习题课 定积分及其相关问题

习题课

一、与定积分概念有关的问题的解法 二、有关定积分计算和证明的方法

定积分及其相关问题

第五章

一、与定积分概念有关的问题的解法

1. 用定积分概念与性质求极限 2. 用定积分性质估值

3. 与变限积分有关的问题 例 1. 求 d .

e 1

lim ¹ e

0 x x

x x n n_



_

解 : 因为x [0,1]

时 ,

_x

x

x n

e 1

0 e

  _所以

x x

x x n

e d 1

e

1



0 _



0 ¹xⁿ dx



0

 1

1

  n 利用夹逼准则得 e d 0

lim



^{1 xn xx x} 

n,

 x

1) 思考例 1 下列做法对吗 ? 利用积分中值定理



 

e 1

lim e

 





n

n  0

不对 ! 因为 依赖于 _{n, 且 0    1,}

说明 :

2) 此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项 .

x p

 1

1

p p

x x

 

1 1 1 (0  x 1)



 x ^p 1

如 , P270 题 7 x x

x x n

n d

e 1

lim ¹ e



0 _





故没理由认为 0

lim 





n

n 













 

 

 

 

n nn n

n

n n n n

I ₁

π 21

π

π sin 2 sin

1

lim sin 

解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和形式

 





 n

k k

n k 1 n 1

sin π

已知 ,

π d 2

1 sinπ sin π

lim

1 1 0















 x x

n n

n k

n k

利用夹逼准则可知 . π

 2 I





 

n

k n n

k n

n

1

1 sin π

1



 n 

k n n

k

1

1 sin π

(1998 考研 )

1 1

lim 





 n n

n

例 2. 求

思考 : 











 

 

 

n nn n

n n n

J ₁

π 12

π

2 sin

lim sin 

提示 : 由上题

1 lim sin

π

 

 I  n

J ⁿ

n

11 π ) 1

sin (





 

n n n

n

 ?

11 π ) 1

sin (

lim







 



n n n

n n

π

 2

π

 2

π sin 2

sin 1

lim sin ₁

π 12

π π 2

 













 

 

 

 

n nn n

n

n n n n

I 

0 0 

 故

练习 :

1.

求极限 ).

2 ( 1

lim _{2 2 2 2 2}

n n

n n

n n

n

n   

 





 

解：原式

n

n

lim 1



 



 

n

i ni

11 ( )2

1 x

x d 1

1

1

0 2



_

 4

 π

2.

_求极

限

2 ).

2 1

( 2

lim ₁

12

2 1

n n n n n

nn n

n

 

 

 



 

提示： 原式 ⁿ n

lim 1



 



 n i

ni

1

2

lim 1

 



 n n

n



 n i

ni

1

2 n

 1 ¹ 2^x d x



0

 ln 2

 1 1

lim 1





 n

n





 n i

ni

1

2

左边 = 右边

例 3. d . 4

1

1

0 2 3 x

x



_ x _ 估计下列积分值

解 : 因 为

] 1 , 0

[

3 x 4 2

1

x x 

  4

1 ,

4 1

x2

 

∴ 

₀¹¹₂ ^{dx }



0¹ _{4  x}¹2 _{ x}3 ^{dx }



0¹ ₄ ¹_{ x}2 ^dx

即 x

x

x d

4

1

1

0 2 3



_{ }

2  1

6

 π

例 4. 证

明 e d 2e . e

2 ² ₂

4 0

2 





^{x x x}

证 : 令f (x)  e^x2x, 则 f (x)  (2x 1)e^x2x 令 f (x)  0, _得 ,

2

 1 x , 1 )

0 ( 

f ,

e ) 1

(₂¹  ₄

f f (2)  e² e ,

) 1 (

min ₄

] 2 , 0

[ 

 f x ²

] 2 , 0

[ ( ) e

max f x 

故 ^{2 2}

4 0 e d 2e

e

2 



^{x2x x} 

例 5

.

设

^{f (x)}

在  

^0,1 上是单调递减的连续函数，试证

 

^0,1



q _{都有不等式}





₀^{q f (x)d x  q 1}₀ ^{f (x)d x}

证明：显然 q  0,q 1_{时结论成立 .}

( 用积分中值定理 )



₀^{q f (x)d x  q}



¹₀ ^{f (x) d x}





 q ^q f x x

0 ( ) d )

1

( ^{ q}



¹_q ^{f (x)d x}

) 1

(  q

  q  f (₁)  q (1 q) f (₂) ₁ [0,q] ] 1 ,

2 [q

 1 0  q 

当 时 ,

)]

( )

( )[

1

( q f ₁ f ₂

q  

  0

故所给不等式成立 . 明对于任何

例 6. 已知 f (x)在x  0处连续, f (1)  3, ^且由方程







₁^{xy f (t) d t  x} ₁^{y f (t) d t  y} ₁^{x f (t)d t}

确定 y 是 x 的函数 , 求f (x). 解：方程两端对 x 求导 , 得

) (x y

f ^



1^{y f} (^t)d ^t  x  f (y) y



 y ^x f t t

1 ( )d  y  f (x) )

( y  x y



令 x = 1, 得 ( ) ( )d (1)

1 f t t y f y

y

f 



^y 

再对 y 求导 , 得 1 (1) )

( f

y y f  

y

 3 f ( y)  3ln y  C

, 3 ,

1 

 C

y 得

令 故 f (x)  3ln x  3

 0

例 7.

t t t t

f x

f ^x d

cos 2

) sin (

)

( 0

2







求可微函数 f (x) 使满足

解 : 等式两边对 x 求导 , 得 2 f (x) f (x)

x x x

f 2 cos

) sin

( 

 不妨设 f (x)≠0,

则

x x x

f 2 cos

sin 2

) 1

(   





^



 f (x) f (x)dx ^{ 1}₂



_{2 }^sin_cos^x _x ^dx

C x 





 ln(2 cos ) 2

1

注意 f (0) = 0, 得 ln3 2

 1 C

3 2ln

) 1 cos 2

2ln(

) 1

(    

 f x x

x cos 2

ln 3 2 1

 

t t t t

f x

f ^x d

cos 2

) sin (

)

( 0

2







C x

x

f   ln(2  cos )  2

) 1 (

例 8. 求多项式 f (x) 使它满足方 程

解 : 令u  xt ,



₀^{1 f (x t)dt }



₀^{x f (t 1)dt  x3  2x}

则



₀^{1 f (x t)dt}  ^1x



₀^{x f (u) du}

代入原方程得



₀^{x f (u) du x}



₀^{x f (t 1) dt  x4  2x2}

两边求导 : f (x) ^



₀^{x f (t 1)dt  x f (x 1)  4x3  4x}

) (x

f   2 f (x 1) x f (x 1) 12x²  4 可见 f (x) 应为二次多项式 设, f (x)  ax²  bx  c 代入① 式比较同次幂系数 ,

得

. 1 ,

4 ,

3  

 b c

a 故 f (x)  3x²  4x 1

① 再求导 :

二、有关定积分计算和证明的方法

1. 熟练掌握定积分计算的常用公式和方法

2. 注意特殊形式定积分的计算 3. 利用各种积分技巧计算定积分 4. 有关定积分命题的证明方法

思考 : 下列作法是否正确 ? x x

x

d 1 1

1

1 2  



_{ }¹₁ ^{ 2}

x dx 1

1

1

1 3 2



_{ } ^



₁¹_1¹ _{t 2}^{3t 21 dt  0 (令t  3 x2 )}

例 9. 求 ^ln2 1 e d .

0

2^x x



^{ }

解 : 令e^x  sint , _则 x  lnsin t , d , sin

d cos t

t x   t

原式

 

t t

t t d

sin cos cos

6π

2π 





^{2π 1} _sin^sin_t ^{t d t}

6π



^ 2



t t

t sin )d

2(csc

π

6π



^



] cos cot

csc ln

[ t  t  t



6π 2π

2 ) 3

3 2

(

ln  



t t

ct

b c

a cos⁹⁹ d



_^

 例 10. 选择一个常数 c , 使

0 d

) (

cos )

(  ⁹⁹  



_a^{b x c x c x}

解 : 令t  x  c, _则

x c

x c

b x

a ( )cos⁹⁹( )d



^{ }

因为被积函数为奇函数 , 故选择 c 使 a  c  (b  c)

即 2

b c   a 

可使原式为 0 .

例 11. 设 ( ) e d ,

0

2 2

y x

f ^



^{x y  y}

解 :

. d ) ( )

1

1(

0

2 f x x



x ^ 求

x x

f

x 1) ( ) d

1(

0



^ 2

0 3 ( ) 1

) 1 3(

1 x  f x

 (x 1) f (x) dx 3

1 ¹

0



^ 3 ^



x x 1) e ^{x x} d 3 (

1 ¹

0

2

3 ²



^{  }





1 2 0

1 )

1 (

2 e d( 1)

) 1 6 (

1  ² 







^{x  x  x}



^

 ¹

0 e d

6

e u ^u u

0

e 1

) 1 6(

e _u

u  ^



 (e 2)

6

1 



) ) 1 (

(令u  x  ²

1 ) 1 2

(

2 2

2









  

x x

x x

例 12. 如图 , 曲线 C 的方

程为 y  f (x),点(3,2)

解 :

. d ) ( )

3(

0

2 x f x x

x  



0

2 ) ( ) 3

(x  x f  x



是它的一 个拐点 ,

线 , 其交点为 (2,4), 设函数 f (x) 具有三阶连续导数 , 计算定

积分

x x

f x

x ) ( )d

3(

0

2  



直线 l₁ 与 l₂ 分别是曲线 C 在点 (0, 0) 与 (3, 2) 处的切

x x

f

x 1) ( )d 2

3(



0 ^{ }



0 )

3 (  f 

(2005 考研 )

0

) 3

( )

1 2

( x  f  x



 ³ f (x)dx



0 ^

 )

2 )

2 ( 7

(   





0

) 3

( 2 f x

 _{f (0)  2; f (3)  2}

＝0

4 3 2 1

1 2 3 4 x O

l1

l2

y

) (x f y  C

例 13. 若f (x)C[0,1] ,

解 : 令

试证 : x

x f

x (sin )d

π



0 ^{ π}₂



₀^{π f (sin x)dx}

x x

f d



 ^2π

0 (sin ) π

, π x

t   _则

x x

f

x d



₀^{π (sin )  }



_π^{0(π t) f (sin t)dt}

t t

f d



 ^π

0 (sin )

π ^πt f (sin t) dt



0



x x

f

x (sin )d

π



0

 f (sin x)dx

2 π ^π



0



因为

x x

f (sin )d

π



0 ^



₀^{2π f (sin x) dx }



^{π f x dx}

2π (sin )

对右端第二个积分令 t  π x x

x f (sin )d 2 ^2π



0

 综上所述

x x

f

x (sin )d

π



0 ^ ₂^π



₀^{π f (sin x) dx}

x x

f (sin )d π



^π2



例 14. 证明恒等式

2) 0 π

4 ( d π

arccos d

arcsin

2

2 cos

0 sin

0 



  



^{x t t x t t x}

证 : 令f (x) ^x arcsin t d t ^x arccos t dt

2

2 cos

0 sin

0





^



则 f (x)  2 xsin x cos x 2 xsin x cos x  0 因此 f (x)  c (0  x  ₂^π), _又

 ) (^π₄

f ²¹arcsin t d t ¹²arccos t d t

0

0





^



^{arcsin t arccos t}



^{d t}

21



0 ^

 ^



_{0 2}^{21 π} dt ^ ₄^π 故所证等式成立 .

例 15. 设 f (x), g(x)在[a,b] 上连续,且 g(x)  0,试证 ,

) , (a b

  _使



_a^{b f (x)d x}



_a^{bg(x) d x ( )}

) (



 g

 f

分析 : 即证 ^g(^ )



_a^{b f} (^x)d ^x  ^f (^ )



_a^bg(^x)d ^x  0



a^xg(x)d x

 





 x

故作辅助函数









^

 ^xg x x ^b f x x ^x f x x ^bg x x x

F( ) ( )d ( )d ( )d ( )d

至少存在一点



a^x f (x)d x

 







即

^_^



_a^{xg(x) d x}



_a^{b f (x)d x}



_a^{x f (x) d x}



_a^bg(x)x^{d x}_^ _x^ _{ }^{ 0}

证明 : 令









^

 ^b

a x

a b

a x

a g x x f x x f x x g x x

x

F( ) ( )d ( )d ( )d ( )d

) ( , )

(x g x

因 f

在

^{[a,b] 上连续 ,故 F(x)在[a,b] 上连续,在}

, )

,

(a b 内可导 且 F(a)  F(b)  0, ^至少 ,

) , (a b

  使 F( )  0, 即

0 d

) ( )

( d

) ( )

(



_a^{b f x x}  ^f



_a^{bg x x} 

g  

因在[a,b] _上g(x) _{连续且不为 0 ,} 0 d

)

( 



_a^{bg x x}

从而不变号 ,因此 故所证等式成立 .

故由罗尔定理知 存在一点 ,

思考 : 本题能否用柯西中值定理证明

? 如果能 , 怎样设辅助函数 ?

) , (a b

 



_a^{b f (x)d x}



_a^{bg(x) d x ( ) ,}

) (



 g

 f 要证 :



 ^x

a f t t x

F( ) ( )d



 ^x

a g t t x

G( ) ( )d 提示 : 设辅助函数

例 设函数 16. f (x) 在 [a, b] 上连续 , 在 (a, b) 内可导 , 且 .

0 )

( 

 x

f 若 ^{lim (2 )} 存在^,证明^:

a x

a x

f

a

x 



 

(1) 在 (a, b) 内 f (x) > 0 ; (2) 在 (a, b) 内存在点  , 使

) ( 2 d

) (

2 2



 x f

x f

a b

b a

 



(3) 在 (a, b) 内存在与  _相异的点 , 使







  ^b

a f x x a a

b

f 2 ( )d

) )(

( ^{2 2}



  _{(2003 考研 )}

证 : (1) (2 ) ,

lim 存在

a x

a x

f

a

x 



 

  lim (2  )  0,

  f x a

a x

由 f (x) 在 [a, b] 上连续知, f (a) = 0. 又 f (x)  0，_所以 f (x)

在 (a, b) 内单调增 , 因此

) , ( ,

0 )

( )

(x f a x a b

f   

(2) 设 F(x) x², g(x) ^x f (x)d x (a x b)

a  







, 0 )

( )

(  

 x f x

则 g 故 F(x), g(x)^{满足柯西中值定理条件} 于是存在  (a,b), 使 ,





^

 





a

b f t t f t t

a b

a g b

g

a F b

F

d ) ( d

) ) (

( )

(

) ( )

( ^{2 2}

 

^{ }

 



^{x f t t x}

x

d ) (

) ( ²

即 ( ) 2 d

) (

2 2



 t f

t f

a b

b a

 



(3) 因 f ()  f ()  0  f ( )  f (a)

在 [a, ] 上用拉格朗日中值定理

) , ( ),

( )

(  a  a 

f   



代入 (2) 中结论得

) )(

( 2 d

) (

2 2

a t f

t f

a b

b a

 

 



^{ }



因此得 ^{f ()(b2  a2) } _²_^_a



_a^{b f (x)d x}

例 16 题

) (x

 f

例 17. 设f (x)C[a, b] ,

证 : 设

且 f (x)  0 , 试证 : )2

) ( ( d d

)

( b a

x f x x

x

f ^b

a b

a



 



t t

f x

F ^x

a ( )d )

( ^

 

_a^x _f^d₍^t_t)

则 F(x) 

) ( 1

x

 f  2(x  a)



_^

 ^x

a f (t)

) (t

f 2 dt



 t

t f x f

t f x

f

x

a d

) ( ) (

)]

( )

(

[ ²



^



0 )

(

, 

 a f x 0 x



故 F(x) 单调不减 F(b)  F(a)  0, _{即② 成立} .

②

) (x f ) (x

f



_a^x _f^d₍^t_t)



_a^{x f (t)dt}

)2

(x  a



作业

P269 4 (1) , (2) ; 7 ^; 8 ^{(1) ;}

10 (2) , (5) ,(9) ; 13