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中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

第 第 7 7 章 多元函数积分 章 多元函数积分 学 学

高等数学 A

7.2 7.2 曲线曲面积分 曲线曲面积分

7.2.8 场论初步公式

7.2.8 场论初步

一、场的概念 二、通量与散度 三、 环流量与旋度 四、向量微分算子 内容小结

场论 初步

曲线积分和曲面积分以及相关的定理，在电 磁学、流体力学、理论力学和理论物理等分支中，

有着广泛的应用。

场是物理里面最重要的概念之一，比如我们通 常所说的引力场、磁力场和温度场等等，如撇开具 体的物理含义，我们可从数学的角度来定义和研究 场。

1 、定义：场是发生物理现象的空间部分。像我们 熟悉的重力场、将要讨论的电磁场等。

２、数量场和向量场

一、场的概念

中的每一点 , 一区域

若在全空间或者其中某

V

都有一个数量与之对应 , 则称在

V

上定义了一个 数量场 ; 数量函数

f

(

x

,

y

,

z

) .

中的每一点 ,

若在

V

都有一个向量与之对应 , 上定义了一个

则称在

V

向量场 ; 向量函数 .

)) ,

, ( ),

, , ( ),

, , ( ( )

, ,

(

x y z P x y z Q x y z R x y z

F 

３、不定常场和定常场

如果场中每一点所对应的量随时间变 化，这样的场称为不定常场可不稳定场．

　　如果场中每一点所对应的量不随时间变化

，这样的场称为定常场或稳定场；

４、定常的数量场相当于一个空间区域及在

上定义的数量函数

u u x y z  ( , , )

定常的向量场相当于一个空间区域及在 上定义的向量函数

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

A A x y z     P x y z i Q x y z j R x y z k     

二、通量与散度

引例 . 设稳定流动的不可压缩流体的密度为 1, 速度场为 k

z y x R j

z y x Q i

z y x P z

y x

v( , , )  ( , , )  ( , , )  ( , , ) 理意义可知 ,

设 为场中任一有向曲面 ,



_ ^{ }



 P d y d z Q d z d x Rdx d y

单位时间通过曲面 的流量为

则由对坐标的曲面积分的物

由两类曲面积分的关系 , 流量还可表示为

 



_ ^{ }



 Pcos Q cos  Rcos d S



_ ^

 v nd S



若 为方向向外的闭曲面 ,



_ ^{ }



 P d y d z Qd z d x Rdx d y

当 > 0 时 ,说明流入 的流体质量少于

当 < 0 时 说明流入,  的流体质量多于流出的 ,

则单位时间通过 的流量为

当 = 0 时 说明流入与流出,  的流体质量相等 . n



流出的 , 表明 内有泉 ;

表明

 内有洞 ;

根据高斯公式 , 流量也可表为

z y

z x R y

Q x

P d d d



_^_^{ }_ ^{ }_ ^{ }_ ^_^





n

③

方向向外的任一闭曲面 , 记 所围域为 ,

设 是包含点 M 且 为了揭示场内任意点 M 处的特性 ,

在③式两边同除以 的体积 V, 并令 以 M 任意方式缩小至点 M (记作  M ),则有

V

M





lim x y z

z R y

Q x

P V

M 1 d d d

lim_



_

 



 







 



 



 

) , ,

lim (





 



 







 



 



 



 z

R y

Q x

P

M

 

_M

z R y

Q x

P



 



 



 

此式反应了流速场在点 M 的特点其值为正: , 负或 0, 分别反映在该点有流体涌出 , 吸入 , 或没有任何变化 .

) )

, ,

((    

定义 : 设有向量场

k z y x R j

z y x Q i

z y x P z

y x

A( , , )  ( , , )  ( , , )  ( , , )

其中 P, Q, R 具有连续一阶偏导数 ,  是场内的一片有向 曲面 , 其单位法向量 n, 则称



_ ^{A nd S 为向量场 A 通过}

有向曲面  的通量 ( 流量 ) . 在场中点 M(x, y, z) 处

称为向量场 A 在点 M 的散度 .

记作 div A z

R y

Q x

P



 



 





0

div A  _{表明该点处有正源} , 0

div A  _{表明该点处有负源} , 0

div A  _{表明该点处无源} ,

散度绝对值的大小反映了源的强度 . 0

div A 

若向量场 A 处处有 , 则称 A 为无源场 . 例如 , 匀速场 v  (v_x,v_y ,v_z ) (其中v_x,v_y ,v_z 为常数),

0 divv  故它是无源场 .

说明 : 由引例可知 , 散度是通量对体积的变化率 , 且

* 例

5. 置于原点 , 电量为 q 的点电荷产生的场强为 r r

E  q₃ .

div E 求

解 : 



 







  ₃ r

y

y 



 







  ₃ r

z z



 



 

 3

5

2 2

r

x q r

5

2

2 3

r

y r 

 ² ₅3 ²

r

z r 



 0



 









r3

x

x 

) , ,

3 (x y z r

 q (r  0)

计算结果与仅原点有点电荷的事实相符 . )

0 (r 



 q E

div

三、 环流量与旋度

斯托克斯公式

y x

x z

z

y ^P_z ^R_x ^Q_x ^P_y

z Q y

R )d d ( )d d ( ) d d

(^_ ^_ ^_ ^_ ^_ ^_

     





_ ^{ }

 P d x Qd y Rd z 设曲面  的法向量为

曲线 的单位切向量为 则斯托克斯公式可写为

 

^R_y ^Q_z



^cos



^_^P_z ^_^R_x



^{cos }



^_^Q_x ^_^P_y



^cos

^

^{d S}

 



     





_ ^{ }

 (P cos Q cos  Rcos )d s ) cos ,

cos ,

(cos  

 n

) cos ,

cos ,

(cos  

 

令 A  (P, Q, R), 引进一个向量

A rot



^(_^R_y ^{ }_^Q_z ^{), (}_^P_z ^{ }_^R_x ^{), (}_^Q_x ^{ }_^P_y⁾



记作

向量 rot A 称为向量场 A 的

R Q

P

k j

i

z y

x 







称为向量场 A 定义 :



_ Pd x ^ Q d y ^ R d z ^



_ A^ d s

沿有向闭曲线 的环流量 .

s A

S n

A d d

rot





_ ^{ } _ ^

或



_ (rot A)_n d S ^



_ A^ d s ^① 于是得斯托克斯公式的向量形式 :

旋度 .

o z

x

y l

设某刚体绕定轴 l 转动 , M 为刚体上任一 点 , 建立坐标系如图 ,

M 则

) , ,

(x y z r 

角速度为  ,

r ),

, 0 , 0

( 

 

点 M 的线速度为 r

v   

 v rot

z y

x

k j

i

 0

 0  ( y,  x, 0)

0 x

y

k j

i

z y

x 



 ^

 

  (0, 0, 2)  2

( 此即“旋度”一词的来源 )

旋度的力学意义 :

向量场 A 产生的旋度场

穿过  的通量 _注意  与  的方向形成右手系 !

s A

S

A)_n d d

(rot





_ ^ _ ^

为向量场 A 沿

 的环流量 斯托克斯公式①的物理意义 :

例 4

. 求电场强度 r r E q

 3

z y

x

k j

i

E  _^ _^ _^ rot

的旋度 .

解 :  (0, 0, 0) ( 除原点外 )

这说明 , 在除点电荷所在原点外 , 整个电场无旋 .

r3

x q

r3

y q

r3

z q

z y

x

k j

i

A  _^ _^ _^ rot

的外法向量 ,计算

解 :  (0, 0 ,1)

S I ^



_cos d

  x y

y

Dx d d 2



  8

3 2

2y x z

, 4 : ²  ²  ² 

 x y z

例 5.

设 A  (2y , 3x , z²),

. d rot A n S I 



_ 

) cos ,

cos ,

(cos  

 n

为 n

* 四、向量微分算子

定义向量微分算子 :

k j

i _{y z}

x 



  





它又称为▽ ( Nabla ) 算子 , 或哈密顿 ( Hamilton ) 算子 . ),

, , ( )

1

( 设u  u x y z 则

k j

i

u  _^u_x  _^u_y  _^u_z

  gradu

u u   

²   gradu

2 2 2

2 2

2

z u y

u x

u





  

  u

 A



, ) , , ( )

, , ( )

, , ( )

2

( A  P x y z i  Q x y z j  R x y z k 则

z R y

Q x

P 



  

  div A

 A



R Q

P

k j

i

z y

x 







S A

v

Ad



_n d



_^{  } _

A

 rot

高斯公式与斯托克斯公式可写成 :

s A

S

A )_n d d

(





_ ^{ } _ ^

内容小结

1. 通量与散度

设向量场 P, Q, R, 在域 G 内有一阶 连续

偏导数 , 则

向量场通过有向曲面  的通量为

G 内任意点处的散度为 ), ,

,

(P Q R A 

S n

A d



_ ^

z R y

Q x

A P



 



 



  div



^_x^u

^,

^_^u_y

^,

^_^u_z



2. 场论中的三个重要概念

设 u  u (x, y, z), A  (P, Q, R),

梯度 : gradu   u



_^_x ^, _^_y ^, _^_z



^,





z R y

Q x

P 





 

R Q

P

k j

i

z y

x 





 A

rot   A

 A

div   A

散度 :

旋度 :

则

( P Q R)

dV Pdydz Qdzdx Rdxdy

x y z

 

       

  

  

3. 高斯公式

y dxdy P

x dzdx Q

x R z

dydz P z

Q y

R ) ( ) ( )

( 

 



 



 



 



 

















 Pdx Qdy Rdz 斯托克斯公式

divAdV





^

{ , , }or

rotA dydz dzdx dxdy rotA ndS

 

 



^



^{ }

思考与练习

_设^{r  x2  y2  z2,} 则

. )

rad g

( rot

; )

rad g

(

div r  r 

提示 : gradr 

 

r z r

y r

x , ,

) ( r

x

x

r2

 r  x  ^x_r

3 ,

2 2

r x r 

 ( )

r y

y

3 2 2

r y r 

 )

( r z

z

3 2 2

r z r 



) 0 , 0 , 0

 ( 2r

 ) rad g

(

rot r

三式相加即得div(grad r)

rz r

y rx

z y

x

k j

i







0