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(1)

微分方程第七章

y x

f

y 求

已知   ( ) , — 积分问题

y y 及其若干阶导数的方程求

已知含 ,

— 微分方程问题

推广

(2)

微分方程的基本概念第一节

微分方程的基本概念引例几何问题

物理问题

第七章

(3)

引例 1. 一曲线通过点 (1,2) , 在该曲线上任意点处的

解 : 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式

: x

x

y 2 d

d  ^①



 x x

y 2 d  x²  C (C 为任意常数 ) 由 ② 得 C = 1,_{因此所求曲线方程为} y  x² 1.

1 2



y x ^②

由 ① 得

切线斜率为 2x ,

求该曲线的方程 .

(4)

引例 2. 列车在平直路上以20 m s _{的速度行驶} _,

获得加速度 a  0.4 m s² , 求制动后列车的运动规律 . 解 : 设列车在制动后 t 秒行驶了 s 米

,

已知 0.4 d

d

2

2   t

s

,

0  0



s t 20

d 0

d t t   s

由前一式两次积分 , 可得 s   0.2t²  C₁ t  C₂ 利用后两式可得 C₁  20, C₂  0

因此所求运动规律为 s   0.2 t²  20 t

说明 : 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才即求 s = s (t) .

制动时

(5)

常微分方程偏微分方程

含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 .

方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程

( 本章内

容 )

0 )

, ,

(x y y y⁽ⁿ⁾ 

F 

) ,

, ,

,

( ⁽ ¹⁾

)

(ⁿ  f x y y y ⁿ

y  ^{( n} ^{阶显式微分方} 程 )

微分方程的基本概念

一般地 , n 阶常微分方程的形式是的阶 .

分类

或

(6)

,

0  0



s t

— 使方程成为恒等式的函数 .

通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程

) 1 0(

) 0 1 0 (

0 0

0) , ( ) , , ( )

(x  y y x  y y ⁿ^ x  y ⁿ^

y 

— 确定通解中任意常数的条件 n 阶方程的初始条件 ( 或初值条件 ). :

的阶数相同特解 .

1 2



y x ^引例 ² ^d_d _t^s _t_₀  20 4

.

2 0

2

d

d  

t

x s

x

y 2

d

d  引例 1

C x

y  ²  s  0.2t²  C₁t  C₂ 通解 :

2 2

微分方程的解

— 不含任意常数的解 , 定解条件

其图形称为积分曲线 .

(7)

例 1. 验证函数是微分方程

t k C

x  ₁ cos  ₂ sin

2 2

d d

t

x 的通解 ,

0 A ,

x _t_  0

d 0

d t t  

x 的特解

. 解 : ₂

2

d d

t

x  C₂k ² sin kt ) sin

cos

( ₁ ₂

2 C kt C kt

k 



  k ²x

这说明 x  C₁ coskt  C₂ sin kt _{是方程的解} . 是两个独立的任意常数

2 ,

1 ,C C

) ,

(C₁ C₂为常数

t k k

C₁ ² cos





2  0

 k x

利用初始条件易得 : C₁  A, _{故所求特解为} t

k A

x  cos

,

2  0 C

故它是方程的通解 . 并求满足初始条件

(8)

求所满足的微分方程 .

例 2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q

P

Q x

y

O ^x

解 : 如图所示 ,



 y

Y  y1

) (X  x

令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标 y

y x

X    ,

x y

y

x    

 _即 yy  2x  0

点 P(x, y) 处的法线方程为且线段 PQ 被 y 轴平分 ,

思考与练习

P298 1 ; 2

(3),(4);

3

^{(2) ;}

4

(2),(3) ;