第一节 对弧长的曲线积分

第十一章

积分学 定积分二重积分三重积分 积分域 区 间 平面域 空间域

曲线积分

曲线弧 曲面域 曲线积分

曲面积分

对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分

曲面积分

曲线积分与曲面积分

第一节

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法

对弧长的曲线积分

第十一章

A

B

一、对弧长的曲线积分的概念与性质

假设曲线形细长构件在空间所占

弧段为 AB , 其线密度为



(x, y, z),

“ 大化小 , 常代变 , 近似和 , 求极 限”

k k

k

k , , )s (

  

可得

 

 n

k 1

lim0



 M

为计算此构件的质量 , _M^s_k^k_1 Mk

) ,

,

(_k _k  _k 1. 引例 : 曲线形构件的质量

采用



设  是空间中一条有限长的光滑曲线 , 义在  _{上的一个有界函数} ,

k k

k

k s

f (



,



,



)

都存在 , f (x, y, z)

 _{上对弧长的曲线积分} ,

记作





_ ^{f (x, y, z)ds}

若通过对  _{的任意分割} 局部的任意取点 ,

2. 定义

是定 )

, ,

(x y z f

下列“乘积和式极限”

则称此极限为函数 在曲线 或第一类曲线积分 . )

, ,

(x y z

f _{称为被积函数，} _{称为积分弧段} 曲线形构件的质量 ^M. ^



_

^

^{(x, y, z)ds}



 n

k 1

lim0



sk



1

Mk

Mk

) ,

,

(_k _k  _k 和对

如果 L 是 xOy 面上的曲线弧 ,

k k

n

k

k s

f 





  ( , ) lim

0 1

 



_L ^{f (x, y)ds} 

如果 L 是闭曲线 , 则记 为

. d ) ,



_L ^f (^{x y s}

则定义对弧长的曲线积 分为

思考 :

(1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, 问



_Ld ^s 表示什么?

(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否 ! 对弧长的曲线积分要求 ds  0 , 但定积分中

dx 可能为负 .

3. 性质



^{f (x, y, z)}



^ds

) 1

(



_

^

（ ,  _为常数 )



_ ^{f (x, y, z)ds}

) 2 (

(  由 组 成 ) ^{1 2}

, 

 则

上

设在 ( , , ) ( , , ), )

3

(



f x y z  g x y z

( l 为曲线弧  _的长 度 )

) , ,

(x y z



g









 f (x, y, z)ds ^

^ 

_ g(x, y, z)ds

 l





^



2 1

d ) , , ( d

) , ,

( 

 f x y z s f x y z s





_ ^{f (x, y, z)ds } _ ^{g(x, y, z)ds}



_ ^ds

) 4 (





_L ^{f (x, y)ds } _^{ f [ (t ), (t )] 2(t ) 2(t )d t}

二、对弧长的曲线积分的计算法

基本思路 : ^{转 化} 计算定积分 定理 : 设 f (x, y)

且 )

( )

(

 



 

 t t

y 上的连续函数 ,

证 :

是定义在光滑曲线弧 则曲线积分

), (

: x t

L 



, d

) ,

( 存在



_L ^{f x y s}

求曲线积分

根据定义

k k

n

k

k s

f 





  ( , ) lim

0 1

 



_L ^{f (x, y)ds} 

k k

n

k

k s

f 





  ( , ) lim

0 1

 



_L ^{f (x, y)ds} 

, ] ,

[ _{k 1 k}

k



t _ t

点 (



_k ,



_k )



t t

t

s ^k

k

t

k t ( ) ( ) d

1

2



_ ^2 ^{ }





 

, )

( )

( ²

2 k   k tk







  







 ⁿ k 1

lim0





_L ^{f (x, y)ds}

k k

k    t

²(



)



²(



)



]

) (

, ) (

[ _{k k}

f

   

连续 注意 ²(t)  ^2(t )

设各分点对应参数为 t_k (k  0,1,,n), 对应参数为

则

] ,

[ _{k 1 k}

k

 

t _ t







  ⁿ k 1

lim0

 ^{f [}



⁽



_k ^),



⁽



_k ^)]



²(



k ) 



²(



k ) tk

x y

O

x

d dy s

d



_L ^{f (x, y) ds}

t t

t t

t

f [ ( ), ( )] ² ( ) ² ( ) d



^{  }

 ^



   

说明 :

, 0 ,

0 )

1

( s_k  t_k  ^{因此积分限必须满足}







!

(2) 注意到

2 2 (d ) )

(d

ds  x  y

t t

t ) ( ) d

( ²

2





  ^



因此上述计算公式相当于“换元法” . x 因此

如果曲线 L 的方程

为 y 



(x) (a  x  b),_则有



_L ^{f (x, y)ds}

如果方程为极坐标形式 :L : r  r(



) (











),_则 s

y x

L f



^{( , )d}



 ^

 f (r(



)cos



, r(



)sin



) 推广 : 设空间曲线弧的参数方程

为



: x 



(t), y 



(t), z 



(t) (



 t 



) 则



_ ^{f (x, y, z)ds}

t t

t

t) ( ) ( ) d

( ^{2 2}

2

 



    ^ x x)d (

1



^2







) ( ) d

( ²

2 r

r  



 ^b

a f (x,



(x) )



 ^

 f (



(t) ,



(t),



(t) )

例 1. 计算



_L ^yd^s,^{其中 L 是抛物线y  x2} 与点 B (1,1) 之间的一段弧

. 解 :L : y  x² (0  x 1)



 L yds ^



₀^{1x  1 (2x)2 dx}

x x

x 1 4 d

1 0



^ 2



1

0 32

2) 4

1 12 (

1 

 

 x

) 1 5

5 12 (

1 



上点 O (0,0)

O 1

L

x y

x2

y 

) 1 , 1 ( B

例 2. 计算半径为 R , 中心角

为 2



_的圆弧 L 对于它的 称轴的转动惯量 I ( 设线密度 = 1). 对

解 : 建立坐标系如图 ,

R x y

O

 L s

y

I ^



L ² d











 ² sin² ( sin )² ( cos )²d



_ ^{ }

 R R R







 sin² d

3



_

 R







0 3

4 2 sin 2 2



 

 R ) cos

sin

3(





 

 R

则

) sin (

: cos   



   







 R y

R L x

例 3. 计算I x ds ,



L

 _{其中 L 为双纽线}

) 0 (

) (

)

(x²  y^{2 2}  a² x²  y² a  解 : 在极坐标系下

它在第一象限部分为

4 ) 0 π

( 2

cos

1 : r  a







 L

利用对称性 , 得 s x I 4 L d



1

 ^{ 4}



₀^{π4 r cos}

^

^r2(

^

^{)  r2(}

^

^{) d}

^



 ^π4

0

2 cos d

4 a

 

 2 2 a²

, 2 cos : r² a²



L 

O y

x

π4





4π







例 4. 计算曲线积分



_ (^{x2  y2  z2})d^s, ^{其中 为螺旋} 的一段弧 . 解 :



_ ^{(x2  y2  z2) ds}



^{ }

 ^2π

0

2 2

2 ( sin ) ( ) ] )

cos

[(a t a t kt

t t

k a

k

a ^2π[ ]d

0

2 2 2

2

2 ^



^



0 π 3 2

2 2 2

2

3 



 



 

 k t

t a k

a

) π

4 3

3 ( π

2 _{2 2 2 2 2}

k a

k

a  



t k

t a

t

asin ) ( cos ) d

( ²  ²  ²



) π 2 0

( ,

sin ,

cos    

 a t y a t z k t t 线 x

例 5. 计算



_ x² d s, ^{其中 为球面}

2 2

2

2 y z a

x   

被平面 所截的圆周x  y  z  0 . 解 : 由对称性可知



_ x² ds

s z

y x

s

x ( )d

3

d 1 ^{2 2 2}

2   





_



_

s a d 3

1 ₂



  a 2π a

3

1 ₂



π 3

3

2 a



s y² d



  ^



_ z² ds

思考 : 例 5 中 _改 为 

















0 )

1 (

) 1

( ^{2 2 2 2}

z y

x

a z

y x

计算



_ x² ds ? 解 : 令

















1

1 z

Z

y Y

x X















 

0

: ^{2 2 2 2}

Z Y

X

a Z

Y , 则 X

s x² d



_ ^



_ ^{(X 1)2 ds}

s X ² d



 

π 3

3

2 a



) 3 1

(1 π

2 ² 

 a a

s X d 2



  ^



_ ds a π

 2 ^圆 _的形心

在原点 , 故

 0 X a

X 2 π 2 



, 如何

利用形心公式



d

ds 

例 6. 计算I ^



_ (x^{2 } y^{2 } z²)ds , ^{其中 为球面}

解 : ,

1

1 )

: ²¹ ( ^{12 2 41 2}













 

z x

y x



:



^{0 }

^

^{ 2π}



)2

sin 2

(



 (2cos



)² ( 2sin



)² π

18 d

2 2

9 ^2π

0 



 ^I

 ^



d

 2



cos

2 2

1 

 z

.

1的交线

与平面x  z 

92 2

2

2  y  z  x

化为参数方程

12

cos

2 





x

sin

2



 y 则

例 7. 有一半圆弧 x  Rcos



(0 



 π), 其线密度



 2



,

解 :

 

d cos

d ₂

R k s

F_x  2



cos



d



R

 k

 

d sin

d ₂

R k s

F_y  2



sin



d



R

 k _{ R O R x}

y



 ^π

0 cos d

2

  

R F_x k



 ^π

0 sin d

2

  

R F_y k

 

0

cos π

2



sin







 R k

R k

 4



 

0

sin π

2 



cos







 R k

R k π

 2 故所求引力为



) , (x y

, sin



R

y 

求它对原点处单位质量质点的引力 .

 

R k R

F k 2 π

4 ,





内容小结

1. 定义

k k

k n

k

k s

f 





  ( , , ) lim

0 1

  



_ ^{f (x, y, z) ds} 

2. 性质

k k

n

k

k s

f 





  ( , ) lim

0 1

 



_L ^{f (x, y) ds} 



^{f (x, y, z) g(x, y, z)}



^ds

) 1

(



_

^

^

^







^{( , , ) } ₁ ^{( , , )d } ₂ ^{( , , )d}

) 2

(  f x y z ds  f x y z s  f x y z s ) ,

( 由₁ ₂ 组成 l

s 



^d

) 3

( ( l 曲线弧  _的长度 )







 f (x, y, z)ds ^

^ 

_ g(x, y, z)ds (



,



为常数)

3. 计算

• 对光滑曲线弧L : x 



(t) , y 



(t) , (



 t 



) ,



_L ^{f (x, y) ds}

• 对光滑曲线弧L : y 



(x) (a  x  b ) ,



_L ^{f (x, y)ds }



_a^{b f (x,}

^

^(x))

), (

) (

: r  r

 









L



_L ^{f (x, y)ds}



 ^

 f (r(



) cos



, r(



)sin



)

• 对光滑曲线弧

t t

t ) ( ) d

( ²

2





  ^

x x) d (

1



^2







) ( ) d

( ²

2 r

r  



 ^

 f [



(t ),



(t )]

思考与练习

1. 已知椭圆 1

3 : 4

2 2  y 

L x _周长为 a , 求

s y

x

L(2xy 3 ² 4 ²)d



^{ }

提示 :



_L 2^xy d^s  0 原式 = x y s

L )d

3 ( 4

12

2



2 ^{ 12}



_L ^{ds  12a}

O

 2 2

y

x 3

利用对称性

s

L 2xy d



^



L_上 2^xy d^{s }



L_下 2^xyd^s



 22x  1 y² d x

) (



2 ^

 2 x  1 y² d x 分析 :

2. 设均匀螺旋形弹簧 L 的方程为x  acost , y  asint , π),

2 0

(  

 kt t z

(1) 求它关于 z 轴的转动惯量I_z ; (2) 求它的质心 .

解 : 设其密度为 ρ ( 常 数 ).I x y s

z 



L ( ²  ²)



d ^



₀^{2π a2}

^

^{a2  k 2 d t}

2 2

π 2

2 a a  k





(2) L 的质量m s

L



d



  2 π



a²  k ² 而 x s

L



d



^{ a}

^

^{a2  k 2}



₀^{2πcost d t  0}

(1)

s

L y



d



^{ a}

^

^{a2  k 2}



₀^{2πsin t d t  0}

s

L z



d



^{ k}

^

^{a2  k 2}



₀^{2πt d t  2 π2k}

^

^{a2  k 2}

故重心坐标为 (0, 0, k π)

作业

P188 3 (3) , (4) , (6) , (7)

5

备用题

1. 设 C 是由极坐标系下曲线r  a,



 0 _及



^{ π} ₄

所围区域的边界 , 求

s

I C

y

x d

e ^{2 2}



^



2 e

) 4 2

( π  

 a ^a

提示 : 分段积分 x I ^{a x}e d



0

 ^4π e d



0 ^aa



 ^a2 e ^x 2d x

0



2



x y

O ⁴ a

π

x y 

 0 y

a r 



d d s  a

2. L 为球面 x²  y²  z²  R² 标面的交线 , 求其形心坐标 .

在第一卦限与三个坐

解 : 如图所示 , 交线长度

为 O

R

z

y x

R R

L1

L3 ²

L s

l 3 L d



1

 4

π 3 2 R

 2

π 3 R

 由对称性 , 形心坐标为









3 2

1

1 d

L L

L x s

x l y

z  

 

^



^

 



3 2

1

d d

1 d

L L

L x s x s x s

l ^{ 2}_l



_L1 ^xds



^

 ^2π

0 cos d

2 R



R



l 3π

4R

