12. 定积分习题课.pdf

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

定 积 分 习 题 课

高等数学A

第3章 一元函数积分学

结构框图

简略内容小结

定积分的概念、性质与定理 定积分的计算及技巧

广义积分

定积分的应用

常见题型及典型习例

可直接用换元法或分部积分法计算的积分 对称区间时考虑被积函数的奇偶性

出现相同积分形式合并, 从而求出积分值 被积函数是分段函数的情形

积分限是变量x或被积函数含有参数的情形 关于定积分不等式的证明

关于定积分等式的证明 其它

定

积 分

习

题 课

广 义 积 分

问题1:

曲边梯形的面积

问题2:

变速直线运动的路程

存在定理 _定积分 积分应用

定 积 分 的

性 质

定 积 分 的 计

算 法

牛顿-莱布尼茨公式

) ( )

( )

(x dx F b F a

b f

a  



主要内容

一. 定积分的概念、性质与定理 1. 定义



a^b

f ( x ) dx ^ I ^

_{i i}

n

i

x

f 







( )

lim

0 1





注意: 定积分与积分变量的字母无关!



a^b

f ( x ) dx ^ 

a^b

f ( t ) dt ^ 

a^b

f ( u ) du

2. 定积分的几何意义

积取负号．

轴下方的面 在

轴上方的面积取正号；

在

数和．

之间的各部分面积的代 直线

的图形及两条 轴、函数

它是介于

x x

b x

a x

x f x



 ,

) (

3. 性质







_a^{b[k f (x)  k g(x)]dx  k} _a^{b f (x)dx  k} _a^bg(x)dx

) 1

( _{1 2 1 2}







_a^{b f ( x)dx } _a^{c f ( x)dx } _c^{b f ( x)dx}

) 2 (

0 )

( ,

) ( )

( )

3

(



_a^{b f x dx}  



_b^{a f x dx 特别地}



_a^{a f x dx} 

. 0 )

( ,

0 )

(

) ( )

( ),

( )

( ]

, [ )

4 (















b a

b a b

a

dx x

f x

f

dx x

g dx

x f x

g x

f b

a

则 特别地若

则 上有

若在

).

( )

( )

(

, )

( ]

, [ )

5 (

a b

M dx

x f a

b m

M x

f m

b a

b

a  











则

上有 若在

).

( , )

( )

( )

6

( f x dx ^b f x dx b a

a b

a 







(7)积分中值定理

).

)(

( )

(

], , [ ,

] , [ )

(

a b

f dx

x f

b a b

a x

f

b

a  



 ^



^使得

则至少存在一点 上连续

在 设

4. 变上限的定积分

. ) ( )

( ^ 



^x

a

f t dt

x

^{且 }₍^x₀₎ ^



_a^{x0 f} ₍^t₎^dt_.

若在对称区间上f(x)为奇(偶)函数, 则(x)为偶(奇)函数.

).

( )

(t dt f x dx f

d ^x

a 





^{( )}



^{[ ( )] ( ).}

)

( ^{( )}

)

( f t dt f t dt f x x

dx

d x

a x

a^{ }  







^









^{( )}



^{[ ( )] ( ).}

)

( _{( )}

)

( f t dt f t dt f x x

dx

d b

x b

x _

 

     







).

( )]

( [ )

( )]

( [ )

) (

( )

( f t dt f x x f x x

dx

d x

x

   



      



二. 定积分的计算及技巧 1. 用定积分的定义计算

 

 



 

 

 ⁿ

n i b

a n

a b

n a b

a i f dx

x f

1

)] [ (

lim )

(

2. 用牛顿-莱布尼兹公式计算

).

( )

( )

( )

(

, )

( )

( ,

] , [ )

(

a F b

F x

F dx

x f

x f x

F b

a x

f

b a b

a   



则 的一个原函数

是 上连续

在 设

3. 用定积分的换元法计算





_a^{b f (x)dx x(t)} _^{ f[}

^

^(t)]

^

^(t)dt

换元同时换限!



!





 b时未必 a

. )

(t 单值 x 



4. 用定积分的分部积分法计算





^{ b}a ^ _a^b b

a udv uv vdu

5. 用函数的周期性化简并计算





_a^{aT f (x)dx } ₀^{T f (x)dx}

) 1 (





_a^{anT f (x)dx  n} ₀^{T f (x)dx}

) 2 (





₀^{2 sin } ₀^{2 cos}

) 3 (





xdx

xdx ⁿ

n













 

 









 

 





为偶数 为奇数

n n n n

n

n n n n

n

2 , 2 1 4 3 2

3 1

, 3 1

2 5 4 2

3 1







6. 用奇偶函数在对称区间上的积分化简并计算





 





_

为奇函数 当

为偶函数 当

) (

,

0

) (

, )

( ) 2

( ⁰

x f

x f dx

x dx f

x f

a a

a

7. 常用公式





_^a_a ^{f (x)dx } ₀^{a[ f (x)  f (x)]dx}

) 1 (





₀^{2 (sin ) } ₀^{2 (cos )}

) 2 (





dx x

f dx

x f







₀ ^{(sin ) } _{2 0} ^{(sin ) } ₀^{2 (sin )}

) 3 (







^

 xf x dx f x dx f x dx





_a^{b (x)dx } _a^{b (x)dx}

) 4

(



²



三. 广义积分

1. 无穷限的广义积分



a^

f ( x ) dx ^

b

lim

_



a^b

f ( x ) dx



_^b_

^{f ( x ) dx }

a

lim

_



a^b

f ( x ) dx



_^_^

^{f ( x ) dx } 

_⁰_

^{f ( x ) dx } 

0^

f ( x ) dx





 lim

 ⁰

( )

a a

f x dx ^

_b

lim

_



0^b

^f ( ^x ) ^dx

当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.

2. 无界函数的广义积分



a^b

f ( x ) dx 





^b

a _

f x dx



lim ( )

0



a^b

f ( x ) dx

^ _^lim_0



_a^{b f ( x)dx}



a^b

f ( x ) dx ^ 

a^c

f ( x ) dx ^ 

c^b

f ( x ) dx



^





 ^



c

a

f ( x ) dx

lim

0







^b 

c _

f x dx



lim ( )

0

当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.

四. 定积分的应用

(1) 平面图形的面积

x y

o

) (x f y 





^b

a

f x dx

A ( )

x y

o

)

1(x f y 

)

2(x f

y 

 ^



^b

a

f x f x dx

A [

₂

( )

₁

( )]

A A

直角坐标情形

a _b a _b

如果曲边梯形的曲边为参数方程

 







) (

) (

t y

t x





曲边梯形的面积

A ^ 

t^t₁²

 ⁽ t ⁾  ^{ (} t ⁾ dt

（其中

t

₁^和

t

₂对应曲线起点与终点的参数值）

在[

t

₁,

t

₂]（或[

t

₂ ,

t

₁ ]）上

x   ( t )

^{具有连续导数，}

) (t

y  

^连续.

参数方程所表示的函数



 ^



 

d



A [ ( )]²

2 1

o x

 d 



) (





r 





o x

)

2(



 r )

1(



 r



^

 ^



   

d



A [ ( ) ( )]

2

1 ₂

1 2

2

极坐标情形

(2) 体积

x ^{x  dx}

x y

o ^{V f x dx}

b a

)]

2

(

 [

 

dy y

V

^d

c

)]

2

( [ 

 



x y

o

) ( y x   c

d

o x





^b

a

A x dx

V ( )

x x  dx

a _b

平行截面面积为已知的立体的体积 )

( x A

(3) 平面曲线的弧长

o x y

a x x  dx_b

 dy

弧长

s

^b

y dx



a

^{ }

 1

²

A．曲线弧为

 







) (

) (

t y

t x





) (   t  

其中

 ( t ),  ( t )

^在

[  ,  ]

^{上具有连续导数}

弧长

s ^ 

^

 ^

²

( t ) ^  ^

²

( t ) dt

)

(x f y 

B．曲线弧为

C．曲线弧为

r  r (  ) (      )

弧长

^{s } 

_^

^r

²

⁽  ^{)  r }

²

⁽  ^{) d} 

(4) 变力所作的功

) (x F

o a^ x^ _{x }^ _dx b^ x









b a

b a

dx x

F dW W

) (

(5) 水压力

x o y a b x dx x 

) (x f









b a

b a

dx x

xf dP P

)



(

)

(  为比重

(6) 引力

x y

x x  dx

o A

 l l







 





 ^l

l l

l y

y

x a

dx dF Ga

F

2 3 2

2 )

(



.

 0

Fx ( G 为引力系数 )

(7) 函数的平均值 ^ _



a^b f x dx a

y b 1 ( )

(8) 均方根 ^ _



a^b f x dx a

y b 1 ₂( )

五. 常见题型及习例

1. 可直接用换元法或分部积分法计算的积分

. 2

sin 1

1 ^计算 

0^n

^{ x dx}

例

解  1  sin 2x以 为周期,

dx

n x

n ) 1 sin2

( ( 1)

2

0    



^原式



^



_^{ }



^_{ }



^

 ^

0 1 sin 2xdx

n ^{ n}



₀^{ sin x  cos x dx}





^{   }

 ^ _^

4

04 (sin cos ) (sin cos )

[ x x dx x x dx

n

. 2 2 )

sin cos

sin cos

(

4 4

4 0 4

0 x x x n

x

n    

 ^_ ^_





2. 当积分区间对称时,首先考虑被积函数和奇偶性 :

2 计算下列积分 例













 





1 1

2

2 ( 1)arctan ]

1 [ sin )

2 (

)]

( )

( [ )

1 (

dx x

x x x

x

dx x

f x

a f

a

解 (1) f ( x)  f (x)是奇数,原式  0

 ^



¹

0

arctan

2 )

2

( 原式 x xdx





 ¹

0

2) 2

(1 arctan

2 xd x .

1 _



2



3. 出现相同积分形式合并, 从而求出积分值



₀^{4 ln(1  tan )}

3



dx 计算 x

例

解 _{令x   t得} 4



) ](

4 ) tan(

1

0 ln[

4

dt t 









 

原式 ^



₀^{4 ln(1 } ₁¹ _^ _tan^{tan t}_t^)dt



^{ }

 ⁴

0 [ln 2 ln(1 tan )]



dt

t ^{ }₄ ^{ln 2 }



₀^{4 ln(1  tan t)dt}

2 8 ln





原式

注意 本题用分部积分较繁！

4. 被积函数是分段函数或带绝对值的函数或含有最值 .

) 1 (

, 2

, 4

2

, 0 )

(

4 ²

2



_2 ^









  xf x dx

x x

x x

f 求

设 例

解



_²₂ ^{xf (x  1)dx x1t}



_¹₃^{(t  1) f (t)dt}

. 3 4

) 1 (

0 ¹

2 2 2

3    





_^{ dt}



_ ^{t t dt}

dx

b

xe

a



^|x^|

5 计算

例

解 

















 



 



0

0

2

| 1

|

x c

e xe

x c

e dx xe

xe x x

x x

 x

c e

e

x ^x  ^x 



 | | ^{| | | |}



 







原式 [ | x | e^|x| e^|x|]^b_a dx



_²₃^min{2, x^2}

6 计算

例 解







 



2

|

| 2

2

|

| }

, 2 min{

) (

2 2

x x x x

x

 f

. 3 2

10 8 2

2 ²

2 2

3

2 2

2





^



^{  }



原式 _^ dx _ x dx dx

. )

sin 2

(

7 ⁵



1 ^{ x  x dx}

计算 例

解 ^{原式 }



₁^{5 2  x dx }



₁^{5 sin x dx}





^{  }

 ⁵

2 2

1 (2 x)dx (x 2)dx ^



₁^{ sin xdx }



_^{5sin xdx}

. 5 cos 1

cos

7  













3



1 2

2

3

) 2 )(

1 (

) 2 (

) ,

max(

) 1 (

8

dx x

x x

dx x

请自己计算 x

例

5. 积分限是变量x或被积函数含有参数时, 需讨论 .

) 1

( ,

1

9 ^{设x   求}



_^x1 ^{ t dt}

例

解  1  x  0时, ²

1 2

1 2

) 1 1

( t dt x x

x    





_

原式

, 0 时



x ^{原式 } 

_⁰₁

^{( 1 } t ⁾ dt ^ 

₀^x

^{( 1 } t ⁾ dt

2

2 1 2

1  x  x

































_

. 0

2 , 1 2

1

, 0 1

2 ,

1 2

1 )

1 (

2 2 1

x x

x

x x

x dt

x t

.

10 ¹



0 ^{x x  a dx}

求 例

解 ^{当a  0时,原式 }



₀^{1x(x  a)dx  1}₃ ^{ a}₂





^{  }





 ¹

0 ( ) ( )

, 1

0 a

ax a x dx x x a dx

a 时 原式

当

3 1 2

3

3  

 a a



^



 ¹

0 ( )

,

1 x a x dx

a 时 原式

当 3

1 2 

 a







































1

3,

1 2

1 0

3,

1 2

3

0

2 , 3

1

1 3 0

a a

a a a

a a dx

a x

x

6. 关于定积分不等式的证明

2 .

) ( )

) ( 1 (

, 0 )

( ,

] , [ )

(

11

b f a

dx f x

a f b

x f

b a x

f

b a

 



 



证明 且

上二次可微 在

设 例

证 .

2

) ( )

) ( (

) ( )

( f a f x

a x

dt t

f x

F ^x

a

 







设

2 ) ) (

2 (

) ( )

) ( ( )

( f x

a x x

f a

x f f x

F 



 



  则

2 ) ) (

2 (

) ( )

( f x

a a x

f x

f 



 







^{  }

 ^x

a x

a f t dt f (x)dt 2

) 1 2 (

1



^{  }

 ^x

a [ f (t) f (x)]dt 2

1

. )

(

, 0 )

(x f x 单调递减

f    



).

( )

(

, f t f x

x

t  时    当

0 )]

( )

( 2 [

) 1

(     

^F ^x



_a^{x f t f x dt}

), ( )

(

,F b F a

a

b  时 

当 且_{F(a)  0} 2 0

) ( )

) ( (

)

(    



_a^{b f t dt b a f a f b}

从而

2 .

) ( )

) ( 1 (

f a f b

dx x

a f b

b a

 





即

2 ).

( )

1 (

, 0 )

( ,

] , [ )

(

12

b f a

dx x

a f b

x f

b a x

f

b a

 



 



证明 且

上二阶导数连续 在

设 例

证 ).

( 2 )

( )

( )

( a x

f a x

dt t

f x

F ^x

a

 







设

2 ) 2 (

) 1 (

2 ) (

) ( )

( a x

f a

x x f a

x f x

F       

则

2 ) 2 (

2 ) (

)

( a x

a f x

x f a

x

f       







^{     }

 _a^x _{x a}^x _x a x dt f

dt t

f

2 2

2 ) (

) (

, 2 )]

( )

( [



^2 ^{   }

 _a^x _x a x dt f

t

f  f (x)  0,  f (x)单调递减. 2 ).

( )

( 2 ,

x f a

t x f

t  a  时     当

0 2 )]

( )

( [

) (

2

 

 

 

^F ^x



^{axx f t f a x dt}

), ( )

(

,F b F a

a

b  时 

当 且_{F(a)  0} 0 2 )

( ) (

)

(    



_a^{b f t dt b a f a b}

从而

2 ).

( )

1 (

a b

f dx

x a f

b

b a

 





即

思考题

. ) ) (

) ( (

. 0 )

( ]

, [ )

(

a 2

x b f dx dx

x f

x f b

a x

f

b a b

a   







证明

上连续，且 在区间

设

证 作辅助函数

, ) ) (

) ( ( )

( x a ²

t f dt dt

t f x

F ^x

a x

a   



 

) (

) 2 ( ) 1

) ( ( ) 1

( )

( x a

x dt f

t f t dt

x f f x

F ^x

a x

a    

 

 



, ) 2

( ) ( )

( )

(

 



^{ }

 ^x

a x

a x

a dt dt

x f

t dt f

t f

x f

0 )

) 2 (

) ( )

( ) ( (

)

(    

 ^x



^f_f ^x_{t f}^f _x^{t dt}

F ^x

a

即

) 2 (

) ( )

( )

(  

 f x

t f t

f x , f

0 )

(x 

 f

. )

(x 单调增加

F

, 0 )

(a 

F

又 F(b)  F(a)  0,

. ) ) (

) (

( b a ²

x f dx dx

x

f ^b

a b

a 



 



即