一、一般概念 - DrHuang.com

§3 线性微分方程

一、一般概念

[齐次线性微分方程与非齐次线性微分方程] 设微分方程

           

0

d d d

d d

d

0 1 1

1 1

0  ^_   _ a x y R x a x 

x x y x a

x y x a

x y

a _{n n}

n n n

n

 (1)

如果方程中的未知函数y

 

x 及其各阶导数

n n

x y x

y x y

d ,d d ,

,d d d

2 2

 都是一次的，这种方程称为线性微 分方程.因为a₀

 

x 0，所以（1）称为n阶线性微分方程. 当R

 

x ⁰，(1)称为齐次线性微 分方程.当R

 

x _/ 0，(1)称为非齐次线性微分方程.如果^a₀

   

^x ,^a₁ ^x ,,^an

 

^x 都是常数，(1) 就称为常系数线性微分方程.

[解的存在和唯一性定理] 如果a₀

   

x ,a₁ x ,,a_n

 

x 和R

 

x 在区间



x₀,x₀ 

 

 0



内连续，且a0

 

x ⁰，那末对任意给定的初始条件

   

^{ }

 

0 1

1 1

0 0

0 b , yx b, ,y ^n x b_n x

y 

方程(1)存在唯一解y y

 

x ，式中_{b0,b1,,bn1}为实数.

[函数的线性相关性] 对于一组函数^y₁

   

^x ,^y₂ ^x ,,^yn

 

^x ，如果有不全为零的常数 cn

c

c₁, ₂,, ,使等式

 

2 2

   

⁰

1

1y x c y x  c y x 

c  _{n n}

在区间

 

a,b 上成立，则称这组函数y₁

   

x ,y₂ x ,,y_n

 

x 在区间

 

a,b 上线性相关.否则称这组 函数线性无关（线性独立）.

[朗斯基行列式] 如果y₁

   

x ,y₂ x ,,y_n

 

x 是n个n1次可微的函数，则称行列式

   

   ¹  ¹

2 1 1

2 1

2 1

2

1, , ,











 



n n n

n

n n

n

y y

y

y y

y

y y

y x W y y y W

















为函数^y₁

   

^x ,^y₂ ^x ,,^yn

 

^x 的朗斯基行列式.

朗斯基行列式具有以下性质：

1^o 如果函数^y₁

   

^x,^y₂ ^x,,^yn

 

^x 线性相关，那末它们的朗斯基行列式



y1^,y2^{, ,}y_n



⁰

W 

2^o 如果函数y₁

   

x ,y₂ x ,,y_n

 

x 是某齐次线性微分方程的解，那末它们线性相关的充分 必要条件是它们的朗斯基行列式



y1^,y2^{, ,}y_n



⁰

W 

[n阶齐次线性微分方程解的结构] 如果n阶齐次线性微分方程

 

^{ } ₁

 

^{ 1} ₁

   

0

0 x y a x y ^  a _ x ya x y

a ^{n n}  _{n n} ， a₀(x)0

有n个线性无关的解^y₁

   

^x ,^y₂ ^x ,,^yn

 

^x .那末它的通解是这n个解的线性组合，即

 

^{x c y}

 

^{x c y}

 

^{x c y}

 

^x

y  _{1 1}  _{2 2}  _{n n}

其中c₁,c₂,,cn是任意常数.这时又称y₁

   

x ,y₂ x ,,y_n

 

x 为所给齐次线性微分方程的一组基 本解.

[n阶非齐次线性微分方程解的结构] 非齐次线性微分方程的通解是它的一个特解与对应 齐次方程的通解之和，即

 

x y

 

x c y

 

x c y

 

x c y

 

x y  ^*  _{1 1}  _{2 2}  _{n n} 式中c₁,c₂,,cn为任意常数.

二、常系数线性微分方程

1. 齐次线性微分方程通解的求法

[特征方程与特征根] 对于n阶实常系数齐次线性微分方程

1 0

) 1 ( 1 ) (

0y a y ^  a _ ya y

a ^{n n}  _{n n , a0 0} (2) 作相应的n次代数方程

0 ,

0 ₀

1 1

1

0 a ^  a _ a  a 

a ⁿ ⁿ  _n  _n (3) 称它为微分方程(2)的特征方程，特征方程(3)的n个根₁,₂,,_n称为相应微分方程(2)的 特征根.

[齐次方程的通解] 为了求n阶常系数齐次线性微分方程(2)的通解，只要找出它的n个

线性无关的特解就可以了.根据其全体特征根的各种情况，分别列出对应的线性无关特解.

特 征 根 对应的线性无关特解

j(j = 1,2,…,n)是互异实根 yj(x) = e^λjx(j = 1,2,…,n)





 ⁱ 是特征方程的单根，则





  i 也是特征方程的单根

y1(x) = e^xcosβx y2(x) = e^xsinβx

是特征方程的r重实根 y₁(x) = e^x, y₂(x) = xe^x,…，

yr(x) = x^r-1e^x





 i 是特征方程的r重复根，则





  i 也是r重复根

x e

x x y

x xe

x y x e

x y

x e

x x y

x xe

x y x e

x y

x r r

x r

x r

x r r

x x

























sin )

( ,

, sin )

( , sin )

(

, cos )

( ,

, cos )

( , cos )

(

1 2

2 1

1 2 1

























2. 非齐次线性微分方程特解的求法 给定n阶非齐次线性微分方程

  a y  a y a y R

 

x

y

a₀ ⁿ  ₁ ^n1  _n1  _n  它的特解可用下面两种方法来求.

[常数变易法] 设其相应的齐次线性微分方程的通解是

 

x cy

 

x c y

 

x c y

 

x y  _{1 1}  _{2 2}  _{n n} 那末非齐次线性微分方程有一个特解

 

x c

   

x y x c

   

x y x c

   

x y x y^*  _{1 1}  _{2 2}  _{n n} 式中^cj

  

^{x j}1,2,,ⁿ



是待定函数，它们的导数满足方程组











 



 

 

 

 

 

 





 



 

 





 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

) (

0 ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (

0 ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (

) 1 ( )

1 ( 2 2 )

1 ( 1 1

2 2 1

1

2 2 1

1

x R x y x c x

y x c x y x c

x y x c x

y x c x y x c

x y x c x

y x c x y x c

n n n n

n

n n

n n















































例 求微分方程

   y y sec x 的通解.

解 先求其相应的齐次方程y  y 0的通解.

因特征方程² 1 0，有特征根₁i,₂  i.于是齐次方程的通解为

 

x c x c x

y  ₁cos  ₂sin 利用常数变易法求非齐次方程的一个特解y*(x) .令

 

^{x c}

 

^{x x c}

 

^{x x}

y^*  ₁ cos  ₂ sin 而c₁(x),c₂(x)由下列方程组确定

   

   





 

 



 

 

x x

x c x x c

x x c x x c

sec cos

sin

0 sin cos

2 1

2 1

解方程组得

 

,

 

1

cos sin

2

1   c x 

x x x

c 积分后得

 

1 2

 

2

1 x lncosx k ,c x x k

c     （k₁,k₂是任意常数）

（因为只要一个特解，可令k₁=k₂=0）,所以原方程的通解为

 

^{x c x c x}



^x



^{x x x}

y  ₁cos  ₂sin  lncos cos  sin

[待定系数法] 对特殊类型的R

 

x ，可把特解^y*

 

^x 的待定表达式及其相应的各阶导数代 入原微分方程，然后比较同类项系数，定出y^*

 

x 的待定表达式里所含的系数A_i,B_i，最后得 出方程的特解y^*

 

x .现在把部分情况下的特解形式列表如下：

R(x)类型 特解y^*(x)的待定表达式

1 1

2 1

sin cos



   





k k

k k

x

a x a x

a x a

x b

x a

ae









1 1

2 1

sin cos



   





k k

k k

x

A x A x

A x A

x B

x A

Ae









 

 

 

 



 

1



1 2

1 1

1 2 1

1

1 2 1

1 1

2 1

1 1

2 1

sin cos

sin cos

. sin

cos



































































k k k

k ax

k k

k k

x

k k

k k

k k k

k

k k k

k x x

b x b x

b

x b x e

a x a

x a x a x e

x b

x b

x b x b x

a x a x

a x a

a x a x

a x a e

x b x a

e





























 

 

 

 



 

1



1 2 1

1

1 2 1

1 1

2 1

1 1

2 1

1 1

2 1

sin cos

sin cos sin

cos



 











 















































k k

k k

x k

k k

k x

k k k

k

k k k

k

k k k

k x x

B x B

x B x B x e

A

x A x

A x A x e

x B

x B x

B x B

x A

x A x

A x A

A x A x

A x A e

x B x A e































表中a,b,a_j,b_j



j 1,2,,k1



为已知常数；k是正整数，如果R

 

x 的两个多项式的次 数不相同，则取k为次数较大者；A^,B^,A_j^,B_j



j^1,2,^,k¹



是待定常数.

表中右栏表达式分别是（自上而下）在,i,0,i, ,i,i不是其特征根的 情形下的特解^y*

 

^x 的待定表达式；如果它们是特征方程的_r重根，那末在表中的表达式上 再乘以x^r.

例 求解微分方程

x x y

y x

y sin2

d 2d d d

2 2 4

4   

解 先求相应的齐次线性方程y⁽⁴⁾+2y"+y=0的通解.

由特征方程⁴+2²+1=(²+1)²=0可知特征根=i都是二重根.所以齐次方程的通解为 y(x)=c₁cosx+c₂sinx+c₃x cosx+c₄x sinx

利用待定系数法，求非齐次线性方程的一个特解.由于R(x)=sin2x，属于表中第二类表达 式(a=0,b=1,=2)，同时i=2i不是特征根，所以特解应为y*(x)=Acos2x+Bsin2x.代入原方 程，比较同类项系数得

9 , 1

0 

 B A

所以特解是 ^y

 

^{x sin2x}

9

* 1

原方程的通解为

 

x c x c x c x x c x x x

y sin2

9 sin 1 cos

sin

cos _{2 3 4}

1    

 式中c₁,c₂,c₃,c₄是任意常数.

三、 欧拉方程

具有形状

d 0 d d

d d

d

1 1 1 1 1

0  ^{ }_   _ a y

x x y x a

x y x a

x y

a _{n n}

n n n n

n

n  (a₀,a₁,a₂,,a_n是常数) 的方程称为欧拉方程.

欧拉方程可以通过变量替换xe^t或tlnx化成未知函数_y关于新自变量t的常系数线性 微分方程.

例 求解欧拉方程

d 0 3 d d d

2 2

2   y

x x y x x y

解 令xe^t或t=lnx，原方程变成

dt 0 2d d d

2

2  y y 

t y

特征方程是

0 ) 1 ( 1

2 ²

2     



1

 ^{是二重根.通解为}

y=e^-t(c₁+c₂t) 所以原方程的通解是

  

c c x



x x

y 1 ln

2 1 



四、 齐次线性微分方程的幂级数解法

[具有幂级数形式的解] 一般变系数的齐次线性微分方程，不一定能找到用初等函数表 示的解，这时可以考虑求具有幂级数形式的解.

现以二阶齐次线性微分方程为例说明解法（高阶方程同样适用）.设

 

⁰

d )d d (

d

2

2  b x y

x x y x a

y

其中a

 

x 和b

 

x 在x x₀可展成幂级数.要求方程在x x₀附近的解，只要先假定这个解具有 幂级数形式

 

k

 

^k

k

x x a x

y ₀

0







^



然后形式地算出所需的各阶导数，代入原方程变成恒等式，确定待定的系数a_k从而得出所求 的幂级数解.

如果a

 

x ，b

 

x 在x x₀不能展成幂级数，比如是x的有理分式，而分母在xx₀等于 零，这时可试求具广义幂级数形式

    

^

 









0

0 0

k

k

k x x

a x

x x

y ^

的解，其中和a_k都是待定常数.

[求勒让德方程的解] 方程



¹x²



y²xyn



n¹



y ⁰ 称为勒让德方程，它的解称为勒让德函数.

在x=0附近，方程的系数可以展成幂级数，令

  

^





0 k

k kx a x

y 代入原方程，可以定出两个线性无关解

       

         



 



  



 





 



 





 



 





 



 

 



2

5 3

2

2

4 2

1

2;

;3 1 2 2 , 1

! 5

4 2 3 1

! 3

2 1

2;

;1 2 ,1 2

! 4

3 1 2

! 2 1 1

n x xF n

n x n n x n

n x n

x y

n x F n

n x n n x n

n x n

y





所以勒让德方程的通解为

 

^{x Ay}

 

^{x By}

 

^x

y  ₁  ₂

式中A,B是任意常数，F



,;;x



是高斯超几何级数.

若n为整数，则y₁

 

x 与y₂

 

x 中有一个为多项式，另一个仍然是无穷级数.适当选取任意 常数A,B,使当x=1时，多项式的值为1，这个多项式称为勒让德多项式，记作^Pn

 

^x ，它属于 第一类勒让德函数.另一个则与P_n

 

x 线性无关，它是无穷级数，记作Q_n

 

x ，属于第二类勒 让德函数.此时，勒让德方程的通解为

 

^{x AP}

 

^{x BQ}

 

^x

y  _n  _n

式中A,B为任意常数.

[求贝塞耳方程的解] 方程



^{2 2}



⁰

2yxy x v y x

称为v阶贝塞耳方程，式中v为任意实数（或复数），它的解称为贝塞耳函数.

因方程系数

 

1,

 

1 ₂² x x v

x b x

a    ,在x=0不能展成幂级数，而是x的有理分式.令

  

^





0 k

k kx a x x

y ^

代入原方程，令 x各次幂的系数等于零，得 v ，先取^=v，得



n k



k a a

a _k ^k



 

 ^

, 2

0 ²

1

所以



^v

  

^v

 

^{v m}



m a a

a a

a

m

m m

m







 









 _







2 1

! 2

1

0

2

0 2

1 2 3

1

取 2



1



1

0   

a _v v ，得贝塞耳方程的一个特解，记作

      

0



1

! 1 2

0

2

2

 



 





^

 



m v v m x x

J

m

m v

m v m

v

它称为v阶第一类贝塞耳函数.

取v^{，得另一特解}

  

^

   

  





      

0

2

2

1

! 1 2

m

m v

m v m

v m v m

x x J

当v不为整数时，这两个特解线性无关，此时贝塞耳方程的通解为

 

x AJ x BJ

 

x y  _v( ) _v 式中A,B是任意常数.

当v=n为整数时，J_n(x)与J_n(x)线性相关.此时记

     



 _



 sin

limJ x cos J x

x

Nn n





 

它也是贝塞耳方程的一个解，而且与J_n

 

x 线性无关.称N_n(x)为n阶第二类贝塞耳函数.于是 贝塞耳方程的通解为

 

^{x AJ}

 

^{x BN}

 

^x

y  _n  _n

式中A,B是任意常数.