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8.3 高阶微分方程

8.3.2 二阶线性微分方程——降阶法和常数变易法 8.3.3 二阶常系数齐次线性方程

一、相关问题

质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 在无外 力 作用下做自由运动，取其平衡位置为原点建立坐标系如右图，

设t0时物体的位置为xx0，初始速度为v0.

1.求无阻尼自由振动情况 (n0) _{物体的运动规律.}

2.求有阻尼自由振动情况物体的运动规律.

弐、相关知识

1.已知二阶线性微分方程的一个特解y1，如何求出该方程的通解？

2．二阶常系数齐次线性方程的线性无关的特解之间有什么关系？

3．对于二阶齐次线性微分方程yP x y( ) Q x y( ) 0_，

当系数P x Q x( ), ( )_满足 时，方程有一个特解y x

；

当系数P x Q x( ), ( )满足 时，方程有一个特解^{y e x}

；

当系数P x Q x( ), ( )_满足 时，方程有一个特解y e ^x.

4.写出下列方程的特征根.

(1)^{y 4y0}; (2)y⁽⁴⁾5y6y8y0; (3)^{y6y13y0}; (4)y⁽⁴⁾5y36y0.

三、练习题

1. 求方程y⁽⁴⁾^4y0的通解其中0

2. 求方程 1 1

1 1

y x y y x

x x

   

  的通解.

3. 求解y⁽⁵⁾y⁽⁴⁾2y⁽³⁾  y y 0_.

四、思考题

下面解法是否正确？如果不正确，如何改正？求方程(1x y²) 2xy0的通解.

解 特征方程为(1x r²) ²2xr0，特征根为： 1 2 2

0, 2

1 r r x

   x

 ^{，从而通解为}

1^{2 2}

1 2

x

y c c e^x ^.