第十五章 积分方程
积分方程论是泛函分析的一个重要分支，它是研究数学其他学科（例如偏微分方程边值 问题）和各种物理问题的一个重要数学工具。本章叙述线性积分方程，重点介绍弗雷德霍姆 积分方程的性质和解法；并简略地介绍了沃尔泰拉积分方程以及一些奇异积分方程；此外，
还扼要地叙述积分方程的逐次逼近法和预解核，并举例说明近似解法；最后考察了一个非线 性积分方程。
§1 积分方程一般概念与弗雷德霍姆方程 一. 积分方程一般概念
1. 积分方程的定义与分类
[线形积分方程] 在积分号下包含未知函数y(x)的方程 b ( , ) ( d)
x y x F x aK x y
(1) 称为积分方程。式中α (x),F(x)和K(x,ξ )是已知函数，λ ,a,b是常数，变量x和ξ 可取区间(a,b) 内的一切值；K(x,ξ )称为积分方程的核，F(x)称为自由项，λ 称为方程的参数。如果 K(x,ξ )关于x,ξ 是对称函数，就称方程(1)是具有对称核的积分方程；如果方程中的未知函数是一次
的，就称为线性积分方程，方程(1)就是线性积分方程的一般形式；如果F(x)≡ 0 ，就称方程 (1)为齐次积分方程，否则称为非齐次积分方程。
[一维弗雷德霍姆积分方程（Fr方程）]
第一类Fr方程
( , ) ( )d ( )
b
aK x y F x
第二类Fr方程
( ) ( ) b ( , ) ( )d
y x F x
a K x y 第三类Fr方程( ) ( ) ( ) b ( , ) ( )d
x y x F x aK x y
[n维弗雷德霍姆积分方程]
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( , ) ( )d
P y P F P DK P P y P P
称为n维弗雷德霍姆积分方程，式中D是n维空间中的区域，P,P1D，它们的坐标分别是 (x1,x2,,xn)和(x1,x2,,xn),(P)=(x1,x2,,xn),F(P)=F(x1,x2,xn)和K(P,P1)=K(x1,x2,,xn,
) , , , 2
1 x xn
x 是已知函数，f(P)是未知函数。
关于Fr方程的解法，一维和n(>1)维的情况完全类似，因此在以后的讨论中仅着重考虑
一维Fr方程。
[沃尔泰拉积分方程] 如果积分上限b改成变动上限，上面三类Fr方程分别称为第一、
第二、第三类沃尔泰拉积分方程。
由于第三类Fr方程当(x)在(a,b)内是正函数时，可以化成
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
, d
b a
F x K x
x y x y
x x
它是含有未知函数 (x)y(x),以
) ( ) (
) , (
x
x
K 为积分方程的核的第二类Fr方程。所以本章重点 研究一维第二类Fr方程。
2. 积分方程与微分方程之间的关系
某些积分方程可化为微分方程，也可从微分方程推导出积分方程。先来考虑二阶线性微 分方程的初值问题：
2 2
0 0
( ) ( ) ( )
( ) ( )
d d
d d
,
y y
A x B x y f x
x x
y y y y
（2）
若从方程(2)中解出 2 2 d d x
y，然后在区间(a,x)上对x求积分两次，利用初始条件，经过简单 的计算不难得出*，
x
a A x B A y
x
y( ) { () ( )[ () ()]} ()d x(x )f( )d [A( )y0 y0](x ) y0
a
令
) ( )]
( ) ( )[
( ) ,
(x x B A A
K
和
0 0
0( ) ( )d [ ( ) 0 ]( )
)
(x x f A y y x y
F
x 上式就可写为如下的形式:y(x) xK(x, )y( )d F(x)
a
(3) 这是一个第二类沃尔泰拉方程，核K是x的线性函数。例1 初值问题
0 ) 0 ( , 1 ) 0 (
) d (
d
2 2
y y
x f x y
y
(4) 变为积分方程
* 在计算过程中应用了公式
1 1
( ) d d ( ) ( ) d
( 1 ) !
x x x
n
a a a
n n
f x x x x f
n
（n≥ 2）当 f() f() fn1()0时成立。
y(x)
0x( x)y()d 1
0x( x)f()d (5) 反之，应用积分号下求导法则，微分两次就可把积分方程(3)化为微分方程(2)。在(3)及其 第一次求导的结果中令x=a,就得给定初始条件。在例1中，对(5)式求导，得出xy
0xy( )d
0xf( )d dd (6) 再求导一次得出原微分方程(4)，并从方程(6)和(5)给出初始条件
y(0)=1, y(0)0 对于边值问题，方法类似，先考虑一个简单的例子。
例2 从问题
0 ) ( , 0 ) 0 ( d 0 d
2 2
a y y
x y y
出发，积分两次，导出关系式
Cx y
x x
y( )
0x( ) ()d 从此立刻可知条件y(0)=0成立。从第二端点条件y(a)=0决定C：
0a(a)y()d Ca 所以有关系式
x
xa a ya y x
x a a x
y( ) 0 ( ) ()d ( ) ()d (7) 令
x a a
x
x x
a a x
K
), (
), ( )
, (
则方程(7)变为
y(x)
0aK(x,)y()d (8) 这是第二类Fr方程。要从这个积分方程回到微分方程，只需对方程(8)求导两次，就得到) ( )]
( ) ( ) ( d [
d
2 2
x y x
y x a x a xy x
y
在积分方程(7)中，令x=0和x=a,可以直接推出边值条件y(0)=y(a)=0。
注意：在这个例中，
1°
x K
在x=ξ 处不连续，并当x增加而过ξ 时有一跳跃-1。
2° K是x的一个线性函数，即满足 0
2
2
x
K ，且K 在端点x=0,x=a处等于零。
3° K(x,ξ )=K(ξ ,x),即核是对称的。
如果利用类似的方法，对更一般的具有齐次端点条件的二阶齐次方程的边值问题：
0 ) ( , 0 ) 0 (
d 0 d d
d
2 2
a y y
x By A y x
y
则除A=0外，可得在x=ξ 不连续的一个核。
二、格林函数及其物理意义
[格林函数] 在区间[a,b]上，考虑微分方程
Ly+Φ(x)=0 的边值问题，式中L是微分算子：
x q x p p x
x q x p
L
d d d d d
d d
d d
d
2 2
齐次边界条件为在端点x=a, x=b处，满足 0 d
d
x
y y
，其中α ,β 为常数。
为了得出这个问题解的形式，首先构造函数G,使对一给定数ξ ，
x x G
x x G G
), (
), (
2 1
并且满足条件：
(i) 函数G1和G2在它们的定义区间上满足LG=0,即当x<ξ 时,LG1=0;当x>ξ 时，LG2=0。
(ii) 函数G满足边界条件，即G1满足在x=a的边界条件，G2满足在x=b的边界条件。
(iii) 函数G在x=ξ 连续，即G1(ξ )=G2(ξ )。
(iv) G的导数以x=ξ 为一不连续点，其跳跃是
) ( 1
p ，即
( )
) 1 ( )
( 1
2
G p
G
可以证明，若以ξ 为参数的这个函数G存在，则原问题的解有如下的形式：
y b()G(x,)d
a (2) 例如G(x,ξ )可取
x x v Au
x v
x Au x
G
), ( ) 1 (
), ( ) 1 ( )
,
( (3)
式中A是由关系式
) ) (
( ) ( ) ( )
(
p u A
v v
u
决定的一个常数，u(x)是Ly=0满足在x=a处所给定的齐次边值条件的一个解，v(x)是在x=b 处满足边值条件的一个解。则G(x,ξ )显然满足条件(i)~(iv)。
此外，还可证明，对由(3)定义的G(x,),由关系式(2)确定的函数y满足微分方程(1)并且满 足u(x)在x=a与v(x)在x=b所规定的相同的齐次边界条件。
满足条件（i）~(iv)或由(3)式所定义的函数称为与微分表达式Ly和边界条件相联系的格
林函数。在许多物理问题中，这个函数具有简单的物理意义，将在下一段中说明。
[线性积分方程的一个典型实例] 考虑一条长为l的有弹性的弦，假定在平衡位置时，弦
的位置在Ox轴的线段Ol上。在点x施加单位力，于是弦的每一点 得到一个离差，在点处所产生的离差以G(x,)表示（图15.1）。函数G(x,) 为两点（x和）函数，在点x施加外力，在点计量离差，称G为影 响函数。
如果弦的两端固定在x轴上A,B两点，弦的张力为T0,则在点x
外处施加的单位力作用下，弦成图15.1所示的形状。根据虎克（Hooke）定律与力的平衡条 件，在点处有
l x T
x l
l x T l x x
G
), (
), ( ) , (
0 0
这就是弦的影响函数。
从能量守恒定律可导出G(x,)的互易原理：在点x处施加外力在点处产生的离差等于在 点处施加大小相同的力在点x处产生的离差，即
G(x,)=G(, x)
如果在弦上施加的力F是连续分布的，并设线性强度是p(),则作用于弦上点和+之 间的一小弦段的力就接近于p()。把引起弦变形的这些力元素相加，便得弦的形状
lG x p x
y( ) 0 ( ,) ()d
1° 设在某个力的作用下，弦成已知形状y=y(x),求定力分布强度p(),就得到含未知函数
p()的第一类Fr积分方程
y
0lG(x,)p()d (1)2° 设作用力随时间t改变，且在点的强度是
p()sin t ( >0) 则弦的运动是由方程
y=y(x)sin t 描写的周期运动。
设()为弦在点的线性密度，则在时刻t,点与+之间的小弦段除受力p()sin t的 作用外，还受惯性力
2
2 2
( ) d ( ) ( )
d
y y
t
sin t
的作用，则等式(1)可化为如下的形式：
( ) ( , ) ( )d ( )
0K x y F x
x
y
l (2) 式中F(x)
0lG(x,)p()dK(x,)=G(x,)(), =2
如果函数p()给定，那么F(x)也就给定，这样积分方程(2)就是确定函数y(x)的Fr方程。
注意，由于F(x)的定义，有
F(0)=F(l)=0
若密度()=是常数，而F(x)有二阶的连续导数，则方程(2)的解为 ) ( d ) ) ( d (
) ) ( ) (
(
0 2
0 0
2 y F x
l T l y x
l T
x x l
y l
x
x
即
( ) ( ) ( )d ( ) ( )d ( )
2 0
2
x F y
l l y cx
x l l
x c
y l
x
x
(3)式中
T0
c 把(3)式微分两次就得到
) ( ) ( )
(x 2cy x F x
y
另一方面，可以证明这个微分方程的任一在x=0及x=l处等于0的解是积分方程(2)的解。
三、 具有可分离核（退化核）的 Fr 方程
[可分离核（退化核）] 若核K(x,)可分解为如下的形式：
n
k
k
k x g
f x
K
1
) ( ) ( )
,
(
则称K(x,)为可分离核或称为退化核。不妨假定n个函数fk(x) (k=1,2,,n)在有关区间上是线 性无关的。
例如，如果核是关于x和的任一多项式，那么这个核就是退化核，核sin(x+)也是退化 核。
[具有可分离核的第二类Fr方程解法] 具有可分离核的第二类Fr方程
y(x) bK(x, )y( )d F(x)
a
(1) 即( ) ( )[ ( ) ( )d ] ( )
1
x F y
g x f x
y
n
k
b a k
k
(2) 的解法如下，首先设
b
a k
k g x y x x
c ( ) ( )d (k=1,2,,n) 则
n
k k
k f x
c x
F x y
1
) ( )
( )
(
于是给定积分方程(1)的一切解应取这个形式。因此问题归结为求出常数c1,c2,,cn。 再用gi乘(2)式两边且积分，令
b
a i j
ij g x f x x
a ( ) ( )d ，bi
abgi(x)F(x)dx（i=1,2,,n , j=1,2,,n）
则c1,c2,,cn满足方程组
i n
j j ij
i a c b
c
1
（i=1,2,,n）
即
n n n n n
n
n n n n
b c a c
a c a
b c a c
a c
a
b c a c
a c a
) 1
( ) 1
( ) 1
(
2 2 1 1
2 2
2 2 2 1
2 1
1 1
2 1 2 1
1 1
（3）
矩阵形式为
（IA）c=b
式中I为n阶单位矩阵，A=(aij),c= (c1,c2,,cn), b= (b1,b2,,bn)。这个方程组存在唯一解的充 分必要条件是：方程的系数行列式
=det（IA）0
如果F(x)0,则bi=0(i=1,2,n)，那末方程(3)为齐次方程组。因此,当0时，y(x)0是积 分方程(1)的平凡解（零解），且是唯一解。当=0时，至少有一个ci可以任意指定，其余的 cj可以求出，于是积分方程(1) 存在无穷多个解。
使=0的值称为特征值。齐次积分方程的任一非平凡解称为对应于积分方程的特征函 数。
如果对于的一个给定的特征值，可以从常数c1,c2,,cn中任意指定r个，那么可得到r 个线性无关的对应特征函数。
如果F(x)不恒为零,但与g1(x), g2(x), ,gn(x)正交，即bi=0 (i=1,2,n)。那末方程组(3)仍为 齐次的，以上的讨论也适用，除非这里积分方程的解也包含函数F(x)。这样平凡值 c1= c2==
cn=0导出解y=F(x)。对应于的特征值的解是F与特征函数的任意倍数之和。
最后，如果(3)式右边的bi至少有一个不为零，当行列式0时，方程组(3)存在唯一的非 平凡解，于是可得到积分方程(1)的唯一的非平凡解，当=0时，则方程(3)或者是不相容的，
这时积分方程(1)没有解；或者n个方程中至少有两个是相同的，这时积分方程(1)有无穷多个 解。
例 解积分方程
( ) 1(1 3 ) ( )d ( )
0 x y F x
x
y
(1) 解 可把这个方程改写为y(x)=(c13c2x)+F(x) (2) 式中
1
1 0y()d
c ，c2
01y()d 决定c1,c2的方程组是
1 2 0 1
1 2 0 1
d ) ( )
1 2 (
1
d ) 2 (
) 3 1 (
x x xF c
c
x x F c
c
(3) 其系数行列式为
) 4 4( 1 2 1
1 2
1 3
2
则积分方程(1)存在唯一解的条件是±2。由(3)解出c1,c2并代入(2)得到(1)的解。特别，若 F(x)=0, ±2,则唯一解是平凡解y(x)=0。数λ =±2为问题的特征值。
若λ =2，则方程组(3) 为
1 2 0 1
1 2 0 1
d ) ( 3
d ) ( 3
x x xF c
c
x x F c
c
这两个方程是不相容的，除非函数F(x)满足条件
0 d ) ( ) 1 (
1
0
x F x x这时两个方程相同。
若λ =2，则方程组(3) 为
1 2 0 1
1 2 0 1
d ) (
d ) 3 (
1
x x xF c
c
x x F c
c
这两个方程也是不相容的，除非函数F(x)满足条件 0 d ) ( ) 3 1 (
1
0
x F x x这时两个方程也是相同的。
现在具体讨论积分方程(1)的解。
1° 先考虑齐次方程（即F(x)=0）的情形。若±2，则唯一解是平凡解y(x)=0。
当λ =2时，代数方程组只给出一个条件c1=3c2。这时，解是 y(x)=c1(1-x)
式中c1=3λ c2=6c2是任意常数，1-x是对应于特征值λ =2的特征函数。
当λ =-2时，解是
y(x)=c2(1-3x)
式中c2=λ c1=-2c1是任意常数，1-3x是对应于λ =-2的特征函数。
方程(2)表明原积分方程(1)的任一解表示为如下形式：
y(x)=F(x)+c3(1-x)+c4(1-3x) 式中 ( )
2 3
2 1
3 c c
c ， (3 )
2 2 1
4 c c
c 。于是推出原积分方程(1)的任一解可以用特征函数的 某一线性组合与F(x)的和来表达。
2° 在非齐次的情形（即F(x)不恒等于零）下，若±2，则积分方程(1)存在唯一解。
当λ =2时，积分方程(1)没有解，除非在区间[0,1]上F(x)正交于λ =2所对应的特征函数 1-x*,即
0 d ) ( ) 1 (
1
0
x F x x在此条件下，再利用c1-3c2=
01F(x)dx,给出积分方程(1)的解。) 1 ( d ) ( 2 ) ( )
( 1 1
0F x x c x
x F x
y
式中c1=6c2是任意常数，因此，这时存在无穷多个解。
类似地，当λ =-2时，积分方程(1)没有解，除非在区间[0,1]上F(x)正交于1-3x,即
01(13x)F(x)dx0 这时存在如下的无穷多个解：) 3 1 ( )
3 ( ) 2 ( )
( 1 2
0F x dx c x
x F x
y
式中c2=-2c1是任意常数。
四 、希尔伯特-施密特的理论
当齐次Fr方程的核K(x,ξ )不可分离，特别，K(x,ξ )对于x>ξ 和x<ξ ,分别由不同的分 析表达式给定时，其特征值一般有无穷多个λ n(n=1,2,),每个特征值对应的特征函数除一个 乘数外是确定的；在例外的情形，一个给定的特征值k可以对应于两个或更多个独立的特征 函数。本段将介绍这种特征函数的某些性质。
[具有对称核的Fr方程的性质] 如果在实核中交换它的变量时，它本身的值不变，这个
核就叫做对称核。
1° 具有对称核的齐次Fr方程的特征函数系是正交的。
2° 具有实对称核的Fr方程的特征值都是实数。
注意，核不对称的Fr方程可以具有虚的特征值。
[希尔伯特施密特定理] 设Φ 为一平方可积函数，则形如
b
a K x d
x
f( ) ( ,) () 的函数f(x),可由对称核齐次Fr方程
b
a K x y d
x
y( ) ( ,) ()
在[a,b]上的特征函数y1(x), y2(x),的线性组合表达，如果特征函数有无穷多个，那末所得的 无穷级数在区间[a,b]上绝对且一致收敛。
[施密特公式] 考虑非齐次第二类Fr方程
b
a K x y d
x F x
y( ) ( ) ( ,) ()
* 在下一段会看到，这个情形是原积分方程中核K(x,ξ )=1-3xξ 的对称性的一个推论。
式中K(x,)是在定义区间上平方可积的对称核，并假定在正方形k0(a≤ x≤ b，a≤ ξ ≤ b）上
是两变量x,ξ 的连续函数,F(x)是已知的一致连续函数，y(x)是未知函数，而λ 是参数，则有施
密特公式
1
) ( )
( ) (
n
n n
n y x
x F F x
y （λ ≠λn，即λ 不是特征值） (1) 右边的级数是绝对且一致收敛的，式中Fn由下式决定：
ab nb
a n
n y x dx F x y x dx
F [ ( )]2 ( ) ( ) （n=1,2,） (2)
[核的展开定理] 一个对称核K(x,)可展开为级数
1
) ( ) (
n n
n n x y y
这个级数对任意固定的，有
( ) ( ) 0
) , ( l i m
2
1
y x y dx
x K
b a
m
n n
n n
m
[具有非对称核的积分方程] 设核K(x,)不是对称的，但可表为如下形式
K(x,)=r()G(x,)
式中r()在（a,b）内连续且不变号，而G(x,)是对称的，这时有以下性质：
1° 对应于不同特征值m和n的两个特征函数ym(x)和yn(x)在[a,b]上关于权函数r(x)是正
交的，即
0 ) ( ) ( )
(
abr x ym x yn x dx2° K(x,)的特征值都是实数。
3° 若非齐次第二类Fr方程有一个解，则这个解由(1)给出，并以权函数r(x)去乘(2)式两
边所包含的被积函数。
[具有埃尔米特核的积分方程] 设核K(x,)为一复核，如果
_________
) , ( ) ,
( x K x
K
则称K(x,)为埃尔米特核，式中K(x,)表示K(x,)的共轭复函数。具有埃尔米特核的积分方 程有以下性质：
1° 对应于不同特征值m和n的两个特征函数ym(x)和yn(x)在[a,b]上是按埃尔米特意义正
交的：
abym(x)yn(x)dx02° 在[a,b]上与埃尔米特核相联系的特征值都是实数。
3° 设特征函数按埃尔米特意义是标准化的：
abym x yn x dx mm nn, 1
, ) 0
( ) (
如果非齐次第二类Fr方程有一个解，那末这个解由(1)给出，并且(2)式改为
b
a n
b
a n n
n
n F y x y x dx y x F x dx
F ( ) ( ) ( ) ( ) （n=1,2,）
[具有反对称核的积分方程] 设K(x,)满足条件
K(,x)=K(x,)
则称K(x,)为反对称核，这时iK(x,)是埃尔米特核。因此，具有反对称核的积分方程
b
a K x y d
x F x
y( ) ( ) ( ,) () 如果以i代替，则得到具有埃尔米特核的积分方程
b
aiK x y d
x F x
y( ) ( ) ( ,) ()
由此可见，具有反对称核的积分方程必有特征值，而且都是纯虚数。
[伴随核与自伴随核] 设u(x)是一复核K(x,)(它不一定是埃尔米特核)对应于特征值的
一个特征函数，v(x)是核K(,x)对应于特征值的一个特征函数，若 ，则
abu(x)v(x)dx0这里K(,x)称为K(x,)的伴随核。如果K(,x)= K(x,)，那么K(x,)称为自伴随核，显然实对 称核与埃尔米特核都是自伴随核。
五、第二类 Fr 方程的逐次逼近法与诺伊曼级数解
[逐次逼近法] 在某种情形下，第二类Fr方程可用逐次逼近法来解。为此，设方程
y(x)F(x)
abK(x,)y()d (1) 的解可用的幂级数来表达：y(x)=y0(x)+y1(x)+y2(x)2+ (2)
如果级数(2)在区间[a,b]上关于x是一致收敛的，那末把它代入(1)中，可逐项积分，比较
的系数就得到确定yn(x)的递推公式
y0(x)=F(x), yn(x)
abK(x,)yn1()d (n=1,2,) (3)式中yn(x) (n=1,2,)都是连续函数。若 充分小，则级数(2)关于x绝对且一致收敛，于是级
数(2)是连续函数并且是积分方程(1)的解。
[叠核 预解核 诺伊曼级数解] 设K(x,)为核，经递推公式
K1(x,)=K(x,),Kn(x,)
abKn1(x,1)K(1,)d1 (n=2,3,4,) (4)产生的Kn(x,)称为已知核K(x,)的n次叠核。它满足下面公式
b
a p q
q
p x K x K d
K ( ,) ( ,1) (1,) 1 式中p,q为任意正整数。
由于F(x)和K(x,)分别在[a,b]上和k0(a≤ x≤ b，a≤ ξ ≤ b）上连续，所以各有极大值m 和M：
m x
F( ) ， |K(x,)|M 当 ( )
1 a b
M
时，级数
0
1( , )
n
n
n x
K 在k0内绝对且一致收敛，记作
0
1( , ) )
; , (
n
n
n x
K x
R (5) 如果用自由项F(x)来表达yn(x),则由(3),(4)推出
b
a n
n x K x F d
y ( ) ( ,) () 并把它代入级数(2)得到
0
1( , ) ( )
) ( ) (
n b a
n
n x F d
K x
F x
y (6)
因为级数(5)在k0内一致收敛，所以对[a,b]上任一固定值x,它在区间内关于一致收敛，故得 积分方程(1)的解
y(x)F(x)
abR(,;)F()d，) (
1 a b
M
(7) 式中不依赖于自由项F()的函数R(x, ;)称为核的（或Fr方程的）预解核，级数(5)称为诺伊 曼级数。
[存在性与唯一性定理] 如果把级数(5)改写为
0 0
1 1 1
2( , ) ( , ) ( , ) ( , )
) , ( ) , (
n n
b
a n
n n
nK x K x K x K d
x K x
R ;
由(5)上式化为
b
a K x R d
x K x
R( ,;) ( ,) ( ,1) (1,;) 1 改变符号可写为
b
a K x R y d
y x K y
x
R( , ;) ( , ) ( ,) (, ;)
因此，当把方程(1)中F(x)换为K(x,y)时，上式表明存在预解核R(看作两个变量x,y与参数的 函数)是方程(1)的唯一解。
例 举例说明预解核的实际算法。设积分方程(1)中 K(x,)=13x
由公式(4)算出它的各次叠核：
x d x x
x
K ( ) 3
2 1 3 )
3 1 )(
3 1 ( ) ,
( 1
0 1 1 1
2
) 3 1 4( ) 1
, ( ) , ( )
,
( 1
0 1 2 1 1
3 x K x K d x
K
所以 4
1 3
K K ，从此容易推出
4
2
n
n
K K （n≥ 3）,于是有
2 4
2 1
4 2 2 3
2
1 )
16 1 4
( 16 )
1 4
( K K
K K
K
R 即
] ) 1 ( 3 ) 2 (
) 3 1 [(
1 4 ) 1
; ,
(x 2 x x
R
( 2)
值得注意的是，由此式可以给出一切λ 值（λ =±2除外）的预解核，但相应的诺伊曼级数只 当 2时才收敛。
六、弗雷德霍姆的理论
[Fr方母] 预解核R(x,ξ ;λ )可以用关于λ 的两个幂级数之比来表达，这两个级数对一切
λ 值都是收敛的。
若预解核表成
) (
)
; , ) (
; ,
(
Dx x
R (1) 式中
( , )
! ) 2 , 1 ( ) , ( )
; ,
( 2
2
1
K x D x D x
x
D ! (2)
1 2 2
! 2
! 1 1 )
( c c (3) Δ(λ)称为Fr分母，它与变量x,ξ 无关。式中系数cn与函数Dn(x,ξ )可由下列递推公式逐次算出：
b
a K x x dx
c1 ( , ) , D1(x,)c1K(x,)
abK(x,1)K(1,)d1 c2
abD1(x,x)dx, D2(x,)c2K(x,)2
abK(x,1)D1(1,)d1 cn
abDn1(x,x)dx, Dn(x,)cnK(x,)n
abK(x,1)Dn1(1,)d1 那末方程
b
a K x y d
x F x
y( ) ( ) ( ,) () 的解可将（1）代入上段（7）式中得到，其形式为
b
a D x F d
x F x
y
( , ; ) ( ) )
) ( ( )
( （4）
当K(x,)是可分离时，这个结果与本节三中所得到的解一致，这时级数(2)与(3)都只包含
有限项。
更一般地，若级数(2)与(3)之比用关于的幂级数(由除法或其他方法)来表达，结果将化为 上段的(6)式的级数形式，而它只对充分小的( 1)值收敛;但是(4)中最后一项的分子和分 母的级数展开式对的一切值都收敛。
分母()只当取一特征值时等于零，在这个情形下，Fr方程或者无解或者有无穷多个解，
并且(4)不再成立。
[()的零点与Fr方程] 应用存在性与唯一性定理，有以下结论：
1° 若不是()的零点，则对任意的F(x),(4)式是Fr方程的唯一解。
2° 函数()的一切零点都是预解核的极点。
3° 若c是()的零点，则齐次方程
b
c a K x y d
x
y( ) ( ,) () 有非零解。
于是()的一切零点都是上面积分方程的特征值，就是说，这时齐次方程
y(x)
abK(x,)y()d (5) 有非零解。若不是()的零点，则由1o，非齐次Fr方程对任意的F(x)有唯一解，特别，这 时上面齐次方程只有零解，即若是()的零点，则它是特征值，若不是()的零点，则它不是特征值，于是得到
4° 积分方程的特征值都是()的零点。
5° 在平面的任何有限区域内只有有限个特征值。
[转置积分方程] 形如
y(x)G(x)
abK(,x)y()d (6) 的方程叫做Fr方程
b
a K x y d
x F x
y( ) ( ) ( ,) () 的转置积分方程，它的相应的齐次方程为
y(x)
abK(,x)y()d (7) 这个方程的核记作K0(x,)=K(, x) 转置积分方程具有以下性质：
1° 齐次方程(5)与它的转置方程(7)或同时仅有零解，或同时有非零解。
2° 齐次方程(5)与它的转置方程(7)有相同个数的线性无关的解。
3° 若是特征值，则非齐次Fr方程可解的充分必要条件是：自由项F(x)满足条件
0 ) ( )
(
abF x x式中(x)是转置方程的任何特征函数，即齐次方程(7)的任何解。若这个条件满足，则Fr方 程有无穷多个解，而一切这样的解取形式
r
j j
j x
c x
y x y
1
0( ) ( )
)
(
式中y0(x)为Fr方程的任意特解，1,2,r为方程(5)的r个非平凡的线性无关的解，c1,c2,,cr
为任意常数。
应当指出，上式结果与n个变量的n个线性代数方程组的关于解的存在和唯一性的对应
结果完全类似。
