习题课 不定积分的计算方法

习题课

一、 求不定积分的基本方法 二、几种特殊类型的积分

不定积分的计算方法

第四章

一、 求不定积分的基本方法

1.

直接积分法

通过简单变形

,

利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法

.

2.

换元积分法



^{f (x) dx}

^{第一类换元法} _{第二类换元法} 

^{f [(t)](t)dt}

注意常见的换元积分类型

,

如掌握

P205

～

P206

公式

(16) ~(24)

的推导

方法

(

代换

: )x  (t)

3.

分部积分法



 



^{u v dx u v}

使用原则

:

1)

由

v

_易求出

v

2)



^uv;^dx

^比 

^{u vdx}

^好求

^.

一般经验

:

按“反

,

对

,

幂

,

指

,

三” 的 顺序

,

排前者取为

u ,

排后者取为

v .

计算格式

:

列表计



^uvdx

x v

u ^{(n 1)} d



^{  u v(n) }



^{uv(n) dx}

) 1 ( )

(   

 uv ⁿ u v ^{n }



^{u v(n1) dx}

 



 

 

 u v⁽ⁿ⁾ u v^(n1) u v^{(n2) } (^1)^n1



u^(n1)v dx

多次分部积分的 规 律

) 2 ( )

1 ( )

(      

 uv ⁿ u v ⁿ u v ^{n }



u ^v^(n2) dx

快速计算表格

:

) (k

u

) 1 (n k

v ^{ }

u u u   u⁽ⁿ⁾

) 1 (n

v ^ v^{(n) } v^(n1)  v

 (1)ⁿ

) 1 (n

u v

 

1) ¹

( ⁿ

特别

:

当

u

为

n

次多项式时

u,^(n1)  0,

_{计算大为简便}

_.

例

1.

求

d . 4

9

3

2_{x x} x

x



x_

解

:

原式

_{x x} x

x x

2 d 3

3 2

2



2 _

 _x x

x

) d ( 1

) (

2 32 32



_





_

 _x

x 2 32 32 32 1 ( )

) ( d ln

1

x a a

a^{x x} ln d

d 

C

x

 

 ln 2 ln3 ) arctan( ₃²

例

2.

求

d . 1

5 )

1 ln(

2 2

x x x



x ^ _ ^{ }

解

:



^{  }

 [ln(x 1 x² ) 5]²¹

原式

] 5 )

1 ln(

[

d x   x²  ₂

1 x x  

 x

x

x )d 1

( ₂

1 2

2

 

1 2

d x x

  3



 2 ln(x  1 x² )  5



^{23  C}

分析

:

] 5 )

1 ln(

[

d x   x² 

例

3.

求

d . cos

1

sin x x x



x_^

解

:

原式

x

x

x x x

d cos 2

2

cos 2 sin 2

2



^ 2





 d tan 2x

x x x

2 d



tan



x C

x 

 tan 2

分部积分

例

4.

设

y(x  y)²  x,

解

:

令

x  y  t ,

求积分

d . 3

1 x

y



x _ x

y x

y(  )² 

即

y  x  t 1,

2 3

  t

x t ,

2 1

 t

y t

_而

t

t t

x t d

) 1 (

) 3

d (_{2 2}

2 2



 







^原式 

^{1 t}₍²_t^(2t2_1^₎^{32) dt}

2 1

3

 t

t

1 3

2 

 t

t t

t

t d

2 1



_



C t  

 ₂¹ ln ² 1  ₂¹ ln (x  y)² 1  C

例

5.

求

d . e

e arctan

x x



x

解

:

^原式

^{ }



^{arctan exd ex}

x x arctan e e^



 ^



^ex _1^e_e^{x2x dx}

x x arctan e e^



 _x x

x x

e d 1

e )

e 1

(

2

2



^ _2 ^



x x arctane e^



  x  ¹₂ ln (1 e^2x )  C

例

6.

求 

(x³  x 2) e^2x dx .

解

:

取

,

3   2

 x x

u v⁽⁴⁾  e^2x

3  x  2

x 3x² 1 6x 6 0

) (k

u

) 4 ( k

v ^ e^2x 21 e^2x ₄¹ e^2x ₈¹ e^2x ₁₆¹ e^2x

   



x

e2





原式

¹₂ (x³  x  2)  ₄¹ (3x² 1)  ₈¹ 6x C

x x

x x    

 ₈¹ e² (4 ³ 6 ² 2 7)

161 6





^{ C}

x x

a x a x

P

x k

n d

cos sine )



(











说明

:

此法特别适用于



如下类型的积分

:

例

7.

证明递推公式

) 2 1 (

d tan

tan ¹  ₂ 

 





^{x x} _n ^{ x I} _ ⁿ

I_n ^{n n} _n

证

: I_n 



tan^n2 x (sec² x 1)dx )

d(tan tan^{n 2} x x



^



1 tan ¹

 ^ n

n x

2

 I_n

2

 I_n

注

: I_n  I₀

或

I1

例

8.

求 

x ^1 dx .

解

:

设

F(x)  x 1 x 1, x 1

1 x ,

1 x

则

F(x)  ¹₂ x²  x  C₁, x 1 1

2 ,

2

12  

 x C x

x

因

F(x)

_连续

,

, ) 1 ( )

1 ( )

1

( F F

F ^  ^ 

_得

2

1 2

1 1 2 1

1   C    C

2 2 1 1

12  C   C



^记作

C

得 

x ^1 dx ^{ F(x)  21 x2  x  21  C , x 1} 1

2 ,

2 1

21    

 x x C x

, )

1

( ²

12 x   C , )

1

( ²

12 x   C



利用



例

9

.

设

解

:

) (x

F

为

^{f (x)}

的原函数

,

当

x  0

时

,

2 sin

) ( )

(x F x ² x

f 

有

且

F(0)  1 , ,

0 )

(x 

F

_求

f (x).

由题设

F(x)  f (x),

_则

F(x)F(x)  sin² 2x,

故 

^F(x)F^(x)dx 



^{sin2 2xdx }



^{1 cos}₂ ^4xdx

即

F²(x)  x  ₄¹sin 4x  C ,

1 )

0 ( 

F C  F ²(0)  1, F(x)  0 ,

因此

1

4 sin )

(x  x  ¹₄ x  F

2 sin² x

又

二、几种特殊类型的积分

1.

一般积分方法

有理函数

分解

多项式及 部分分式之和

指数函数有理式

指数代换

三角函数有理式

万能代换

简单无理函数

根式代换 三角代换

2.

需要注意的问题

(1)

一般方法不一定是最简便的方法

,

(2)

初等函数的原函数不一定是初等函数

,

要注意综合 使用各种基本积分法

,

简便计算

.

因此不一

定都能积出

.

例如

,



e^x2 dx,



^sin_x ^{x dx,}



^{sin x2dx ,}

, ln d

1 x



x



₁^d_^x_x4 ^,



^{1 x3 dx,}

例

10.

求

. e e

e 1

d

6 3



2





 ^{x x x} x

解

:

令

t  e^6x ,

则

x  6lnt , _{dx } ⁶_{t dt}

原式

^{ 6}



_{(1 t}³ _^dt_t² _{ t)t} ^{ 6}



_{(t 1)(}^d_t^t2 _1)t



^_^

 1

3 3

1 3 6

2 

 

 

t t t

t dt





t ln

 6  3ln t 1 ln( 1) 2

3 ₂ 

 t  3arctant  C C

x  ^x   ^x   ^x 

 3ln(e⁶ 1) ₂³ ln(e³ 1) 3arctane⁶

例

11.

求

d . sin

cos

sin cos



3 _x^x_^ _x^{x x}

解

:

令

3cos x  sin x

x B

A x

B

A )cos ( )sin

(   



比较同类项系数

A  B  3

1



 B

A ^,

^故

A 1, B  2

∴ 原式

^



^{dx  2}



^d(cos_{cos x}^x_^_sin^sin_x^x)

C x

x

x   

 2ln cos sin

) sin (cos

) sin

(cos    

 A x x B x x

x b

x

acos  sin

令

) sin cos

( )

sin cos

(    

 A c x d x B c x d x

例

12.

解 ：



_

 x

x b

x a

I x d

sin cos

sin

求

1

因为

. sin d

cos

cos

2 ^



_{a x  b}^x _x ^x

I

及



 ₁

2 b I I

a



_a^a _cos^cos _x^x _^ _b^b_sin^sin _x^{x dx  x  C1}



 ₁

2 a I I

b



^b_a^cos_cos ^x_x ^_ ^a_bsin^sin _x^{x dx d(a cos x  bsin x)}

sin 2

cos

ln a x  b x  C



C x

b x

a a

b bx

I a   

 1 ( ln cos sin )

2 1 2

C x

b x

a b

b ax

I a   

 1 ( ln cos sin )

2 2 2

例

13.求不定积分 d . sin

) cos 2

(



_ 1_{x x} ^x

解

:

原式

(

令

u cos x)



_{ }

 u

u

u d

) 1 )(

2 (

1

2

 

 )( 1) 2

(

1 u2

u u

A

2  1 u

B

1

 u

C A  13

61

 B

21



 C 2

3ln

1 

 u ln 1

6

1 

 u  ln u 1  C 2

1



_

 x

x x

x d

sin )

cos 2

(

sin

2

例

14. ( π) )

sin(

) sin(

d a b k

b x

a x

I x  











求

b x x

a

x d

) sin(

)



sin(^sin[(x_^{ a)}_ ^{ (x }_^b)]

) sin(

1

b a 

b x x

a x

b

a d

) sin(

) sin(

) sin(

1_



_{  }

 sin(x  a)cos(x  b) cos(x  a)sin(x  b) )



sin(

1

b a 

 x

b x

b

x d

) sin(

)



cos( _^{ }



^cos(_sin(x^x_^_a^a₎^{) dx}

^



^{x b x a}



^C

b

a    

  ln sin( ) ln sin( ) )

sin(

1

a C x

b x

b

a 





 

) sin(

) ln sin(

) sin(

1

解

:I =

例

15.

求





   

n x a n x b n

I x

1

1( )

) (

d

解

:







 

n xx ba

b x

a x

I x

) (

) (

d

( n

为自然数

)

令

ⁿ

b x

a t x



 

则

,

b x

a tⁿ x



  x

b x

b t a

t

n ⁿ d

)

d ( ₂

1



 



d t

n n 1 n x  b

b x x

b a

t t t

n

n d

) (

d 1 ₂



 

) )(

d ( )

( x a x b

t x t

b a

n



 



d

作 业

P222 6 , 9 , 18 , 19 , 28 , 31 ,

38 , 39