习题课（二）二阶微分方程的解法及应用

二阶微分方程的 习题课 ( 二 )

二、微分方程的应用

解法及应用

一、两类二阶微分方程的解法

第七章

一、两类二阶微分方程的解法

1. 可降阶微分方程的解法 — 降阶法 )

d ( d

2 2

x x f

y 



d ) , d d (

d

2 2

x x y

x f

y 

 ^令 x

x y

p d

) d ( 

) , d (

d f x p

x p 

d ) , d d (

d

2 2

x y y

x f

y 

 ^令 x

y y

p d

) d ( 

) , d (

d f y p

y p p  逐次积分求解

2. 二阶线性微分方程的解法

• 常系数情形 齐次

非齐次 代数法

• 欧拉方程

y

x²   pxy  qy  f (x) D t

x ^t

d , d

e 

令 



^{D(D 1)  pD  q}



^{y  f (et )}

练习题 : P353 题 2 (2)

;

^{3 (6) ,}

(7) ;

^{4 (2)} ；

解答提示

P353 题 2 (2) 求 以

x

x C

C

y  ₁ e  ₂ e² _{为通解的微分方程} . 提示 : 由通解式可知特征方程的根为r₁  1, r₂  2 ,

故特征方程为 (r 1)(r  2)  0 , 即 r²  3r  2  0 因此微分方程为 y   3y  2y  0

P353 题 3 求下列微分方程的通解

, 0 1

) 6

( yy   y²   (7) y   2y  5y  sin 2x . 提示 : (6) 令y  p( y) , _{则方程变为}

, 0 d 1

d  p₂   y

p p

y y

y p

p

p d

1 d

2  即 

特征根 :

x y

y

y 2 5 sin 2 )

7

(     

, i 2

2 1

,

1    r

齐次方程通解 : Y  e^x (C₁ cos 2x  C₂ sin 2x) 令非齐次方程特解为 y*  Acos 2x  Bsin 2x

代入方程可得 A  ¹₁₇ , B  ^4₁₇

思 考

若 (7) 中非齐次项改为sin² x,

提示 : sin² x  ^1cos₂ ^2x , 故 y*  Acos2x  Bsin 2x  D 原方程通解为

x x sin 2 2

cos ₁₇⁴

17

1 



) 2 sin 2

cos (

e C₁ x C₂ x

y  ^x 

特解设法有何变化

?

P354 题 4(2) 求解 y   ay²  0 ,

0  0



y x y _x0  1 提示 : 令y  p(x), _{则方程变为} ²

d

d a p

x p  积分得 1 ,

C1

x p  a 

 _利用 p _x0 y _x0  1 得 C₁ 1

再解 ,

1

1 d

d

x a x

y



  _并利用 y _x0  0 , 定常数 C₂ .

思考 若问题改为求解

 



^{y   12 y3  0}

,

0  0



y x y _x0 1 则求解过程中得 ,

1

2 1 p x

  问开方时正负号如何确定 ?

x x

C x

C

y  ₁ cos  ₂ sin  特征根 : r_1,2  i,

例 1. 求微分方程 ² ,  π



  y x x y

,

0  0



y x y _x0  0 , 提示 :当x  ₂^π 时,

故通解为

) (

sin   ₂^π



 x x x

y

2π

, 0

4  

  y x

y ^满足条件

2π

 在 x

解满足 y   y  x ,

0  0



y x y _x0  0 处连续且可微的解 .

设特解 : y^  Ax  B, _{代入方程定} A, B,

得 y^  x ,

0 ,

0 ₀

0   _ 

 x

x y

利用 y 得

2



由 x _{处的衔接条件可知} , 当x  ₂^ 时, 0

4 

  y y

, 1 ₂

2

_    

y x 1

2 

 _x y

解满足

故所求解为

2 2

12sin 2  (1 ^)cos2 ,  ^

 x x x

, sin x x

y    x  ^₂

x C

x C

y  ₁ sin 2  ₂ cos 2 其通解 :

定解问题的解 : y   ¹₂sin 2x  (1 ^₂) cos2x, x  ^₂



  y

例 2. 设 f (x) 二阶导数连续, 且满足方程



^



 x ^x x t f t t x

f ( ) sin 0( ) ( )d .

) (x 求 f

提示 : ( ) sin ( )d ( )d ,

0

0





^



 x x ^x f t t ^xt f t t x

f _则

x x

f ( )  cos

) ( sin

)

(x x f x

f    



 ^x f t t

0 ( )d  x f (x)  x f (x)

问题化为解初值问题 : f (x)  f (x)  sin x ,

0 )

0 ( 

f f (0)  1

最后求得 x x

x x

f cos

sin 2 2

) 1

(  

思考 : 设^{( ) e}x  ^x x



₀ ^x⁽ x u ) d , (0) 0,u  

? ) (x 如何求 

提示 : 对积分换元 ,

, u x t 

令 则有



^





 x ^{x x} t t

0 ( )d e

) (

) ( e

)

(x  ^x   x



解初值问题 :

x x

x) ( ) e

(   



, 0 )

0 ( 

 ^{(0) 1}

答案 :  x  ^x x   e^x 4

) 1 1 2

( 4 e

) 1 (

的解 .

例 3.

^设函数 y ^ y⁽x⁾在 ^{(,)}

, )

( )

( ,

0 x x y 是 y y x 的反函数

y   

内具有连续二阶导

(1) 试将 x ＝ x( y) 所满足的微分方程

变换为 y ＝ y(x) 所满足的微分方程 ;

(2) 求变换后的微分方程满足初始条件 0

d ) )(d sin

d (

d ₃

2

2   

y x x

y y x

, 0 )

0 (  y

数 , 且

2 ) 3

0 (  y

解 : 1 ,

d d

y y

x

  1,

d

d 

 y y x

即 上式两端对 x 求导 , 得

(1) 由反函数的导数公式知

(2003 考研 )

0 d )

)(d sin

d (

d ₃

2

2   

y x x

y y

x 1 ,

d d

y y

x

 

0 )

d ( d d

d ₂

2

2  

  y

y x y

y x

2 2

2

) (

d d d

d

y

y y x

y x









 ( y )3

y



 

 代入原微分方程得

x y

y    sin _①

(2) 方程①的对应齐次方程的通解为

x

x C

C

Y  ₁ e  ₂ e^

设①的特解为 y^  Acos x  Bsin x, _{代入①得 A ＝ 0,} 1 ,





B 1sin ,

x y^  

故 _{从而得①的通解} :

x C

C

y ^{x x} sin

2 e 1

e ₂

1  

 ^

由初始条件 ,

2 ) 3

0 ( ,

0 )

0

(  y 

y _得

1 ,

1 ₂

1  C  

C

故所求初值问题的解为

x

y ^{x x} sin

2 e 1

e  

 ^

二、微分方程的应用

1 . 建立数学模型 — 列微分方程问题

建立微分方程 ( 共性 ) 利用物理规律 利用几何关系

确定定解条件 ( 个性 )

初始条件 边界条件

可能还有衔接条件 2 . 解微分方程问题

3 . 分析解所包含的实际意义

例 4.

解 :

欲向宇宙发射一颗人造卫星 , 为使其摆脱地球 引力 , 初始速度应不小于第二宇宙速度 , 试计算此速度 .

设人造地球卫星质量为 m , 地球质量为 M , 卫星 的质心到地心的距离为 h , 由牛顿第二定律得 :

2 2

2

d d

h

m M G t

m h  

②

0 , 为v

(G 为引力系数 )

则有初值问题 :

2 2

2

d d

h M G t

h  

又设卫星的初速度 已知地球半径 R  6310⁵，

0 ③

0 d 0

, d v

t t R h

h _t   

2 ②

2 2

d d

h M G t

h  

③

0 d 0

, d v

t R h

h _t  

), d (

d v h

t h 

设 ,

d d d

d

2 2

h v v

t

h 

则 _{代入原方程② , 得}

d 2

d

h M G h

v v   h

h M v G

v d   ₂ d

两边积分得 C

h M v²  G  2

1 利用初始条件③ , 得

R M v G

C  ₀²  2

1

因此

 

R M h

G v

v 1 1

2 1 2

1 ₂

2  0  

 



2

2 lim 1 v

h v G M R1

2 1 ₂

0  注意到

 



2

2 lim 1 v

h v G M R1

2 1 ₂

0 

为使 v  0, v₀ 应满足 R

M v 2G

0 

因为当 h = R ( 在地面上 ) 时 , 引力 = 重力 , )

s m 81 . 9

( ²

2  m g g 

R

m M G

即

2g , R M

G 

故

④

代入④即得

81 . 9 10

63 2

2 ⁵

0  R g    

v

) s (m 10

2 .

11  ³



这说明第二宇宙速度为 11.2 km s

求质点的运动规律 例 5.

上的力 F 所作的功与经过的时间 t 成正比 ( 比例系 数 初始位移为s₀, 初始速度为v₀,

).

(t s s 

提示 : d ,

0

t k s

s F

s 



由题设 两边对 s 求导得 :

s k t

F d

 d ^{牛顿第二定律}

s k t

t m s

d d d

d

2 2 

m k t

s t

s ²₂  d

d d

d

t d

d

 

²

d d

t s

m k  2

 

²

d d

t s

1

2 t C m

k 

 ^…

为 k),

开方如何定 + – ?

已知一质量为 m 的质点作直线运动 , 作用在质点

例 6. 一链条挂在一钉子上 , 启动时一端离钉子 8 m 另一端离钉子 , 12 m ,

力 , 求链条滑下来所需的时间

. 解 : 建立坐标系如图 设在时刻. t , 链条较长一段

x O

x

下垂 x m ,又设链条线密度为常数

 ,

_{此时链条受力}



F x g  (20  _x) _g  2(x 10) g 由牛顿第二定律 , 得

2 2

d 20 d

t

 x  2(x 10) g ,

0 12



x t 0

d d

0





t t

x

g g x

t

x    d 10

d

2 2

如不计钉子对链条所产生的摩擦

,

0  12



x t dx  0

g g x

t

x    d 10

d

2 2

10 e

e ^0.1 ₂ ^0.1

1  

 C ^{g t} C ^{ g t} x

由初始条件得 C₁  C₂ 1, _{故定解问题的解为}

解得 2

4 )

10 ( e 10

1 2 .

0 _{g t}  x    x 

) ,

1

(左端  舍去另一根 (s)

微分方程通解 :

10 e

e ^0.1  ^0.1 

 ^{g t  g t} x

0 1

e ) 10

( )

(e ^{0.1g t 2}   x ^{0.1g t}   当 x = 20 m 时

,

) 6 2

5

10 ln( 

 _g t

思考 : 若摩擦力为链条 1 m 长的质量 , 定解问题 数学模型是什么 的?

摩擦力为链条 1 m 长的质量 时的数学模型 为

不考虑摩擦力时的数学模型为

 g



1

3 (s)

22 4

ln19

10 

 g t

2 2

d 20 d

t

 x  2(x 10) g ,

0 12



x t 0

d d

0





t t

x

2 2

d 20 d

t

 x  2(x 10) g ,

0  12



x t 0

d d

0





t t

x 此时链条滑下来

所需时间为

x O

x

y

O

y

练习题

从船上向海中沉放某种探测仪器 , 按探测 要求 , 需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的 函数关系 设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉. , 在下沉过程中还受到阻力和浮力作用 , 设仪器质量为

m,体积为 B , 海水比重为 ,

仪器所受阻力与下沉速度成正 比 , 比例系数为 k ( k > 0 )

, 试建立 y 与 v 所满足的微 方程 , 并求出函数关系式 y = y (v) . 分 (1995 考研 )

提示 : 建立坐标系如图 .

质量 m 体积 B

由牛顿第二定律



 B

2 2

d d

t

m y  ^重力mg ^浮力 ^阻力k v v

y d d

2

2   dv dy v

v d 注意 : 







B g

m

v k B

g m k

B g

m v m

k y m







 



 ( ) ln

2

v k B

g y m

v v

m    

d d

初始条件为 v _{y 0}  0

用分离变量法解上述初值问题得

作业 P348 4 , 6 ;

P353 3 ⁽⁸⁾ ; 4 ^{(2) ,(4)} _； 7 ; *11 ⁽¹⁾

得

y

O

y

质量 m 体积 B

备用题 y   (x)y  f (x) _有特 1 ,

y  x

解 _{而对应齐次方程有解} y  x², 求 (x ,) f (x) 及 微分方程的通解 .

解 : _将 y  x² _代入 y   (x)y  0,

x 1x )

(   得

代入

再将 y  1x 1 ( ) x f x y

y    

3

) 3

(x x

f 

得

故所给二阶非齐次方程为 1 3₃ y x

y   x   ),

(x p y 

令 方程化为 1 3₃ p x

p  x  1. 设二阶非齐次方程

一阶线性非齐次方程

3

3 1

p x p  x 

故 y  p  ^{ xd x}

1

e

x x² C¹

1  





再积分得通解 2 2 1

1 C x C

y  x   ( C₁  ¹₂ C₁ )



³₃ ^{e 1d d x C}₁



x

x x  







) ( )

(x y f x P

y  

 

^



 ^ f x ^ x C

y e ^P(x)dx ( )e ^{P(x)d x}d 复习 : 一阶线性微分方程

通解公式 :



₃²



2 2 2

2 1

) ( )

( r

y r r

r f r y y f

u     







₃²



2 2 2

2 1

) ( )

( r

z r r

r f r z z f

u     





2. 设函数 u  f (r) , r  x²  y²  z² 在 r > 0 内满 拉普拉斯方程 ₂ 0, 足

2 2

2 2

2 



 



 





z u y

u x

u 其中 f (r) _二阶可导 ,

, 1 )

1 ( )

1

(  f  

f _{试将方程化为以 r 为自变量的常微分} 方程 , 并求 f

(r) .

提示 :

r r x x f

u  ( )



   





2 2 2

2

) ( r

r x x f

u ^{f (r)}





r 1

3 2

r

 x

利用对称性 ,

0 )

2 ( )

(   

 f r r r

f

即 r² f (r)  2r f (r)  0 ( 欧拉方程 )

原方程可化为 且

0 )

( 2

)

2 f (r  r f  r  r

, ln r t 

令

1 )

1 ( )

1

(  f   f

1 . 2

)

(r r

f  

解初值问题 :

d , d D  t

记 _{则原方程化为} 0

] 2 )

1 (

[D D   D f  即 [D²  D] f  0 通解 : f (r)  C₁  C₂ e^t

C r

C 1

2 1 

 利用初始条件得特解 :