2 多重积分、曲线积分与曲面积分 - Dr. Huang

(1)

§2 多重积分、曲线积分与曲面积分

一、多重积分

1. 二重积分

连续函数f(x,y)在有限可求积的平面区域Ω 内的二重积分

 

^



^ ^

   i j

j i j i y

x f x y x y

y x y x f

j i

) , ( lim

d d ) , (

0

|

| max

0

|

| max

式中x_i x_i_1x_i,y_j  y_j_1 y_j,

j

i



^{是对Ω 中的所有}⁽^xⁱ^,^yⁱ⁾^的下标^i，j^求和.

[特定区域内二重积分的计算公式]

积分区域Ω





y x y x

f( , )d d 计算公式（积分限应从小到大）

 

a^b x

x f x y y

x ⁽ ⁾

) (

2 1

d ) , (

d ^





^





 ) (

) (

2 1

d ) , (

d ^y

y f x y x

y

设xcos,ysin，则





d d d

dx y



₁²^d



₁²(⁽)⁾ ⁽ ^cos ^, ^sin ⁾ ^d







      

 f



0²^ ^



^^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

) (

0 ( cos , sin ) d

d f

[二重积分的变量替换(雅可比式)] 若连续可微分的函数











) , (



u y y

u x x

把平面Oxy上的有界闭区域Ω 单值映射到平面Ou



上的闭区域Ω'，其雅可比式为

(2)

J  0 )

, (

) ,

( 



 



 





 ^x ^u^y y u x u

y x

则



), ( , )]| |d d ,

( [ d

d ) , (

'

u J u y u x f y x y x

f



 

 例若













 sin cos y

x

则

J  











   ^



cos sin

sin cos

) , (

) , (x y 所以

( , )d d (cos,sin)dd

'



 

 f y x y x f 2. 三重积分

[直角坐标下的三重积分] 假设有界区域V由下列不等式

a≤ x≤ b, y₁(x)≤ y≤ y₂(x), z₁(x,y)≤ z≤ z₂(x,y)

确定，其中y₁(x),y₂(x),z₁(x,y),z₂(x,y)都是连续函数，且函数f(x,y,z)在V上是连续的，则函数f(x,y,z)在有界区域V上的三重积分

  



^ a^b

x y

y x z

y x z V

z z y x f y

x z

y x z y x

f ⁽ ⁾

) (

) , (

2 1

d ) , , ( d

d d

d d ) , , (

有时采用下面公式计算：

 



^ a^b

S

V _x

z y z y x f x z

y x z y x

f( , , )d d d d ( , , )d d

式中S_x S y z_x( , )是用平行于Oyz的平面截区域V所得的截断面(图6.3).

例设V表示在第一卦限中由曲面  1



 







 







 



 ^p ^q ^r

c z b

y a

x 和坐标平面所围成的封闭区域，

则当一切常数都是正的时候，有

) 1

(

) )(

)(

( d

d

1d

1 1

r q pqr p

r q c p

b a z y x z y x

V   





 

















^ ^ ^ 

这种类型的积分称为狄利克莱积分，它在计算重积分时经常用到.

(3)

[圆柱坐标下的三重积分] (图6.4)

  



 ( cos , sin , ) d d d d

d d ) , , (

V V

z z

f z

y x z y x

f       

（一般地，0≤ ≤ 2π )

式中V为直角坐标中的有界区域，V'是区域V在圆柱坐标系中的表达式.

[球面坐标下的三重积分] (图6.5)

 





 ( sin cos , sin sin , cos ) ²sin d d d d

d d ) , , (

V V

r r

r f z

y x z y x

f        

（一般地，0≤ ≤ 2π ,0≤ θ ≤ π )

式中V'是区域V在球面坐标系中的表达式.

[三重积分的变量替换(雅可比式)] 若连续可微函数









) , , (

w u z z

w u y y

w u x x



把Oxyz空间的有界三维闭区域双方单值地映射到O'uw空间的闭区域V'，并且当（u, ,w)

∈ V'时其雅可比式

) 0 , , (

) , ,

( 



 

 

w z w

y w

x

z y x

u z u y u x

w u

z y J x



则

  



 [ ( , , ), ( , , ), ( , , )]| |d d d d

d d ) , , (

V V

w u

J w u z w u y w u x f z

y x z y x

f    

3. 多重积分

[直接计算多重积分] 若函数f(x₁,x₂,,x_n)在由下列不等式所确定的有界闭区域Ω 内是

连续的：

a≤ x₁≤ b x₂(x₁)≤ x₂≤ _x₂ (x₁)

………

_x_n (x₁,x₂,,x_n_₁)≤ x_n≤ x_n (x₁,x₂,,x_n_₁)

(4)

式中a,b为常数，_x₂(x₁)，_x₂ (x₁)，…，_x_n (x₁,x₂,,x_n_₁)，_x_n (x₁,x₂,,x_n_₁)为连续函数，

则对应的多重积分可按下面公式计算：

n b

a

x x

x x x x

x x x

x n

Ω

n

n x x x x x f x x x x

x x x

f ⁿ ⁿ

n

   n

   ^







 ₁ ₍ ⁽₎ ⁾ ₂ ₍⁽_,^,_,...^,...₎⁾ ₁ ₂

2 1 2

1

1 2

1 2 1

d ) ,...

, ( ...

d d

d ...

d d ) ,...

, ( ...

[多重积分的变量替换（雅可比式）] 若连续可微函数

xi=_i (₁,₂,,_n), i=1,2,…,n

把Ox₁x₂x_n空间内的有界闭区域Ω 双方单值地映射成O'₁₂_n空间内的有界闭区域Ω', 并且在闭区域Ω'内雅可比式

) 0 , , , (

) , , , (

2 1

2

1 



 

n

xn

x J x



 



则

  

^

'

2 1 2

1 2

1, ,... )d d ...d ... ( , ,... )| |d d ...d

( ...







 _n _n

n

n x x x f J

x x x f

特别，根据公式



















1 2

2 1

1 2

2 1 1

2 1 2

1 1

sin sin

...

sin sin

cos sin

...

sin sin

...

cos sin cos

n n

n

n n

n

r x



变换成极坐标(r,₁,₂,,_n_₁)时，有：

2 2

3 1 2 1 1

2 1

2

1 sin sin sin

) , , , , (

) , , , (



 

  ⁿ ⁿ ⁿ _n

n

n r

r

x x

J x   



  ^



二、曲线积分

[对弧长的曲线积分] 若函数f(x,y,z)在光滑曲线C:











) (

0 t T

t t z z

t y y

t x x

的各点上有定义并且连续（图6.6）则

C ^ ^ ^

T

t f x t y t z t x t y t z t t

s z y x f

0

d ) ( ) ( ) ( )]

( ), ( ), ( [ d

) , ,

( ² ² ²

式中ds为弧的微分， _, d

) ( ) d

( t

t t x

x^  等.这个积分与曲线C的方向无关.

[对坐标的曲线积分] 若函数P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)在光滑曲线C:











) (

0 t T

t t z z

t y y

t x x

的各点上连续，这曲线的正方向为t增加的方向，则





  





T t C

t t z t z t y t x R t y t z t y t x Q t x t z t y t x P

z z y x R y z y x Q x z y x P

0{ [ ( ), ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( ), ( )] ( )}d

d ) , , ( d

) , , ( d

) , , (

(5)

当曲线C的正向变更时，积分的符号改变.

[全微分的情形] 若函数P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)在区域V中的任一条光滑曲线C

上连续，并且

u z z y x R y z y x Q x z y x

P( , , )d  ( , , )d  ( , , )d d 式中u=u(x,y,z)为区域V内的单值可微函数，则

) , , ( ) , , ( d d

dx Q y R z u x₂ y₂ z₂ u x₁ y₁ z₁

CP    



式中(x₁,y₁,z₁)为积分曲线C的始点，(x₂,y₂,z₂)为积分曲线C的终点.这说明在假定的条件下，

积分值与曲线C的形状无关，只与曲线的始点和终点有关(图6.7).

在单连通区域V内有连续的一阶偏导数的函数P,Q,R能表成全微分 u

z z y x R y z y x Q x z y x

P( , , )d  ( , , )d  ( , , )d d 的充分必要条件是：在区域V内等式

z P x R y R z Q x Q y P



 



 



 



 , ,

成立.这时函数u可按下面公式求得：

z z y x R y z y x Q x z y x P z

y x

u ^z

z y

y x

x ( , , )d ( , , )d ( , , )d

) , ,

( ₀ ₀ ₀

0 0

0

 



^ ^



式中(x₀,y₀,z₀)为区域V内的某一固定点.

[格林公式]

1°曲线积分与二重积分的关系.设C为逐段光滑的简单

（无自交点）闭曲线，围成单连通的有界区域S,这围线的方向使区域S保持在左边，若函数P(x,y),Q(x,y)及它们的一阶偏导数在S+C上连续，则有格林公式：





^ ^ ^_ ^^_

S

C x y

y P x y Q

y x Q x y x

P( , )d ( , )d ( )d d 2° 曲线积分与积分线路的关系.若函数P,Q,

x Q y P



 , 在

区域S上连续，且

x Q y P



 



则沿S内的任一光滑闭曲线的积分为零，即 0 d

d  



CP x Q y

因而由S中的A到B的积分与线路无关（图6.8)，即



_C₁₍_A_,_B₎^P^d^x^^Q^d^y^ _C₂₍_A_,_B₎^P^d^x^^Q^d^y

三、曲面积分

[对曲面面积的曲面积分]

1° 若S为逐片光滑的双侧曲面*

z=z(x,y) ((x,y)

 

)

式中σ 为曲面S在Oxy坐标面上的投影，z(x,y)为单值连续可微函数，函数f(x,y,z)在曲面S的

(6)

各点上有定义并连续，则



^ ^ _^ ^ _^



y y x

z x

y z x z y x f S z y x f

S

d d ) ( ) ( 1 )]

, ( , , [ d

) , ,

( ² ²

此积分与曲面S的方向（法线的方向）无关.

2° 若曲面S由连续可微函数









) , (



 u z z

u y y

u x x

((u,



)∈ Ω) 给定，则



^ ^





), ( , ), ( , )] d d ,

( [ d

) , ,

(x y z S f x u y u z u EG F² u

f

S

式中

2 2

2 ( ) ( )

)

( u

z u

y u

E x



 



 



 



 



 



 



  z

u z y u y x u F x

2 2

2 ( ) ( )

)

(   

 



 



 x y z

G

* 曲面上某一点的法线方向的选定，唯一确定了曲面上所有其他点的法线方向，它们就是选定方向的法线在曲面上连续移动（不经过曲面边缘）的指向，所以也就决定了曲面的一侧.如果改变原来选定的法线方向，曲面上的所有其他点的法线方向都随着改变，曲面就从一侧移到另一侧.这种曲面称为双侧曲面.

[对坐标的曲面积分] 若S为光滑的双侧曲面，^S^为它的正面，即由法线方向n(cosα ,

cosβ ,cosγ )所确定的一侧，P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)为在曲面S上有定义并且连续的函

数，则



_ ^ ^ ^ ^ ^

S S

S R

Q P

y x R x z Q z y

Pd d d d d d ( cos cos cos)d 若曲面S由连续可微函数









) , (



 u z z

u y y

u x x

((u,



^)∈ ^Ω⁾

给定，则



^ ^ ^ ^ ^

 

 d d ) (

d d d

d d

dy z Q z x R x y AP BQ CR u

P

S

式中

) , (

) , , (

) , (

) , , (

) , (



 ^u

y C x

u x B z

u z A y







 



 

[斯托克斯公式] 若C是包围逐片光滑有界双侧曲面S的逐段光滑简单闭曲线，

P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)是在S+C上连续可微函数，则

(7)

y y x

P x x Q x z

R z z P z y

Q y z R

R y Q x P

S

C d d d ( )d d ( )d d ( )d d







 







 







 







[高斯公式] 若S为包含体积V的逐片光滑曲面P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)及其一阶

偏导数在V+S上连续，则有高斯公式：

z y z x

R y Q x S P

R Q

P

V S

d d d ) (

d ) cos cos

cos

(





^^ ^ ^ ^ ^ ^_ ^^_ ^^_

式中cosα ,cosβ ,cosγ 为曲面S的法线正方向的方向余弦.

四、重积分、曲线积分与曲面积分的近似计算

[二重积分的近似计算公式]



^



^

 f x y x y A  w f x y R

n

k k k k

1

) , ( d

d ) , (

式中A_对于不同的积分区域Ω 选取不同的常数，w_k是求积系数，R是余项.

Ω 为圆形C: x² y²≤ ^h² Ac=π ^h²

n 图示 ⁽^x^k^,^y^k⁾ ^w^k R

5

(0,0) (±h,0) (0,±h)

2 1

8 1

) (h⁶ O

4 )

, 2 ( 2h h



4 1

) (h⁶ O

7

(0,0) (±h,0)

2 ) , 3 (2h  h

2 1

12 1

) (h⁶ O

(8)

9

(0,0) (±h,0) (0, ±h)

2) 2, (h h

6 1

24 1

6 1

) (h⁸ O

7

(0,0)

(± 3

2 h,0)

(± 6 1 h, ±

2 2 h)

4 1

8 1

) (h⁸ O

21

(0,0)

( ,

10 cos2 10

6

6 k h

  

10 ) sin2 10

6

6 k h

( ,

10 cos2 10

6

6 k h

  

10 ) sin2 10

6

6 k h

k=1,2,…,10

9 1

360 6 16

360 6 16

) (h¹² O

Ω 为正方形S: |x|≤ h,|y|≤ h , _A_s=4h²

9

(0,0) (±h,±h)

(±h,0) (0, ±h)

9 4

36 1

9 1

) (h⁶ O

(9)

4 ⁾ 3 , 1 3

( 1h h 4

1

) (h⁶ O

9

(0,0) 5 ) , 3 5

( 3h h

5 ) , 3 0

(  h

) 0 5 , ( 3h

81 16

324 25

81 10

) (h⁸ O

Ω 为正三角形T: 外接圆半径为h， 3 ² 4

3 h

A_T 

4

(0,0) (h,0)

2 ) , 3 (2h  h

4 3

12 1

12

1 O(h⁵)

7

(0,0) ) 0 , (h

2 ) , 3 (2h  h

) 0 2, ( h



4 ) , 3 (4h h



20 9

20 1

15 2

) (h⁶ O

7

(0,0) ) 0 7 ,

1 ( 15 h

14 ) ) 1 15 ( 3

14 , 1 ( 15

h h

 





) 0 7 ,

1 ( 15 h

14 ) ) 1 15 ( 3 14 ,

1 ( 15

h h

 



40 9

1200 155 15

1200 15 155

1200 15 155

1200 155 15

) (h⁸ O

(10)

Ω 为正六边形H: 外接半径为h， 3 ² 2

3 h

A_H 

7

(0,0) 2 ) , 3 (2h  h

(h,0)

12 7

72 5

) (h⁶ O

7

(0,0) 10 ) , 42 10

( 14h h

) 0 5 , ( 14h

1008 258

1008 125

) (R⁸ O

[三重积分的近似计算公式]

 





 ⁿ

k

k k k k V

R z y x f w A z y x z y x f

1

) , , ( d

d d ) , ,

( _

式中

A

_对于不同的积分区域V选取不同的常数，w_k是求积系数，R是余项.

V为球体S: x²  y² z²≤ ^h². A_S= 3 4π h³

n 图示 ⁽^x^k^,^y^k^,^z^k⁾ ^w^k R

7

(0,0,0) ) 0 , 0 , (h

) 0 , , 0 ( h

) , 0 , 0

( h

5 2

10 1

) (h⁷ O

V为立方体C: |x|≤ h,|y|≤ h,|z|≤ h. A_C=8h³

6

) 0 , 0 , (h

) 0 , , 0 ( h

) , 0 , 0

( h

6 1

) (h⁷ O

21

(0,0,0)

中心到6个面的距离的6个中点 6个面的中心

360

496

360 128

360

8 O(h⁹)

(11)

8个顶点 ³⁶⁰ 5

42

6个面的中心 12个棱的中点每个面的对角线上到

每个面中心距离为 2 5

h 的4个点（共 24点）

450 91

450

 40

450 16

) (h⁹ O

Ω 为四面体T.A_T V 为四面体体积

8

11

4个顶点 4个面的重心

T的重心

4个顶点 6个棱的中点

40 1

40 9

15 8

60 1

15 1

[曲线积分的近似计算公式]

圆周



：x²  y² h²上的曲线积分

) ( ) sin , cos ( d

) ,

( ² ²

2 1



 







ⁿ ⁿ

k

h n O

h k n h k n f

s h y x

f   



[曲面积分的近似计算公式]

球面



：x² y² z² h²上的曲面积分 R z y x f w h dS z y x f

n k

k k k

k 







( , , ) 4  ( , , )

1

 2



(12)

6

) 0 , 0 , (h

) 0 , , 0 ( h

) , 0 , 0

( h

6 1

) (h⁶ O

18

) 0 2 , , 1 2

( 1h h

2 ) , 1 0 2 ,

( 1h  h

2 ) , 1 2 , 1 0

(  h h

) 0 , 0 , (h

) 0 , , 0 ( h

) , 0 , 0

( h

15 1

30 1

) (h⁸ O

26

3 ) , 1 3 , 1 3

( 1h h h

) 0 2 , , 1 2

( 1h h

2 ) , 1 0 2 ,

( 1h  h

2 ) , 1 2 , 1 0

(  h h

) 0 , 0 , (h

) 0 , , 0 ( h

) , 0 , 0

( h

280 9

105 4

21 1

) (h¹⁰ O

2 多重积分、曲线积分与曲面积分 - Dr. Huang