第二学期总复习 第二学期总复习

第二学期总复习

第二学期总复习

向量代数与空间解析几何 向量代数与空间解析几何

（一）向量代数

（二）空间解析几何

1、向量的概念

_设

模：

单位向量：

{

x y z

}

xi yj zk aG = , , = + +

2 2

| 2

| aG = x + y + z

{

^cos

^α

^,cos

^β

^,cos

^γ }

|

|

0 = =

a a aG

G G

（一）向量代数

2 2

cos 2

z y

x

x

+

= +

α

cos 2 2 2

z y

x

y

+

= +

β

2 2

cos 2

z y

x

z

+

= +

γ

方向余弦：

1 cos

cos

cos

²

α +

²

β +

²

γ =

2、向量的运算

设 ^{aG =}

{

^a₁^,a₂^,a₃

}

^{bG =}

{

^b₁^,b₂^,b₃

}

^{cG =}

{

^c₁^,c₂^,c₃

}

加法： aG + bG =

{

a₁ + b₁,a₂ + b₂,a₃ + b₃

}

数乘：

λ

aG =

{ λ

a₁,

λ

a₂,

λ

a₃

}

点乘： aG bG aG bG aG bG = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ ,

cos

|

||

=|

⋅

3 2

1

3 2

1

b b

b

a a

a

k j

i b

a

G G

G G × G = 坐标表示：

叉乘：模：| ^aG × ^bG |=| ^aG || ^bG | sin ^aG,^bG

方向：垂直于 aG , bG , 并且 aG , bG , aG × bG 成右手系

几何意义：

面积。

为邻边的平行四边形的 表示以 a b

b

aG G G G

,

|

| ×

混合积：

(

^aG,bG,cG

) ^{= ( a G × b G ) ⋅ c G}

3 2

1

3 2

1

3 2

1

c c

c

b b

b

a a

a

=

(

^aG,bG,cG

) (

^{= bG,cG,aG}

) (

^{= cG,aG,bG}

)

^,

(

^aG,bG,cG

) (

^{= − bG,aG,cG}

)

几何意义：

(

a^G,b^G,c^G

)

表示以 a^G,b^G,c^G为棱的平行六面体的体 积。

b

a^G⊥^G a^G ⋅ b^G = 0 a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = 0

b

a G G

// a^G × b^G = 0

3 3 2

2 1

1

b a b

a b

a = =

共面 c

b

a^G, ^G, ^G

(

^aG,bG,cG

)

^{= 0}

1、平面

[1] 点法式 A(x − x₀) + B( y − y₀) + C(z − z₀) = 0 [2] 一般式

Ax + By + Cz + D = 0

= 1 +

+ c

z b

y a

[3] 平面的截距式方程 x

（二）空间解析几何

2、空间直线

⎩⎨

⎧

= +

+ +

= +

+ +

0 : 0

2 2

2 2

1 1

1 1

D z

C y

B x

A

D z

C y

B x

L A [1] 一般方程

p z z

n y y

m x

x

_{0 0}

−

₀

− =

− =

[2] 对称式方程

[3] 参数方程

⎪

⎪ ⎨

⎧

+

=

+

=

nt y

y

mt x

x

0 0

3、过直线的平面束

的平面束方程为：

⎩⎨

⎧

= +

+ +

= +

+ +

0 : 0

2 2

2 2

2

1 1

1 1

1

D z

C y

B x

A

D z

C y

B x

L A

： 过直线

π

：

π

0 )

( _{2 2 2 2}

1 1

1

1x + B y + C z + D + A x + B y + C z + D =

A

λ

2 这个平面.

注意：不包括

π

(

_{2 1}

) (

² _{2 1}

) (

² _{2 1}

)

²

2

1

M x x y y z z

M = − + − + −

两点间距离公式:

4 、距离

点

P

₀

( x

₀

, y

₀

, z

₀

)

_到平面

Ax

+

By

+

Cz

+

D

=

0

_的距离为 点到平面距离公式

|.

|

2 2

2

0 0

0

C B

A

D Cz

By d Ax

+ +

+ +

= +

到直线 点 ^M₀^(x₀^{, y}₀^{, z}₀⁾

的距离为

p z z

n y y

m x

L : x − ¹ = − ¹ = − ¹ 点到直线的距离公式

s

s M

d M ×

= ^{0 1}

已知两直线 ^L₁ ^: 过点 ^P₁ ，方向向量为 ^v₁ ^;

则

;

: _{2 2}

2 P v

L 过点 ，方向向量为 共面

与 ₂

1 L

L ⇔

异面 与 ₂

1 L

L ⇔

0 )

( _{1 2}

2

1P ⋅ v × v =

P G G

0 )

( _{1 2}

2

1P ⋅ v × v ≠

P G G

，则它们之间的距离为 异面

与 若 ^L₁ ^L₂

|

|

| ) (

|

2 1

2 1

2 1

v v

v v

P

d P G G

G G

×

×

= ⋅

异面直线之间的距离公式

5 、夹角

1 1 : nG Π

2 2 : nG Π

两向量之间的夹角

|

||

, |

cos a b

b b a

a G G

G G G G = ⋅

两平面之间的夹角

|

||

|

| , |

cos

2 1

2 1

2

1 n n

n n G G

G G ⋅

= Π

Π

直线与平面之间的夹角

nG Π :v L G

:

|

||

|

| , |

sin v n

n L Gv G

G G ⋅

= Π

两直线之间的夹角 ^{L1 : v1} G

2 2 : v L G

|

||

|

| , |

cos

2 1

2 1

2

1 v v

v L v

L G

G G ⋅

=

6、二次曲面

[1] 柱面

母线平行于

z

_{轴，准线为：}

⎩⎨

⎧

=

= 0

0 )

, (

z y x

F 的柱面方 程为：F(x, y) = 0

[2] 旋转曲面

0 )

, ( 0

0 )

, : (

2

2 + =

±

⎩⎨

⎧

=

=

z y

x F z x

y x L F

： 曲面方程为

轴旋转一周所成的旋转 绕

曲线

[3] 二次曲面

（2）椭球面 ₂

1

2 2

2 2

2

+ + =

c z b

y a

x

（1）球面 ^{(x − x0)2 + ( y − y0)2 + (z − z0)2 = R2}

（3）单叶双曲面 2 ¹ 2

2 2 2

2 + − =

c z b

y a

x

（4）双叶双曲面 ₂ 1

2 2

2 2

2 + − = −

c z b

y a

x

b z y a

x₂² + ₂² =

（5）椭圆抛物面

b z y a

x₂² − ₂² =

（6）双曲抛物面

2 2

2 y z

x + =

（7）二次锥面

7、空间曲线在坐标面上的投影

⎩ ⎨

⎧

=

= 0 )

, , (

0 )

, , (

z y x G

z y x F

消去变量 z 后得：

曲线关于

xoy

的投影柱面 设空间曲线的一般方程：

⎩ ⎨

⎧

=

= 0

0 )

, ( z

y x

空间曲线在

xoy

面上的投影曲线

H

0 )

,

(x y = H

多元函数微分学 多元函数微分学

（一）极限与连续

（二）偏导数和全微分

（三）方向导数和梯度

（四）极值

（五）几何应用

（一）极限定义的说明

1、

f x y A

y y

x

x =

→→

( , ) lim

0 0

存在是指：(x, y)沿任何路 径趋于(x₀, y₀)时，函数的极限都存在。

2、求二元函数极限的方法：

（1）利用定义及性质（夹逼准则；无穷小量 乘有界变量仍为无穷小量）；

（2）利用一元函数的两个特殊极限及等价无 穷小代换；

（3）利用极坐标变换化成一元函数的极限。

3、确定极限不存在的方法：

（1）找两条不同路径，使

( x , y )

沿这两条路径 趋向于

( x

₀

, y

₀

)

时，

f ( x , y )

的极限都存在，但不 相等；

（2）找一条特殊路径，使

( x , y )

沿此路径趋向 于

( x

₀

, y

₀

)

时，

f ( x , y )

的极限不存在。

（二）多元函数连续、可导、可微的关系

函数可微 函数连续

偏导数连续

函数可导

方向导数存在

证明二元函数不可微的方法

要证明z = f (x, y)在(x₀, y₀)不可微，只需求极限：

2 2

0 0

0 0

0 0

) ,

( )

, lim (

y x

y y

x f

x y

x f

z _{x y}

y

x Δ + Δ

Δ

− Δ

− Δ

→ Δ → Δ

若此极限存在且等于 0，则z = f (x, y)在(x₀, y₀)可 微，否则z = f (x, y)在( x₀, y₀)不可微，其中

) ,

( )

,

(x x y y f x y

f

z = + Δ + Δ −

Δ

1、全微分定义: 设 z = f ( x, y)

=

Δz f_x( x, y)Δx + f_y(x, y)Δ y

= z

d

^f_x^{(x, y)dx + f}_y^{(x, y)d y}

2

2 ( )

)

(Δx + Δy

ρ

=

) (

ρ

+ o

2 、求偏导数

1、复合函数微分法（链式法则）

2、隐函数微分法（公式）

3、利用全微分求偏导数

3、方向导数和梯度

（1）方向导数：u = f (x, y,z)在M₀(x₀, y₀, z₀)沿

{

cosα,cosβ ,cosγ

}

= lG

的方向导数为：

γ β

α ^{cos cos}

cos

0 0 0

0 M M M

M z

f y

f x

f l

f

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

∂

∂G

（2）梯度：u = f (x, y,z)在M₀(x₀, y₀,z₀)的梯度为：

0

0

, ,

M

M

z

f y

f x

gradu f

⎭ ⎬

⎫

⎩ ⎨

⎧

∂

∂

∂

∂

∂

= ∂

函数沿梯度方向的方向导数最大，其模为方向 导数的最大值.

（三）多元函数微分法的应用

（三）多元函数微分法的应用

1、在几何中的应用

求曲线的切线及法平面 (关键: 抓住切向量) 求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量) 空间曲线的切线与法平面

).

( ),

( ),

( :

) 1

( Γ x = x t y = y t z = z t

{

^{x′(t), y′(t),z′(t)}

}

±

τ

^G =

切向量

0, )

, , (

0 )

, , : (

) 2

( ⎩⎨⎧

= Γ =

z y x G

z y x

F 切向量

z y

x

z y

x

G G

G

F F

F

k j

i

±

τ

^G =

曲面的切平面与法线

. 0 )

, , ( :

) 1

(

π

F x y z =

{

^F_x ^F_y ^F_z

}

nG = ± , , 法向量

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

) , (

) , (

) , ( :

) 2 (

v u z z

v u y y

v u x x

π

v v

v

u u

u

z y

x

z y

x

k j

i nK = ± 法向量

2、极值

1、必要条件：极值点是稳定点。

2、充分条件：若 z = f (x, y), f_x(x₀, y₀) = 0, ,

0 )

,

(x₀ y₀ =

f_y 令：f_xx(x₀, y₀) = A, ,

) ,

(x₀ y₀ B

f_xy = f_yy(x₀, y₀) = C, 则

在点

( x

₀

, y

₀

)

处是否取得极值的条件如下：

（1）

AC − B

²

> 0

_{时有极值，}

当 A < 0时有极大值， 当 A > 0时有极小值；

（2）

AC − B

²

< 0

_{时没有极值；}

（3）

AC − B

²

= 0

_{时可能有极值.}

) , (x y f

3、求函数z = f (x, y)极值的一般步骤：

第一步： 解方程组

f

_x

( x , y ) = 0 , f

_y

( x , y ) = 0

求出实数解，得驻点.

第二步：对于每一个驻点

( x

₀

, y

₀

)

_，

求出二阶偏导数的值 A、B、C . 第三步：定出

AC − B

²_的符号，

再判定是否是极值.

4、求条件极值的一般步骤：

目标函数：u = f ( x, y, z)， 约束条件：ϕ( x, y,z) = 0

（1）构造函数

) , , ( )

, , ( )

, , ,

(x y z f x y z x y z

F λ = + λϕ ，

（2）解方程

= 0

Fx ，F_y = 0，F_z = 0，F_λ = 0

解出 x, y,z,λ ，其中 x, y, z就是可能的极值点的 坐标（即条件极值的稳定点）。

（3）判定此稳定点是否为条件极值的极值点。

重积分 重积分

（一）二重积分

（二）三重积分

（三）重积分的应用

二重积分的定义：

二重积分的性质：

和式的极限

（一）二重积分

（一）二重积分

几何意义：曲顶柱体的体积 V f x y dσ

D

∫∫

= ( , ) 物理意义：平面薄片的质量 m μ x y dσ

D

∫∫

= ( , ) 1、二重积分的概念：

1. 如果 D 关于 y 轴对称，则

(1)若 f (x , y) 关于 x 是奇函数，则

I

= 0；

(2)若 f (x , y) 关于 x 是偶函数，则

I f x y dxdy

D

∫∫

=

1

) , ( 2

2. 如果 D 关于 x 轴对称，则

(1)若 f (x , y) 关于 y 是奇函数，则

I

= 0；

(2)若 f (x , y) 关于 y 是偶函数，则

I f x y dxdy

D

∫∫

=

1

) , ( 2

关于二重积分的奇偶对称性：

轮换对称性：若平面有界闭区域 D 关于直线 y = x 对称，则

∫∫ f ⁽ x ^, y ⁾ d σ

⁼

∫∫ f ⁽ y ^, x ⁾ d σ

2 、二重积分的计算

（1）二重积分在直角坐标下的计算公式

（在积分中要正确选择积分次序）

. )

, ( )

,

(

^{( )}

) (

2

∫∫ ⁼ ∫ ∫

1

D

b a

x

x

f x y dy

dx d

y x

f

^ϕ

σ

ϕ

. )

, ( )

,

(

^{( )}

) (

2

∫∫ ⁼ ∫ ∫

1

D

d c

y

y

f x y dx

dy d

y x

f

^ϕ

σ

ϕ

［X－型］

［Y－型］

（2）二重积分在极坐标系下的计算公式

. )

sin ,

cos (

) ,

( ∫∫

∫∫

⁼

D D

rdrd r

r f dxdy

y x

f θ θ θ

注意利用对称性化简计算

1、三重积分的概念 三重积分的性质：

和式的极限

（二）三重积分

（二）三重积分

Ω

∫∫∫

=

Ω

dv 的体积；

三重积分的定义：

奇偶对称性：若空间区域^Ω被^xoy平面（或 ^yoz平面 ， zox平面）分成对称的两块 Ω₁，Ω₂。

（ii）若 f (x, y, z)关于z(或 x，或 y)是奇函数，则：

（i）若 f (x, y, z)关于z(或 x，或 y)是偶函数，则：

∫∫∫

∫∫∫

Ω Ω

=

1

) , , ( 2

) , ,

(x y z dv f x y z dv

f

∫∫∫

Ω

=

2

) , , (

2 f x y z dv

0 )

, ,

( =

∫∫∫

^{f x y z dv}

dv z

x y f dv

z y x

f ∫∫∫

∫∫∫

Ω Ω

=

( , , ) )

, , (

"

"

=

轮换对称性：若空间区域 Ω 关于直线 x=y=z 对

称，那么被积函数 f ( x, y, z) 中的变量 x, y, z 无论 怎样互换，积分值不会改变。即

dv y

z x f

dv x

z y

f ∫∫∫

∫∫∫

Ω Ω

=

=

( , , ) ( , , )

2、三重积分的计算方法

方法1：“先单后重”

方法2：“先重后单”

∫

∫∫

= ^{( , )}

) , (

2

1

d ) , , ( d

d ^{z x y}

y x z

D x y f x y z z

∫∫∫

Ω f (x, y,z)dv

∫∫

∫

=

DZ

b

ad z f ( x, y,z)dxd y

∫∫∫

Ω f (x, y,z)dv

注意利用对称性化简计算

（1）三重积分在直角坐标下的计算公式

∫∫∫

Ω

dxdydz z

y x

f ( , , )

∫∫∫

( cos , sin , ) .

Ω

= f r

θ

r

θ

z rdrd

θ

dz

（2）三重积分在柱坐标下的计算公式

（3）三重积分在直角坐标下的计算公式

∫∫∫

Ω

dxdydz = z

y x

f ( , , )

∫∫∫

Ω

θ ϕ ϕ

ϕ θ

ϕ θ

ϕ

r r r drd d

r

f ( sin cos , sin sin , cos ) ² sin

(三)、重积分计算的基本方法小结

1. 选择合适的坐标系；

2. 选择易计算的积分次序；

图示法

列不等式法 3. 掌握确定积分限的方法：

分块积分法 利用对称性 4. 利用奇偶对称性和轮换对称性简化计算；

6. 消去被积函数绝对值符号 7. 利用重积分换元公式

5. 利用重心公式简化计算；

（四）重积分的应用

(1) 曲顶主体的体积 ⁼

∫∫

D

dxdy y

x f

V ( , ) .

(2) 平面区域的面积 ⁼

∫∫

D

dxdy

S .

(3) 空间区域的体积

∫∫∫

Ω

= dxdydz V

S的面积为

; 1

2 2

y dxdy z

x A z

D

∫∫

xy ^{+ ⎜}_⎝^⎛ _∂^{∂ ⎟}_⎠^{⎞ + ⎜}_⎝^⎛ _∂^{∂ ⎟}_⎠^⎞

=

(4) 曲面面积 ^{S : z = f (x, y)}

) , , (

) , (

∫∫

=

∫∫

D D

d y x

d y x x

x ρ σ

σ ρ

) . , (

) , (

∫∫

=

∫∫

D D

d y x

d y x y

y ρ σ

σ ρ

平面薄片

D

_{的面密度为}

ρ ( x , y )

_{，则重心为：}

(5) 重心

空间物体Ω的密度为ρ(x, y, z)_{，则重心为：}

∫∫∫

.

Ω

= dv

M ρ

其中 1 ,

∫∫∫

Ω

= x dv

x M ρ ¹

∫∫∫

_,

Ω

= y dv

y M ρ

1 .

∫∫∫

Ω

= z dv

z M ρ

, )

,

2

(

∫∫

=

D

x

y x y d

I ρ σ

. )

,

2

(

∫∫

=

D

y

x x y d

I ρ σ

平面薄片

D

_{的面密度为}

ρ ( x , y )

_{，则它对于}

x

轴、

y

轴和原点的转动惯量分别为：

(6) 转动惯量

. )

, ( )

(

^{2 2}

0

⁼ ∫∫ ⁺

D

d y x y

x

I ρ σ

空间物体Ω体密度为ρ(x, y,z)_{，则该物体对} 坐标轴及原点的转动惯量为

, )

, , ( )

( ^{2 2}

∫∫∫

Ω

+

= y z x y z dv

I_x ρ

, )

, , ( )

( ^{2 2}

∫∫∫

Ω

+

= z x x y z dv

I_y ρ

, )

, , ( )

( ^{2 2}

∫∫∫

Ω

+

= x y x y z dv

I_z ρ

. )

, , ( )

( ^{2 2 2}

∫∫∫

Ω

+ +

= x y z x y z dv

I_o ρ

物体占有空间区域 Ω，体密度ρ(x, y, z)_，区域 Ω外有一质量为 m₀的质点P₀(x₀, y₀, z₀)，则物体对 质点P₀的引力为: F = {F_x , F_y, F_z}

(7) 引力

r dV

x x

z y x F_x

∫∫∫

km

Ω

= ⁰ρ( , ,₃ )( − ⁰) r dV

y y

z y x F_y

∫∫∫

km

Ω

= ⁰ρ( , ,₃ )( − ⁰) r dV

z z

z y x F_z

∫∫∫

km

Ω

= ⁰ρ( , ₃, )( − ⁰)

其中：k为引力常数，r = (x − x₀)² + ( y − y₀)² + (z − z₀)²

（一）曲线积分与曲面积分

（二）各种积分之间的联系

（三）场论初步

曲线积分与曲面积分

曲线积分与曲面积分

曲 线 积 分

第一类曲线积分 第二类曲线积分

定

义

∫ ∑

→ =

λ ξ η Δ

= ⁿ

i

i i

L f x y ds f i s

0 1 ( , )

lim )

,

(

∫

LP(x, y)dx⁺Q(x, y)dy

] )

, ( )

, ( [ lim

0 1 i i i

n

i

i i

i x Q y

P ξ η Δ + ξ η Δ

=

∑

→ = λ

联

系 Pdx Qdy P Q ds

L

L

∫

( cosα cosβ)

∫

^{+ = +}

计

算

∫

∫

β

α ϕ ψ ϕ′ +ψ′

= f dt

ds y x

L f

2

] 2

, [

) , (

与方向无关 ^{(α < β)}

∫

∫

β

α ϕ ψ ϕ′+ ϕ ψ ψ′

=

+

dt Q

P

Qdy

LPdx

] ) , ( )

, ( [

与方向有关

（一）第一类曲线积分的计算

，则 的参数方程为

、 ( )

), (

),

1 (

α β

ψ

ϕ

≤ ≤

⎩⎨

⎧

=

= t

t y

t L x

) (

) ( )

( )]

( ), ( [ )

,

( ^β

ϕ ψ ϕ

²

ψ

²

α β

α ′ + ′ <

=

∫

∫

L ^{f x y ds f t t t t dt ，}

2、L 的直角坐标方程 y = y(x) (a ≤ x ≤ b ) ,

∫

L f (x, y)ds ⁼

∫

a^b f (x, y(x)) 1 + y′²(x)dx 3、 L 的极坐标方程为： r = r⁽θ ^{) ,}

α

≤

θ

≤

β

，

∫

L f (x, y)ds ^β

θ θ θ θ θ θ θ

α f r r r r d

∫

^{+ ′}

= [ ( )cos , ( )sin ] ²( ) ²( ) 则

5、 若曲线L_的方程为^：

⎩⎨

⎧

=

= 0 )

, , (

0 )

, , (

z y x G

z y x

F ，则需化成参数 方程，再进一步用公式求。

) (

).

( ),

( ),

(

: x =

ϕ

t y =

ψ

t z =

ω

t

α

≤ t ≤

β

L

) (

) ( )

( )

( )]

( ), ( ), ( [

) , , (

2 2

2

β α

ω ψ

ϕ ω

ψ

β

ϕ

α

<

+ ′ + ′

=

∫

′

∫

Γ

dt t t

t t

t t

f

ds z

y x f

4、L 为空间曲线

∫

L P(x, y)dx ⁺ Q(x, y)dy

{

^{P t t Q t t}

}

^t

b

a [ ( ), ( )] [ ( ), ( )] d

∫

⁺

=

ϕ ψ ϕ

^′(t)

ϕ ψ ψ

^′(t) 1、 对有向光滑弧

2、对有向光滑弧 L : y =

ϕ

(x) , x : a → b

{

P x x Q x x

}

x

b

a [ , ( )] [ , ( )] d

∫

⁺

=

ϕ ϕ ϕ

^{′( x)}

∫

L P( x, y)dx ⁺ Q(x, y)d y

), (

) : (

⎩⎨

⎧

=

=

t y

t L x

ψ

ϕ

t : a → b

（二）第二类曲线积分的计算