幻灯片 1

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

第 第 1 1 章 函数与极 章 函数与极 限 限

高等数学 A

1.6 无穷小与无穷大

1.6.1

无穷小

1.6.2

无穷大

1.6.3

无穷小与无穷大的运算

1.6.4

无穷小的比较

1.6 无穷小与无穷大

1.6.3

无穷小与无穷大的运算

1.6.1

无穷小

无 穷 小 与 无 穷 大

有限个无穷小的代数运算 有界函数与无穷小的乘积 有限个无穷小的乘积

无穷大的简单运算 无穷小的定义

无穷小与函数极限的关系 无穷大的定义

无穷大与无穷小的关系

习例

1-12 1.6.2

无穷大

1.6.4

无穷小的比较

^{无穷小阶的定义}

等价无穷小及性质

定义

1 ^{lim ( ) 0, ( )} ₀ ^.

0

时为无穷小 当

则称

若

f x f x x x

x

x  



: )

( 

定义

. )

(

, )

( 0

, 0 ,

0

0

0

时为无穷小 当

则称

时 当

若

x x

x f

x f x

x

















   

. )

( ,

0 )

(

lim

则称 当 时为无穷小

若

  



 f x f x x

x

0 0

lim

, 0 lim

, 1 0

lim

0  0 

  



 x x x

x x

比如

x

注意

: (1)

无穷小并不是一个很小的数

. (2)

数“

0”

是无穷小量

.

(3)

无穷小是一类特殊函数

,

是在某一变化过程中极限 为

0

的函数

,

并且在一个过程中为无穷小的量在另一 过程中可能不是无穷小量

.

1.

无穷小的定义

一、无穷小



¹



⁰

lim1  

 x

x

定理

1 lim f (x)  A  f (x)  A (x),

_其中

lim(x)  0 .

证明

:

则对 设

lim ( ) ,

x0

x f x  A



时的无穷小。

是 则

于是令

(x)  f (x)  A, (x) x  x₀ .

0 )

( lim )

( )

(

0





 A x  x

x

f 

_，其中

x x 

即

充分性

:

设

f (x)  A(x),

且

lim(x)  0;

则

f (x)- A (x).

. )

( lim

x0

x f x  A

即



2.

无穷小与函数极限的关系

, )

( 0

, 0 ,

0 

当

₀ 

时有



成立

        

 x x f x A

仅证明 的情况x  x₀ .

必要性

:

. )

( )

(

, 0

, 0 ,

0 ₀

成立 有

时 当

于是对































x A

x f

x x

) lim"

"

(

以下定理中 表示

x  x₀

或

x  

等都成立

定义

2 lim ( ) , ( ) ₀ .

0

时为无穷大 当

则称

若

f x f x x x

x

x   



: )

(M 

定义

. )

( ,

) (

0 ,

0 ,

0

0 0

时为无穷大 当

则称

时 当

若

x x

x f M

x f

x x

M

















  

. )

( ,

) (

lim

则称 当 时为无穷大

若

   



 f x f x x

x

注意

: (1)

无穷大是变量

,

不能与很大的数混淆

.

(3)

无穷大是一种特殊的无界变量

,

但是无界变量 未必是无穷大

.

如：

. )

( lim )

2 (

0

认为极限存在 切勿将

 

 f x

x x

. ,

, 0 , ,

2 , 0 , 1 , 0

; ,

, ,

2 ,

1  n 

与

 n 

1.

无穷大的定 义

二、无穷大

1 . lim 1

lim 1 .

1 0 1  

 

 

 x ^x x

x

和

证明

例

2.

无穷大与无穷小的关系

定理 2

证明 : 1 ,

, 0 ,

) ( lim

x0

x      

 f x

则 根据无穷大的定义，对 于

M

设

) . ( , 1

) 1 ( ,

0 ,

0

当

₀

时 有 即



成立

 

       

 x x f x M f x

在自变量的同一变化过程中，如果 为无穷大，则 为无穷 小 . ^f  ^x _f ¹_{ x}

反之，如果 为无穷小，且 ，则 为无穷 大 . ^f  ^{x f  x  0} _f¹_{ x}

所以 ，即 为当 时的无穷小^{xlimx0 f 1} ^{x  0 f1 x x  x0} . 反之，如果 为无穷小，

且 . ^f  ^x f  x  0 M  0,

根据无穷小的定义，

对于 ， ，当 时，有^{ } _M^{1   0} 0  x  x₀ 

 x M

f 1



  即 f1 x  ^M

所以 ^{xlimx0 f 1} ^{x  } , 即 为当 时的无穷大^f1 ^{x x  x0} .

定理

2

也可以叙述为：

) . ( lim 1

, 0 )

( ,

0 )

( lim

) 2 (

; ) 0

( lim 1

, )

( lim

) 1 (















x x f

f x

f

x x f

f

则 且

若

则

若

定理

3(1)

有限个无穷小的代数和仍为无穷小

.

. 0 )]

( )

( lim[

, 0 )

( lim ,

0 )

(

lim x   x 

_则

 x   x 

即若

证 明

: lim ( ) 0, lim ( ) 0.

0 0



 

 x x

x x x

x  

不妨设

,

 0

 _;

) 2 ( ,

0 ,

0 _{0 1}

1   

     



当

x x

时 有

x

2 . )

( ,

0 ,

0 _{0 2}

2   

     



当

x x

时 有

x



^,



^,

min ₁ ₂

 

取 当

0  x  x₀  

时

,

. 0 )]

( )

( [ lim

0





  x x

x

x  

2 . ) 2

( )

( )

( )

(      

 x  x  x  x   

有

三、无穷小与无穷大的运算

注意

:

无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小

. 1 ,

,

,

时 是无穷小

例如

n   n

但 个

¹

之和为

¹

不是无穷小

^. n n

定理

4

有界函数与无穷小的乘积是无穷小

.

. 0 )

( )

( lim

0 )

( lim

, )

(

0 0









 M  x  u x x

x

u x x  x x 

即若

证明

: lim ( ) 0.

0

 x 

x

x 

 ,

 0

 _{0 , 0 0 , ( ) ;}

x M x

x   

     



当 时 有

. )

( )

( )

( )

(

        

M M x

x u x

x

则

u

. 0 )

( )

( lim

0





  u x x

x

x 

例如

.

计算下列极 限

x x

x

sin 1 lim

) 1

( 0 



x x

x

sin 1 lim

) 2

( 





x x

x

lim sin )

3

( 0

x x

x

lim sin )

4

( 

;

 0

x x

x 1

sin 1 lim

  1;

;

 1

x x

x 1 sin

lim 

   0.

推论

1.

在同一过程中 , 有极限的变量与无穷小的乘积 是无穷小

.

推论

2.

常数与无穷小的乘积是无穷小

.

推论

3.

有限个无穷小的乘积也是无穷小

.

. 0 )

( lim

, 0 )

( lim

0 0



 

 x x

x x x

x  

不妨设 ,

 0

 ₁  ^0,当⁰  x  x₀  ₁时^, 有 ⁽x⁾   ^; . )

( ,

0 ,

0 _{0 2}

2   

     

 当 x x 时 有 x

 , , min ₁ ₂

 

取 当0  x  x₀  时,

. 0 )

( )

( lim

0





  x x

x

x  

. )

( )

( )

( )

(      

 x  x  x  x   

有

证明

:

定理

5

对于自变量相同变化趋势下的无穷大有如下性质

:

注意： 两个无穷大的和与差不一定是无穷大；

无穷大与有界函数的乘积也不一定是无穷大

.









 0

（ 1

）有限个无穷大的乘积是无穷大

;

（ 2

）无穷大与有界量之和是无穷大

.

例如

,

x x

x 3

lim

2

0

x x

x 3

lim sin

0

2 2

0

sin 1 lim x

x x

x

1 . sin ,

sin ,

, 3 , ,

0

时

^{2 2}

都是无穷小 当

x  x x x x x x

极限不同

,

反映了趋向于零的“快慢”程度不同

.

; 3

2

比

x

要快得多

x

; 3

sin x

与

x

大致相同

不可比

. ,

 0

3,

 1

x

x

sin 1 lim0



不存在

.

观 察 各 极 限

四、无穷小的比较

1.

无穷小阶的定义

定义

3

_设

lim  0,lim   0,

_且

  0.

);

( ,

, 0 lim

) 1

(    



 

就说 是比 高阶的无穷小 记作

 o

如果

; ,

lim )

2

( 如果 就说是比低阶的无穷小



 _{ }

; ) ( ,

), 0 (

lim )

3

(    



  C C 

就说 与 是同阶的无穷小 记作

 O

如果

;

~

; ,

1 lim

) 4

(    





则称 与 是等价的无穷小 记作 如果



. ),

0 ,

0 (

lim )

5

(

如果

_k C C k

就说



是



的

k

阶无穷小



 _{  }

例

1

证明

:

当

x  0

时 ,

ⁿ 1  x  1

～

_n^{1 x}

ln(1  x ) ~ x

例

2

证明

:

当

x  0

时 ,

例

3

证明当时 x  0 , e

^x

 1 ~ x

例

1

证明

:

当

x  0

时 ,

ⁿ 1  x  1

～

_n^{1 x}

证

lim0

x

1 1  

n x

n x

1

lim0

  x



^{n 1  x}



^{n  1}

 n x

1

 

^{n 1  x}



^n1



^{n 1  x}



^n2 _^{ 1}



^{ 1}

, 0

时 当



 x ⁿ _{1  x  1}

～

_n^{1 x}



 ⁿ

n b

a (a  b) (a^n1 a^n2b   b^n1)

0

ln(1 ) limx

x x



 

.

 1

1

lim ln(10 )^x

x x

 

e

 ln

证

ln(1  x ) ~ x

例

2

证明

:

当

x  0

时 ,

ln(1  x ) ~ x

所以，当

x  0

时 ,

例

3

证明当时 x  0 , e

^x

 1 ~ x

.

 1

0 0

lim 1 lim

ln(1 )

x

x y

e y

x y

 

 



解 令

e ^x  1  y,

^则

^{x  ln(1  y),} .

0 ,

0 

 y

x

时

当

y y

y

0 1

) 1

ln(

lim 1



 

同理可得

0

lim 1 ln , 1~ ln ( 0 ).

x x

x

a a a x a x

x



 

则，时

 

定理

6

设

, 

为无穷小

,

则

 ~      o().

证明：



_若

 ~  ,





 

则

lim  lim(  1)



  lim  1



  1 1  0

).

(



   o



), (

   o 



若 则

    o(),









 ( )

lim

lim   o

则

( )]

1

lim[ 



 o

  1

.

~ 





2.

等价无穷小的性质

定理

7

等价无穷小替换定理

. lim lim

, lim

,

~ ,

~ 









 





 

 



 



且 存在 则

设

证明

: _^{(x) ~} ^(x), , ) 1

( ) lim ( 

 x

x



  ^{(x) ~}  ^(x), . ) 1

( ) lim ( 

x x





) ) (

) ( )

( ) ( )

( ) lim( (

) (

) lim (

x x x

x x

x x

x















 ^





 



) (

) lim (

) (

) lim (

) (

) lim (

x x x

x x

x











 





  .

) (

) lim (

x x







 

. tan

4 , 0 :

.

证明 当 时

³

为 的四阶无穷小 例

x  x x x

证明

: ₄

3 0

tan lim 4

x

x x

x

 ³

0 tan ) (

lim

4 x

x

x

  4,

. tan

4 ,

0

时

³

为 的四阶无穷小

故当

x  x x x

注意

:

(1)

任何无穷小与其本身是等价无穷小

. (2)

等价无穷小代换只适用于乘积中

;

对于代数和或复合函数中各无穷小不能分别替换

.

(3)

熟记一些常用的等价无穷小

^{(当 x  0时)}

,

~

sin x x tan x ~ x,

,

~

arcsin x x arctan x ~ x, ,

~ ) 1

ln(  x x e^x  1 ~ x, 2 ,

~ cos

1

x2

 x 1 1 ~ .

n x x

n  

因为

 ~       o()

), (

sin x  x  o x tan x  x  o(x), ),

(

arcsin x  x  o x arctan x  x  o(x), ),

( )

1

ln(  x  x  o x e^x  1  x  o(x),

), 2 (

cos

1 ²

2

x x o

x  

 1 1 o(x).

n x x

n    

所以有：

sin

4. lim0 .

sin

x x

x

e e

x x





例计算极限



0

1 cos

6. lim .

(1 cos )

x

x

x x

 

 例计算极限 

0 3

tan sin

. lim .

sin

x

x x

x



例

5

计算极限



. arcsin 2 lim 1

. 2

2 sin

0 x

e ^x

x



计算极限



例

2 0

1 2 1

1. lim .

arcsin arctan

2 3

x

x

x x



  例计算极限

0

1 1

3. lim arccos .

sin

x

x x



例计算极限

 

五、无穷小与无穷大例题分析

0 0 2

ln 1 ( )

sin ( )

7. lim ( 0, 1), lim .

x 1

x x

f x

x A a a f x

a x

 

  

 

    

例设求 

2 2 2

8. 0 , ( ) ,

, , .

x ex ax bx c x

a b c

   

例当时是比高阶的无穷小 求

5 4

9. lim [( 7 2)^c ] , .

x x x x c

   

例存在且不为零求及极限

解：

² 2 ² 2

~ 1 1 2

1  x   x

  x²

2 , 2 ~

arcsin x x

3 , 3 ~

arctan x x

3 2 lim arctan 3

arcsin 2

1 2

lim 1

2 0

2

0 x x

x x

x x

x

x 

 

 



  6.

2 0

1 2 1

1. lim .

arcsin arctan

2 3

x

x

x x



 

例计算极限

. arcsin 2

lim 1

. 2

2 sin

0 x

e ^x

x



计算极限



例

解：

arcsin 2 1 lim e

2 sin

0 x

x x





2 2 lim sin

0 x

x

x



.

 4 2

lim 2

0 x x

 x

解

: ) sin

1 lim 1

arccos(

sin

1 arccos 1

lim0 0 x

x x

x

x x



 









sin ) lim 2

arccos(

0 x

x

 x

3 2

arccos1 _ 



0

1 1

3. lim arccos .

sin

x

x x



例计算极限

 

sin

4. lim0 .

sin

x x

x

e e

x x





例计算极限



解

:

x x

e e

x x

e

e ^{x x x}

x x

x

x sin

) 1 lim (

lim sin

sin sin

0 sin

0 

 



 ^





x x

x x

e ^x

x sin

) sin lim (

sin

0 

 



. 1 lim ^sin

0 

 

x

x e

解： 当

x  0

时

, ^. 2

~ 1 cos

1 ,

~

sin x x  x x²

0 3 0 3

sin lim tan

sin

sin lim tan

x

x x

x

x x

x x

 

 





2. 1 cos

2 1 lim ₃

2

0  

  x x x x

x

0 3

tan sin

5. lim .

sin

x

x x

x



例计算极限



x x

x x

x cos

) cos 1

( lim sin ₃

0

 



0 3

lim x

x x

x

 

原式



解 ^当

^{x  0}

^时

^{, tan x ~ x, sin x ~ x.}

.

 0

错 ∵

∴

错误原因：

0 1

sin tan

lim 0

0  



 x x

 x

x x sin tan 

 ^～

x  x  0

问：下列推导是否正确？

不能滥用等价无穷小代换

.

在用等价无穷小 代换时，要用与分子或分母整体等价的无穷小 代换

.

对于代数和中各无穷小

,

一般不能分别

代换

.

即遇无穷小 “

+”, “”

时

,

一般不能 代换；

1°

2°

遇无穷小乘积时，可用各无穷小的等价 无穷小进行代换

.

注

0

1 cos

6. lim .

(1 cos )

x

x

x x

 

 例计算极限 

解

:

) cos 1

)(

cos 1

(

cos lim 1

) cos

1 (

cos lim 1

0

0 x x x

x x

x

x

x

x  

 







 



) cos 1

2 ( lim 2

2

0 x x

x

x

x   

   .

2

 1

0 0 2

ln 1 ( )

sin ( )

7. lim ( 0, 1), lim .

x 1

x x

f x

x A a a f x

a x

 

  

 

    

例设求



解

: 0, sin

) lim (

0 

 x

x f

 x lim ( ) 0.

0 

  f x

x

1 sin

) 1 (

ln

lim0 



 

 

 x ax

x x f

x a

x

x f

x ln sin

) lim (

0 

 

a x

x f

x ln

) lim ₂(

0

 ₂

0

) lim (

ln 1

x x f a ^x

  A, ( ) ln .

lim ₂

0 A a

x x f

x 

 

1 sin

) ( lim _ln

0 

 x ex a

x x f

2 2 2

8. 0 , ( ) ,

, , .

x ex ax bx c x

a b c

   

例当时是比高阶的无穷小 求

解

: ^{lim ( 2}₂ ^{) 0,}

0

2

 





 x

c bx

ax e^x

x

, 0 )]

( [

lim ²

0

2    

  e^x ax bx c

x

.

 1

c ,

0 1 )

1 (

lim ²

0

2





 

  b

x ax x

e x

x

又

x

, 0 1 )

( lim

2 0

2





 

 b

x ax x

e^x

则

x b  0. ,

0 1 )

(

lim ₂

0

2



 

 a

x e^x

从而

x a  1. .

1 ,

0 ,

1  



a b c