x y

u y

x u





 





^{2 2} 所以

证明 (3)  (4)

设存在函数 u ( x , y ) 使得 y Q x

P

u d d

d  

则 ( , ), Q(x, y) y

y u x x P

u 



 





P, Q 在 D 内具有连续的偏导 数 ,

从而在 D 内每一点都有 x Q y

P



 





x y

u x

Q y

x u y

P





 









 



  ² , ²

定理 2

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证明 (4)  (1)

设 L 为 D 中任一分段光滑闭曲线 , D  D

( 如图 ) ,因此在 D上

x Q y

P



 





利用格林公式 , 得

y x x

Q x

y Q Q

x

L Pd d D ( )d d



 



 









D

^D

L

 0 所围区域为

证毕

(1) 沿 D 中任意光滑闭曲线 L , 有



_L ^{Pdx  Qdy  0.}

(4) 在 D 内每一点都有^_^P_y ^{ }_^Q_x ^.

定理 2

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说明 : 根据定理 2 , 若在某区域 D 内

x , Q y

P



 



 则

2) 求曲线积分时 , 可利用格林公式简化计算 ,

3) 可用积分法求 d u = P dx + Q dy 在域 D 内的原函 数 : ( x₀, y₀)  D_及动点 ( x, y ) D,

y y

x Q x

y x P y

x

u ^{x y}

y

x ( , )d ( , )d )

,

( ^{( , )}

) ,

( _{0 0} 







 ^x

x P x y x

0

d ) ,

( ₀

或 ^{u (x, y) }



_y^y₀ ^{Q(x0, y)dy}

则原函数为



 ^y

y Q x y y

0

d ) , (



 ^x

x P x y x

0

d ) , (

若积分路径不是闭曲线 , 可添加辅助线 ; 取定点

1) 计算曲线积分时 , 可选择方便的积分路径 ;

y

x y0

x0

O x

y

定理 2

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4) 若已知 d u = P dx + Q d

y , 则对 D 内任一分段光滑 曲



^

 ^B

A P(x, y)d x Q(x, y)dy

A

u B



定理 2

) ( )

(B u A

u 

 线 AB , 有

y y

x Q x

y x

AB P( , )d  ( , )d



注 : 此式称为曲线积分的基本公式 ^{(P211 定理 4)}.





^ a^b

b

a f (x)d x d F(x)

D A

B

它类似于微积分基本公式 :



 ^B

A du



其中 ^{F(x)  f (x)}

^

) ( )

( )

(x F b F a

F

a

b  



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y

A x L

例 4. 计

算 (x² 3y)d x (y² x)d y,

L   



^{其中 L 为上}

2 半 4x x

y   _从 O (0, 0) 到 A (4, 解 : 为了使用格林公式0). , 添加辅助线 段

, AO

D

它与 L 所 围

原式 x y x y x y

AO

L ( ²  3 ) d  ( ²  ) d





_



 4 Ddxdy



^{  }

 OA(x² 3y) dx ( y² x) dy



 ⁴

0

2 dx x

圆周

区域为 D , 则

O 8π 64

  3

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例 5. 验证xy² dx  x² ydy _{是某个函数的全微分} , 并 出这个函数 . 求

证 : 设P  xy², Q  x² y,_则

x y Q

y x P



 

 

 2

由定理 2 可知 , 存在函数 u (x , y) 使 du  xy² dx  x² ydy



^

 ^{( , )}

) 0 , 0 (

2

2d d

) ,

(x y ^{x y} xy x x y y u

) 0 , (x



 0

y y

y x

0 d



2



y y

y x

0 d



2

2 2

2

1 x y



) 0 , 0 (

) , (x y

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例 6. 验证 d _{2 2}d y x

x y

y x



 在右半平面 ( x > 0 ) 内存在原 数 , 并求出它 . 函

证 : 令 _{2 2} , _{2 2} y x

Q x y

x P y

 



 

则 ( 0)

) ( ^{2 2 2}

2

2 



 



 



 x

y Q y

x

x y

x P

由定理 2 可知存在原函数



_^

 ^{( , )}

) 0 , 1

( 2 2

d ) d

,

( ^{x y}

y x

x y

y y x

x u



 0  arctan ( x  0)

x y

x y



^y _{x }^y_y

x 0 2 2

d

) 0 , ( x )

0 , 1 (

) , (x y

O

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x y

) 0 , ( x )

0 , 1 (

) , (x y

O



_^

 ^{( , )}

) 0 , 1

( 2 2

d ) d

,

( ^{x y}

y x

x y

y y x

x u



_

 ^y

y y

0 1 2

d

y x

y 1y arctan

arctan

arctan  



y arctan x 2

π 





_

 ^x

y x

y x

1 2 2

d 或

) , 1

( y

) 0 (

arctan 

 x

x y

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例 7. 设质点在力

场 作用下沿曲线 L : x

y cos 2

 π _由 )

2 , π 0 (

A 移动到 , 0), 2

( π

B _{求力场所作的功 W}

解 : ^



_{L r}^k₂ (^yd^{x  x} d^y)

令 , ,

2

2 r

x Q k

r y

P  k   _则有

) 0 ) (

( _{2 2}

4

2

2   

 

 x y

r

y x

k y

P

x Q



 

可见 , 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关 . .

) (其中 r  x²  y²

) ,

2 (y x r

F  k 

s F

W ^



L ^ d ^L

B A

y

x O

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: AB

) d d

2 (y x x y r

W k

AB 









 cos )d

(sin ²

0

π2  2 

 ^k



) 2 0

: π ( 2 sin

, π 2 cos

π  

  y  

x

2 k

 π

思考 : 积分路径是否可以取AO  OB ? 取圆弧

为什么？

注意 , 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径 无关 !

L

B A

y

x O

内容小结

转内容小结

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判别 : P, Q 在某单连通域 D 内有连续一阶偏导 数 ,

x , Q y

P



 



 (x, y)  D

③ 为全微分方程

则

求解步骤 :

方法 1 凑微分法

;方法 2 利用积分与路径无关的条件 .

1. 求原函数 u (x, y)

2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .

* 三、全微分方程

使

若存在 u(x, y) du(x, y)  P (x, y)dx  Q (x, y)dy 则称 P(x, y)dx  Q (x, y)dy  0

为全微分方程 .

③

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) , (x y y

O x 例 8. 求解

0 d

) 3

3 ( d

) 3

5

( x⁴  xy²  y³ x  x²y  xy²  y² y  解 : 因为 



 y

P ₂

3

6xy  y , x Q



  _{故这是全微分方程 .}

, 0 ,

0 ₀

0  y 

取 x ^则有 x

x y

x

u ( , ) ^x5 d

0



4

 ^y (3 x y 3xy y ) dy

0

2 2



2 ^{ }

 x5

 ^{2 2}

2

3 x y

  xy^{3 3} 3 1 y

 因此方程的通解为

C y

y x y

x

x⁵  ^{2 2}  ³  ³  3

1 2

3 _(x,0)

法 1

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0 d

) 3

3 ( d

) 3

5

( x⁴  xy²  y³ x  x²y  xy²  y² y  求解

法 2 此全微分方程的通解 为

y u





, )

(y  y²



C y

x

u( , ) 

x u





, 则有

) ( d

) 3

5 ( )

,

(x y x⁴ xy² y³ x y

u 



  

待定

， ( ) )

2 (

3 _{2 2 3}

5 x y x y y y

x    

 两边对 y 求导得

④

y u



 ⑤

由④得

与⑤比较得 _取^{(y)  1}₃ ^y3

因此方程的通解为 x⁵  x² y²  x y³  y³  C 3

1 2

3

3 2

4 3

5x  xy  y



2 2

2 3

3x y  xy  y



) ( 3

3x²y  x y² ^ y



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例 9. 求解 1 d 0 d

)

(  ₂  y 

x x x

x y 解 : 1₂

y x P 



 ∴ 这是一个全微分方程 .

用凑微分法求通解 .将方程改写为 d 0

d  d ₂  x

x y y

x x x

即

 

^d

 

^0,

2

d 1 ²  

x x y

故原方程的通解为

 

⁰

2

d 1 ²  

x x y

或 x C

x²  y  2

1 x , Q



 

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思考 : 如何解方 程

? 0 d

d )

( x³  y x  x y 

这不是一个全微分方程 , 1 , x2

就化成例 9 的方程

.   (x, y)  0, _使

0 d

) , ( ) , ( d

) , ( ) ,

(x y P x y x   x y Q x y y 



为全微分方程 ,则 则 (x, y)

在简单情况下 , 可凭观察和经验根据微分倒推式得 到

为原方程的积分因子 . 但若在方程两边同乘

注 : 若存在连续可微函数

积分因子 .

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内容小结

1. 格林公式



_L ^{Pd x  Q d y}

2. 等价条件

在 D 内与路径无 关 .

y P x

Q



 





在 D 内有d u  Pdx  Q dy

y y x

P x

Q

D d d



^_^_ ^{ }_ ^_^





_L ^{P d x  Q d y}

对 D 内任意闭曲线 L 有

0 d

d  



_L ^{P x Q y}

在 D 内有

设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数 , 则有

为全微分方程 0

d

dx  Q y  P

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思考与练习

1. 设L : x²  ¹₄ y² 1, l : x²  y²  4, 且都取正向 , 问下列计算是否正确

?



_L ^x _x^y2^_{ y}^y2 ^x

d 4

) d 1

( ^



_l ^{x d}_x^y2_⁴_y^{y2d x}



^

 l x d y 4y d x 4

1 ^{ 1}₄



_D^{5d  5π}



_L ^{x d}_x^2y _^ _y^{y2d x}

) 2

( ^



_l ^{x d}_x^2y _^ _y^{y2d x}



^

 l x d y yd x 4

1 ^{ 1}₄



_D ^2d

π

 2

提示 :x²  y²  0时 y

P x

Q



 

 )  1 (

y P x

Q



 

 )  2 (

L

O 2

y

1 x

2 D l

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2. 设gradu(x, y)  (x⁴  4xy³,6x²y²  5y⁴),求u(x, y).

提示 :d u(x, y)  (x⁴  4xy³)dx  (6x² y²  5y⁴)dy )

, (x y u

O

y

x ) , (x y

) 0 , (x x

x x

0 d



4

 ^y (6x y 5y ) dy

0

4 2



2 ^



 C

5

5 1 x

  2x² y³  y⁵  C x xy

x 4 ) d

( ⁴  ³  (6x² y²  5y⁴)dy



 ^{( , )}

) 0 , 0 (

y x

 C

作业

P212 2

(1)

; ³ ; ⁴

⁽³⁾

; ⁵

^{(1) , (4)} ；

⁶

^{(2) ,}

(5) ;

*8

(2), (4), (7) ;

9

_第四节

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



   C C

C

D

O y

x a

 a C

备用题

^1. 设 C 为沿



^{ax y x a x}



^y

x x a

y

C

d ) ln(

2

d ^{2 2}

2 2

2    





2 2

2 y a

x   从点 (0,a) _依逆时针 )

, 0

( a _的半圆 , 计 算

解 : 添加辅助线如图

, 利用格林公式 . 原式 =

π 3

2

1 a





_

 ^a

a(2y ln a) d y



_^

 D ^{2 2}

2

x a

a y

 

2 2

2

x a

y

  d x d y



C 到点

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D

2. 质点 M 沿着以 AB 为直径的半圆 , 从 A(1,2) 运 动到



 ²



_D ^{d x d y}

点 B(3, 4),

到原点的距离 ,

解 : 由图知 故所求功为

AB 



_AB y d x  x d y

 



 BA AB



^{(x 1) x}



^{d x}

3



1 ^{  }

2 π

2 

 锐角 ,

其方向垂直于 OM, 且与 y 轴正向夹角 为



AB





(y d x  x d y)

) 1 (

2  ⁴_{3 1}³ 

 ^_ x y

AB的方程

F 求变力 F 对质点 M 所作的功 . ( 1990 考 研 )

, ) , ( y x F  

F 的大小等于点 M 在此过程中受力 F 作

用 ,

s F

W 



d

O

) , (x y M

B A

y

x

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, 0 )

1 , 0 (

1, 

C F F

3.

_{已知曲线积分}

与路径无关 , 其

中 求由

确定的隐函数

解 : 因积分与路径无关 , 故有 x

F x

F_x cos  sin

  F_y y sin x  F sin x 即

因此有

] d cos

d sin [

) ,

(x y y x x x y

L F 



0 )

,

(x y  F

. ) (x f y 

x F y

F

y

x  tan

 x y

y  tan

0 1



y x y x

cos

 1  sec x ] sin )

, ( [ ]

cos )

, (

[ F x y y x

x y y

x

x F 

 

 



y 