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5.5 曲面及其方程

一、相关问题

1. 满足方程x²y² 1的点的集合在平面直角坐标系和空间直角坐标系中分别构成一

个什么图形？

答：满足x² y² 1的点在平面直角坐标系中构成一个以原点为圆心的单位圆；在空 间直角坐标系中构成一个以z轴为对称轴，到对称轴距离为1的圆柱面（即准线在

2 1

2y 

x 圆周上、母线平行于z_{轴的圆柱面）.}

2．怎么定义一般曲面的方程？

答：若曲面C上的点的坐标都满足方程F x y z( , , ) 0 ，而不在曲面C上的点的坐标都

不满足方程F x y z( , , ) 0 ，则称方程F x y z( , , ) 0 为曲面C的方程.

二、相关知识

1 ． 证 明 如 果 a²b²c² d 0^{， 那 么 由 方 程}

2 2 2 2 2 2 0

x y z  ax by cz d 

给出的曲面是一球面，并求出球心坐标和半径.

证：原方程可化为：(x a )²(y b )² (z c)² a²b² c² d

即^{(x ( a))2(y ( ))b 2  (z ( ))c 2 }



^{a2b2 c2 d}



^2，

该方程即表示一球面，球心坐标为(  a b c, , )，半径为 a²b²c²d ^. 2．已知椭球面方程

2 2 2

2 2 2 1

x y z

a b c  ^{(c a b  )}，试求过x轴且与椭球面的交线是圆 的平面.

解：不妨 设过x轴的平面z ky ，它与椭球面的交线为

2 2 2 2

2

2 2 2 1

x c b k a b c y

z ky

 

 



 



，如果该交线是圆，则圆心为原点，又因交线关于x_{轴对称，并}

且(a,0,0)在这条交线上，故该圆可看成以原点为球心，a_{为半径的球与平面}z ky _的

交 线 ， 即











 ky z

a z y

x^{2 2 2 2}

亦 即 







 

 ky z

a y k a

x 1 ₂ 1

2 2 2

2

， 比 较 上 述 两 个 方 程 组 得

2 2 2 2

2 2 2

( )

( )

c b a k b a c

 

 ^{，故所求平面方程为：}

2 2 2 2 0

y z

b a a c

b  c   .

3．什么是旋转曲面方程？一条平面曲线绕坐标轴旋转所得到的曲面S的方程有什么特 点？

答：在空间，一条曲线C绕一定直线L旋转一周所成的曲面称之为旋转曲面；一条平 面曲线绕坐标轴旋转所得到的曲面S的方程的特点是：在平面方程中，轴坐标不变，另一 个坐标换成到该轴的距离。例如在 yoz坐标面上有一已知曲线，它的方程是 f(y,z)0_， 则这曲线绕Z旋转一周的旋转曲面方程是： f( x² y²,z)0.

4．二次曲面方程及其分类；

答：对于不含交叉项的二次曲面方程：

2 2 2

1x 2y 3z 2a x14 2a y24 2a z a34 44 0

        ，通过坐标变换可化为下列简单方程 之一：

2 2 2

1 2 3 1 2 3

(1) :x  y z  d 0,   0;

(1.1)d 0.

(1.1.1) , ,  _{1 2 3同号但与d异号，它表示椭球面}.

1 2 3

(1.1.2) , ,   与d同号,它表示虚椭球面.

(1.1.3)d与  1, ,2 3中的一个同号，它表示单叶双曲面.

(1.1.4)d与  1, ,2 3中的两个同号，它表示双叶双曲面.

0 ) 2 . 1

( d  .

(1.2.1)   ₁, ,_{2 3}同号，它表示一个点，即原点(0,0,0). (1.2.2)   ₁, ,_{2 3}不全同号，它表示二次锥面.

2 2

1 2 34

(2)x  y 2a z d 0. _{1 2} 0.

(2.1)a34 0.

(2.1.1) , _{1 2}同号，它表示椭圆抛物面.

1 2

(2.1.2) ,  异号，它表示双曲抛物面.

(2.2)a34 0.

(2.2.1) , _{1 2}同号，但与d异号，它表示椭圆柱面.

(2.2.2) , _{1 2}与d同号，它表示虚椭圆柱面.

(2.2.3) , _{1 2}同号，但d 0,它表示一对相交于一条实直线的虚平面.

(2.2.4) , _{1 2异号，且d 0}.它表示双曲柱面. (2.2.5) , _{1 2}异号，但d 0，它表示一对相交平面.

(3)₁x²2a y₂₄ 2a z d₃₄  0.

(3.1)a a₂₄, ₃₄中至少有一个不为0，它表示抛物柱面.

(3.2)a₂₄ a₃₄ 0.

(3.2.1)_1与d异号，它表示一对平行平面.

(3.2.1)₁与d同号，它表示一对虚的平行平面.

(3.2.3)d 0,它表示一对重合平面.

三、练习题

1．下列方程表示什么曲面？

（1）x²y²z²2x2y4z50；

解：原方程可化为：(x1)²(y1)² (z 2)² 1，它表示以(1, 1, 2) _为球心，1 为半径的球面.

（2）x²y²z²2x4z50；

解：原方程可化为：(x1)²y² (z 2)² 0，它表示一个点(1,0, 2) . （3）x²y²z²2x2y100.

解：原方程可化为：(x1)²(y1)²z²  8，它表示以(1, 1,0) 为球心的虚球面.

2．将xoy_{平面上双曲线 1}

2 2 2

2  

b y a

x 分别绕

x

轴和 y 轴旋转一周，求所形成的旋转 曲面方程.

解：绕

x

轴：利用旋转曲面的方程，点P x y z( , , )_{在旋转面上当且仅当}

2 2 2 2 2 2

1 1 1

1

2 2

1 1

2 2

1

0 1 0

x y z x y z

x x

x y

a b

z

     

  



 



 

，消去x y z1, ,1 1_{得曲面方程为：}x²₂ y₂² z²₂ 1 a b b  ^.

同样可得绕y轴旋转所得曲面方程为：

2 2 2

2 2 2 1

x y z

a b a  ^.

3．直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得的旋转曲面称为圆锥面，两直线

的交点称为圆锥面的顶点，两直线的夹角



（

0 2）称为圆锥面的半顶角。试求顶 点在坐标原点O，旋转轴为

z

轴，半顶角为



的圆锥面方程.

解：见教材P38-39例5.5.4.

四、思考题

1．过x_轴和y_{轴分别作动平面，交角}为常数，求交线的轨迹方程.

解：设过x_轴和y_{轴的方程分别为：B1yC1z0,B2xC2z 0,则两平面的法向}

量分别为n₁ (0,B₁,C₁),n₂ (0,B₂,C₂)_,而

1 2

1 2 2 2 2 2

1 1 2 2

cos cos ( , ) C C

B C B C

   

  

n n ， 再 与 两 平 面 方 程 联 立 消 去

2 2 1

1,C ,B ,C

B ，可得交线的轨迹方程为：x y^{2 2}cos²(y²z²)(x²z²) 0 ^. 2．将直线

0 1

x y  z



   绕z轴旋转，求旋转曲面的方程，并就 , 的可能值讨论

这是什么曲面.

解：任取母线上的一点M x y z1( , , )1 1 1 _，过点M x y z₁( , , )_{1 1 1 的纬圆为：}

1

2 2 2 2 2 2

1 1 1

z z

x y z x y z

 

     

 ^，又

1 1 1

0 1

x y  z



  

消去x y z1, ,1 1_{得到曲面方程为：}x²y²^{2 2}z ² 0 当 0, 0时候，旋转面为圆柱面(以z轴为轴)；

当 0, 0时，旋转面为圆锥面（以z轴为轴）;

当 0, 0时，旋转面变为z轴;

当 0, 0时，旋转面为单叶双曲面.

3．求一条空间曲线绕固定轴旋转所得到的旋转曲面S的方程.

答：设曲线C的方程为 ( , , ) 0 ( , , ) 0 F x y z G x y z

 

 

 ^{（1），轴l经过点P x y z0( , , )0 0 0 ，方向向量} ( , , )l m n



v _。点P x y z( , , )S _{当且仅当存在点}P x y z₁( , , )_{1 1 1} C_，使得点P位于过点P1_的

纬 圆 上.该 纬 圆 可 看 成 是 过 点 P1且 垂 直 于 轴l的 平 面 与 一 球 面 的 交 线 ， 这 一 球 面 以

0( , , )0 0 0

P x y z 为 球 心 ， 以 P P_{0 1}  (x₁x₀)²(y₁y₀)²(z₁z₀)²

为 半 径 ， 因 此 有

2 2 2 2 2 2

0 0 0 1 0 1 0 1 0

1 1 1

1 1 1

1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0

( , , ) 0 ( , , ) 0

x x y y z z x x y y z z

l x x m y y n z z F x y z

G x y z

           

      

 

 



，

消去x y z1, ,1 1便可得到曲面S的方程.

或 首先从（1）式中联立解出x f(z),y g(z) ，所以，所求旋转曲面S的方程为 )

( )

( ²

2 2

2 y f z g z

x    .