3.4 空间直线

主要内容 ：

3.4 空间直线

点向式方程 参数式方程 一般式方程

直线与直线的位置关系

直线与平面的位置关系

空间直线

一、点向式方程

如果一非零向量

�

平行于一条已知直线

L

，向量

�

称为直线

L

的方向向量．

方向向量的定义：

), , , ( ),

, ,

(

_{0 0 0}

0

x y z M x y z

M

s M M L

M

 ,

^₀

//





), ,

,

( m n p

s  

x

y

z

o

s  L

M0



M



) ,

,

( _{0 0 0}

0M x x y y z z

M^    

3

p z z

n y y

m x

x 

₀

 

₀

 

₀

直线的点向式方程

直线的一组方向数

方向向量的方向余弦称为直线的方向余弦

.

空间直线

例1 求过空间两点A(x

₁

, y

₁

, z

₁

), B(x

₂

, y

₂

, z

₂

)的直线方程.

解 s = AB = (x

₂

- x

₁

, y

₂

- y

₁

, z

₂

- z

₁

),

. :

1 2

1 1

2

1 1

2

1 z z

z z

y y

y y

x x

x l x



 



 





例2 _{1 .}

0 2 2

:  3     y z

l x

说明： _{( 1 )}

_s^

_{ ( 2 , 0 1, ),}

, 0 2

) 2

( y  

即：

l

在平面

y =2

上

.

空间直线

5

例3 一直线过点

�(2, − 3,4)

且和

�

轴垂直相交，求其方程。

解 ^{因为直线和}

�

轴垂直相交 所以交点为

�(0, − 3,0)

）

（

取 s   BA

^

 2 , 0 , 4

所求直线方程： .

4 4 0

3 2

2 

 

  y z x

空间直线

二、参数式方程

设直线

l

的方程

p t z z

n y y

m x

x  ₀   ₀   ₀ 

则



















pt z

z

nt y

y

mt x

x

0 0 0

上式称为直线

l

的参数方程，

t

称为参数，不同的

t

对应于直 线

l

上不同的点

.

参数式方程

7

的方程。

，求

，

， 的方向角为

的方向向量，

是 过

设

l

s l

s M

l 3

2 (3,4, 4), 3 4









 

例 4

解：

e^s

^{ (cos  , cos  , cos  )  (} ₂ ^{1 ,} ₂ ^{2 , } ₂ ^{1 )}

) 1 , 2 ,1

( 



 s 取

 

 















t z

z

t y

y

t x

x l

0 0

0

2 :

参数式方程

例5 求过点

�(2,1,3)

且与直线

^�+1

3 = ^�−1₂ = ₋₁^�

垂直相交的直线 方程。

解 先作一过点

M

且与已知直线垂直的平面



0 )

3 (

) 1 (

2 )

2 (

3 x   y   z  

再求已知直线与该平面的交点

N,

z t y

x 

 

 



1 2

1 3

1

³₂ ¹_.1





















t z

t y

t x

参数式方程

9

代入平面方程得

� = ^�_�

，交点

�( ^�_� , ^��_� , − ^�_� )

取所求直线的方向向量为

��

7 ), , 24 7 , 6 7 ( 12 )

7 3 ,1 3 7

,13 7 2

(2       

  MN

所求直线方程为

4 . 3 1

1 2

2  



 

 y z

x

参数式方程

三、一般式方程

空间直线可看成两平面的交线．

0

:

_{1 1 1 1}

1

   

 A x B y C z D

0

:

_{2 2 2 2}

2

   

 A x B y C z D

 



















0 0

2 2

2 2

1 1

1 1

D z

C y

B x

A

D z

C y

B x

A

空间直线的一般式方程

1

2

x

y

z

o L

一般式方程

11

例6 用点向式方程及参数方程表示直线





















0 4

3 2

0 1

z y

x

z y

x

解一 ^{在直线上任取一点}

�₀(�₀, �₀, �₀) 0, 6

3

0 1 2

0 0

0 0 0















 

 y z

z x y

取

2 ,

0

₀

0



z

 

y

解得

), 2 , 0 ,1

0

点的坐标为

(  M

一般式方程

因所求直线与两平面的法向量都垂直

), 3 ,1 ,

4

2

(

1

   

 n n s    取

点向式方程

3 , 2 1

0 4

1



 



 



y z

x

参数方程

 

 

















t z

t y

t x

3 2

4 1

一般式方程

13

解二 由解法一已得直线上点M

₀

的坐标(1,0,-2), 取

x₁ =0,

则



















0 4

3

0 1

1 1

1 1

z y

z y

4 , , 5

4 1 1

1  z  

y

解得 )

4 , 5 4 , 1 0

1

的坐标 ( 

得点

M

4), , 3 4 ,1 1

1 (

0^M   M

取直线的方向向量为

�=(4,-1,-3),

得直线方程为

3 , 2 1

0 4

1



 



 



y z

x

一般式方程

解三 ^{由直线方程}





















) 2 ( 0

4 3

2

) 1 ( 0

1 z y

x

z y x

(1)+(2): 3x + 4z + 5 =0 (1)2-(2): 3y - z - 2 = 0

4 , 5 3 

  x z

z = 3y - 2 1 ,

1 2 3

4 5

3x y   z

 



即

.

（

3

）

3 1

4

- ³

3 2

5 y z

x  

 

方程(3)的方向向量(-4,1,3)与(4,-1,-3)平行，且点

− ⁵₃ , ²₃ , 0 

在解法一、二所确定的直线上，故方程

一般式方程

15

解四 ^{(用高斯消元法}

_——

^{行初等变换)}





















0 4

3 2

0 1 z y

x

z y x



 







 



 









 



 









 

2 1 1 3 0

0 4

1 2

1 1 3 0

1 1 1 4

1 3

1 2

1 1 A 1

 











 

y z

y x

3 2

4 1

参数式：





















t z

t y

t x

3 2

4 1

一般式方程

例7 _确定直线

_�

_外一点

_{��(��, ��, ��)}

_到

_�

_的距离.

解： 设

M₁(x₁, y₁, z₁)

是直线

l

上任意一确定的点，

M₁M = s = (m, n, p),

则直线

l

的方程为

,

1 1

1 p

z z n

y y

m x

x     

如图所示平行四边形面积

S = ||M₁M₀  M₁M || = ||s  M₁M₀|| = d ||s ||

||

|| s  M M

d

M₁ M

M₀

l

一般式方程

17

例8 求点M

₀(1,2,1)到直线

的距离。

















0 2

: 0

z y x

y l x

解 取

z =0,

得

x =1, y =1, M₁(1,-1,0) l.

, 2k j

i  









1 1

1

0 1

1





k j

i s

 





M₁M₀ = (0,3,1).

6 . 35

||

||

||

||  _{1 0}  

  



s M M d s

一般式方程

四. 直线与直线的位置关系

两直线

L₁

与

L₂

的方向向量

�₁

与

�₂

的夹角（通常指 锐角）称为

L₁

与

L₂

的夹角，记为<

L₁

,

L₂

>.

直线

�_�

:

直线

�_�:

,

1 1 1

1 1

1

p

z z

n y y

m x

x 

 

 

,

2 2 2

2 2

2

p

z z

n y y

m x

x 

 

 

2 2

2 2

2 2

2 1 2

1 2

2 1 1,

cos m n p m n p

p p n

n m

L m

L    



 



直线与直线的位置关系

19

2.

两直线的位置关系：

, 0 )

1

( L

₁

 L

₂

 m

₁

m

₂

 n

₁

n

₂

 p

₁

p

₂

 ,

//

) 2 (

2 1 2

1 2

2 1

1

p

p n

n m

L m

L   

例： 直线 L

₁

: s 

₁

 ( ,1  4 , 0 ), ), 1, 0 , 0 ( :

₂

2

s 

L  直线

,

2

0

1

 s  s  

  s 

₁

 s 

₂

, 即

L₁



L₂

.

直线与直线的位置关系

解

例9 求过点

(−3,2,5)

且与两平面

� − 4� = 3

和

2� − � − 5� = 1

的交线平行的直线方程。

设所求直线的方向向量为 s   ( m , n , p ),

根据题意知： s   n 

₁

, s   n 

₂

, ), 1 , 3 , 4

2

(

1

    

 n n s   

取：

所求直线的方程为：

1 . 5 3

2 4

3    



y z

x

直线与直线的位置关系

21

例 10 判断直线 的位置关系？

















z y

x l

z y

x l

:

4 :

2 1

解

^{(1)s1  (11,1,),s2  (11,1,)}

2 1

2

1 s l l

s^

不平行

^

， 不平行

, )

0 , 0 , 0 ( ,

) 4 , 0 , 0 ( )

2

( M₁ l₁ M₂ l₂

0 8

1 1

1

1 1

1

4 0

0 ,

, _{1 2}

1

1   





 











 ^ _{ } s s N M

异面 与

₂

1 l

l



直线与直线的位置关系

五、直线与平面的位置关系

1

、直线与平面的夹角

直线和它在平面上的投影直线的夹角

� � ≤ � ≤ ^�_�

称为直 线与平面的夹角．

,

: ^{0 0 0}

p z z

n y y

m x

L x     

, 0

:    

 Ax By Cz D

), ,

, ( ),

, ,

(

m n p n A B C s









_





 s,n _{ }



_



,n

s 



直线与平面的位置关系

23

2 . 2 cos

cos

sin 



 

 

 



 

 

    



2 2

2 2

2 2

| sin |

p n

m C

B A

Cp Bn

Am













 



直线与平面的夹角公式

2.

直线与平面的位置关系：

. )

1

( p

C n

B m

L    A  

直线与平面的位置关系

求直线与平面的夹角。

： 平面

：

设直线

, 2 3,

2 1 1

2      

 y z x y z

L x

例11

解 n   _{( ,1}  _{,1 2 ),} s   _{( 2 ,}  _{,1 2 ),}

2 2

2 2

2 2

| sin |

p n

m C

B A

Cp Bn

Am













 



9 6

| 2 2 )

1 ( ) 1 ( 2 1

|















  ^.

6 3

 7

为所求夹角

arcsin 7



 

直线与平面的位置关系

25

例12

.

. 0

1 2 4

2 2 1

: 1

夹角 若相交，则求出交点与

的位置关系

： 与

判断

    



 

 y z x y z

l x 

解

^_{s  ( ,12,2),}^_{n  ( ,14,1)}

相交 与

所以

_l



n

s



^

  9  0 ,



















 t z

t y

t x

l

2 2 2 1

: 9

 8 t 

，得 代入



）

，

， 交点（

与

所以

9

-16 9

- 2 9

 1 l

2 4 arcsin 1 9

18

| 2 8 1 arcsin |

||

||||

||

|

arcsin | 

       

 _{ }





s n

s n

直线与平面的位置关系

例13 _直线

_�

_过点

�(2,5, − 2)

且与直线



















0 4

3

0 4

: 2

1 x y z

z y

l x

垂直相交，求

l

的方程

.

解 ^{只需求出交点}

_N

^{的坐标即可}

_.

过

M

作平面



^与

_l1

^垂直

_,

^与

_l1

^的交 点即

N.

l₁

的方向向量

:

2 1

1  1 

k j

i s

 



 9i 5j 7k.









M l N

l

₁



直线与平面的位置关系

27

过 �(2,5, − 2) 且与 �

1

垂直的平面

 : -9(x - 2) +5(y - 5) +7(z + 2) = 0.

9x - 5y - 7z - 7 = 0.

将直线 l

₁

与  的方程联立：

 

 

























0 7

7 5

9

0 4

3

0 4

2 z y

x

z y

x

z y

x

 







 











1 1 1 1 0

0

0 1

0

0 0

1 A

解得： x =1, y = -1, z =1.

这就是 l

₁

与  的交点 N 的坐标 (1,-1,1).

直线与平面的位置关系

直线 � 的方向向量 s = MN = (-1,-6,3).

l 的方程 :

3 . 2 6

5 1

2  



 



 y z

x

直线与平面的位置关系

29

3. 平面束

设直线

l

的方程是





















) 2 ( 0

) 1 ( 0

2 2

2 2

1 1

1 1



 D

z C y

B x

A

D z

C y

B x

A

除方程

(2)

所表示的平面外，经过直线

l

的所有平面都可 由下式表示：

) 3 ( 0 )

(

_{2 2 2 2}

1 1

1

1x



B y



C z



D



A x



B y



C z



D



A



经过直线

l

的平面全体称为过

l

的平面束

.

方程

(3)

称为过直线

l

的平面束方程

.

直线与平面的位置关系

例14 求直线

3 2 1

5 4

: 4  



 

 y z

l x

在平面

: 2x + 2y + z -11=0

上的投影直线

.

解 (1)过直线

�

作一平面

�′

与

�

垂直，则

�′

与

�

的交线

�’

就是

�

在

      �

上的投影

将

�

的方程改写为一般式

直线与平面的位置关系

31

过

l

的平面束方程为

x + 4y - 24 +  (3y + z -17) = 0

即

x + (4 + 3  _{) y +}  z - (24 + 17_{) = 0}

其法向量为

n’ =(1, 4 + 3  _,  _),

由

_’ _可得:

直线与平面的位置关系

0 10

7 1

) 3 4

( 2 1

2

'         

 _n   

n  

7

，

10

 

_’

^{的方程为：}

0

，

7 )

24 170 7 (

) 10 7 4 30

(     

 y z

x

即

7x - 2 y - 10z + 2 = 0

直线

l

在



^{上的投影为}





















0 11

2 2

0 2

10 2

:' 7

z y

x

z y

l x

直线与平面的位置关系

33

解（ 2 ） ^作过

_l

^且与



^垂直的

 _’.

^则

_l

^上的点

_{M(4, 5, 2)}

^在

 _’

^上

) 10 , 2 , 7 ( 1

2 2

3 1

'    4   









  i j k

n s n

取

0 )

5 (

10 )

5 (

2 )

4 (

7 :

'       





x y z

0 2

10 2

7x  y  z  

即

所以

l

在



^{上的投影直线为：}





















0 11

2 2

0 2

10 2

:' 7

z y x

z y

l x

直线与平面的位置关系

学到了什么

点向式方程 参数式方程 一般式方程

直线与直线的位置关系

直线与平面的位置关系