第五章特殊函数

第十二章 特殊函数

特殊函数一般是指某类微分方程的解又不能用初等函数的有限形式表示的函数.但是这

类函数在应用中是常见的,比如勒让德函数,贝塞耳函数及许多正交多项式等; 另外一些是由

特定形式的积分所定义的函数,如-函数,B-函数.还有从函数的周期性的角度来考虑的所谓椭

圆函数,这类函数与微分方程无关.本章除了介绍这些函数的概念外,还给出关于函数的一些积 分、级数和无穷乘积等表达式、渐近形式、函数之间的关系以及它们的常用性质.

本章引用如下符号

 

,( ) 1

) (

) ) (

1 (

) 1

( ₀ 





 







 a

a n n a

a a

a

a _n 

) (

!

) ( ) 1 ( ) 1

(

!

) 1 (

!

) 1 (

) 1 (

a n

a n n

a n

a n

n a a

a n

a ⁿ









 









 





 



 



 

式中n为正整数，a为任意数.

§ 1 由积分定义的特殊函数

一、 伽马函数（  -函数）

[-函数的定义与其他表达式]

1 (z) u^z e ^udu

0 1 

 





 ( Rez0) 右边称为第二类欧拉积分.

2



^

 



0 d

2 1 ) (

1 et t

i z

z t

 ^{(a r gt )}

积分路线从负实轴上无穷远处(t)出发，正向绕原点一

周，再回到出发点（图 12.1）

)

(z 是z的半纯函数，在zn(n0,1,2,)具有单极点，

相应的留数为 .

! ) 1 (

n

 n

3^



^

 

 



 

 



1 1

1) 1 1 ( ) ( ) 1 ( l i m ! )

(

k

z z

n

k z k z

n z z

z

n z n

 (z n) 4^



^



 



 



 



1

) 1 ) (

( 1

k

k z

z e

k ze z

z





式中 1 ln 0.57721566490153286060651 lim

1







 





 

 n

n m n

 m 称为欧拉常数。

[函数有关公式]

(z1)z(z) ( R ez0) (n1)n! (n为正整数) 特别 (1)(2)1

z z

z 

 s i n ) 1 ( )

(   

 （余元公式）

特别 2 (1

 ) 

z z z

z 

 s i n )

( )

( 











( 1)!



(1 ) ( 1,2,3, )

) sin (

) (

1

1

2 2

2   















^



k n n z

z z z

n z n

n

 k



z z

z 

 c o s 2 )

(1 2 )

(1    



( 1,2, )

) 1 2 ( 1 4 c o s

2) ( 1 2 )

( 1 2 )

( 1

1

2 2 2

 



 





 



 



















k n z z

n z

n z n

n

 k

( ) (2 ) ( )

1

1 2 ) 1 1 ( 2

1



^





  



 ⁿ

k nz n

n z k n

nz  (n1,2,) （乘法公式）

 

⁾

2 ( 1 ) 2 (

2

1 2









 z ^ z z

z

 （倍元公式）



n

n n

2

! )!

1 2 ) ( 2

( 1  



! )!

1 2 ( ) 2 1 ( 2) ( 1

 







 n n

n

n  (n1,2,)



^



 





1

1

) 1

2 ) ( 1 ( ) (

n

k

n

n n

k n

k 

1

) (

) lim (

2 









 n z

n n

n ( R ez 0)

[-函数的渐近表达式]

1 斯特林公式





    



 ^{     }

2488320 571 51840

139 288 1 12

2 ) (

4 3

2 1 2

1 z z z z

e z

z  ^{z z}





 





 ^{  } 

00 9029615616

534703531 0

7524679680 5246819 209018880

163879z ⁵ z ⁶ z ⁷

) ,

arg

( z  z  当zx为正实数时，

(i) ^(x) ²^xx21ex



¹^r(x)



式中 ( ) ¹² 1

1



e ^x x

r

(ii) n! 2n^n21e^n (n)

2 (a r g , )

) 1 2 ( ) 2

2 l n ( 2 ln 1

2) ( 1 ) ( ln

1

1 2

2  

 













^





 z z

k z k z b

z z

z

k

k

k 

 式中b_2k为伯努利数（§7）.

[可化为-函数的积分]



0^{   }



^{    }

1 0

1 1

1 1) d ( )

( l n

d t t z

t t e

t^{z t z }  ^z ( 0)



0^{    }

1

2 ( )

2 d 1

2 t z

e t ^{z t}

 





 





2 0

2

0 1)

(2 2 ) ( 1

d 2 cos d

sin

  

n n t

t t

t ⁿ

n (n1)



0^{    }

1ln d ( )

)

(t z t t t z

e ^{t z} ( R ez0)



^e^zt e^t dt (z)

)

, 2 0 , 1 ( R e )

c o s ( ) ( d

) s i n c o s (

0

c o s

1 ^{ }          



^{tze t t t z z z z}

)

, 2 0 , 1 ( R e )

s i n ( ) ( d

) s i n s i n (

0

c o s

1 ^{ }   ^      

  



^{tz e t t t z z z z}

( ) (Re 1,Re Im )

) (

) tan arc sin(

d

0 sin

2 2 2

1 z z a b

b a

a z b

t bt e

t^{z at} _z  





^{  }  ^

( ) (Re 1,Re Im )

) (

) tan arc cos(

d

0 cos

2 2 2

1 z z a b

b a

a z b

t bt e

t^{z at} _z  





^{  }  ^



0^{   }

1 ) ( )

c o s (2 d

c o s x x

t t

t^x 

) 0 (x



0^{   }

1 ) ( )

s i n (2 d

s i n x x

t t

t^x 

) 0 (x

二、 贝塔函数(B-函数)

[B-函数的定义与其他表达式]

^



0^{1   } 1

1(1 ) d

) ,

B(p q u^p u ^q u (Rep0,Req0) 右边称为第一类欧拉积分



^

 



 



0 !( )

) ( ) 1 ) (

1 1 (

) , B(

k

k

k p k

k a a

a q q

p  (q0)



^

  



 

0( )( )

) ) (

, B(

k p k q k

k q p q k

p (p,q0,1,2,) [B-函数的有关公式]

) (

) ( ) ) (

, B(

) ,

B( p q

q p p

q q

p  



 



B(p,q)B(pq,r)B(q,r)B(qr,p)B(r,p)B(rp,q)

 B( , 1)  B( 1, )B( , )B( 1, )B( , 1) q p q

p q

p q

p p q q p

q p q p

)

2 ,1 B(

2 ) ,

B(p p  ^12p p

^p

p p p p

p ) 2^{1 4}

2 , 1 2 B( 1 ) ,

B(    ^





 









 



 









 

1 1 1

1 )

, B(

1

m m n n n

m m n m

n (m,n为正整数)



^









0

) , 1 B(

) , B(

k

q p k

q p

[可化为B-函数的积分]



a^b(^t^a) ^1(^b^t) ^1d^t (^b^a) ^{ 1}B(^p,^q) (^b^a,Re^p0,Re^q0)

q p q

p

1B( , ) (Re 0,Re 0, 0)

d ) 1

1 (

0

1

1     



^{t t  t} _ ^_ ^{   }

d B( , ) ( , 0)

) 1 (

0

1 1







 



^{ t}_bt^{ma mn t abma m}_a ^{m n m}_a ^{a b}

¹[(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ¹]d 2 ¹B( , )

0

1 1

1 t t t t p q

t ^p  ^q   ^q  ^p  ^pq



 ^{(Rep0,Req0)}

d ( ) ( ) ( ) B( , )

) (

) ( )

( 1

1 1

q p c

a c b a

b c t

t

t b a

t p q p q

b

a p q

q

p    





    









(Rep0,Req0,cab)













 







1 1

2 2

1 2 1 2

) , B(

2 ) d

1 (

) 1 ( ) 1

( t p q

t t

t p q

q p

q

p (Rep0,Req0)



_  ^



 2

0 2 2

1 2 1

2

2 ) , d B(

) sin cos

(

) (cos )

 (sin

m n n

m n m

b a

n t m

t b t a

t

t (Rem0,Ren0)

d B( , )

) 1 d (

) 1

( ¹

1 1 1

0

1 1

q p t t

t t t

t t t

q p

q p q

p q

p





^ 









 



 



 (Rep0,Req0)



0^{1    } 2 2 1

2) d 2 B( , )

1

( t ^p t ^p p p ( R ep0)



0^{     }

1 1B( , )

d ) 1

( q

z p t z

e

e ^{pt tz q} (Re 0,Rez 0,Req 0) z

p



0^{         }

2 1

2 B( , ) ( 0,Re 0,Re 0)

2 d 1 ) sh 1 ( ) (sinh

cht t ^p b t ^{p q} t b ^p p q b p q

) ( R e 1.R e ( ) 0)

2 ,2 2 1 B(2 2 d 1 ) ch ( ) sh

0 (      



^{ t  t  t      }

d 4 B( , ) ( R e ( ) 0, 0)

)]

( ch [

) 2 (

ch 1 1

0^ 2  ^{ }     



_t^{t  t    }_ ^{ }_ ^{ }_ ^

三、 普西函数(

 

函数)

[ 函数的定义与其他表达式]









 

 

 







 

n

n n k z k

z z z

z x

0 0

ln 1 ) lim

( ) )] (

( d [ln ) d

(





^   

0 ]d

) 1 (

1 [ 1

)

( t

e e z te

tz t

 t (Rez 0) (高斯积分公式)

^



0^{     } 1d ] ) 1 ( [ )

(z e ^t t ^z t t

 (Rez 0) (狄利克莱公式)

^{ }



0^{1 }_ ^ 1

1 d ) 1

( t

t z t

 z



^{ }



0^{      } 1

1 (1 ) ] d

) 1

[( t t ^z t t



^



0¹_^{ } _^ _^ 1

1 d ln

1 t

t t t

z

^{  }



0^{   } 1 2

2

2 )( 1)] d

[(

2 2

ln 1 t z e t t

z z ^t (Rez0)



^

  

 





0

1) 1 ( 1

) (

k z k k

z 





^

 









1 ( )

1 1

k k z k

z z





^

 



 

 





0

1 ) 1 l n ( ln 1

k z k z k

z



^

 

 





0 1

1

) (

! 1 ) 1 ( ) d (

d

k n

n n

n

k n z

z  z

式中 为欧拉常数.

[ 函数有关公式]



^

 





 ¹

0

) 1 ( ) (

n

k z k

z n

z 

 (n1,2,)



 





 ⁿ

k z k

z n

z

1

) 1 ( )

( 

 (n1,2,) lim[ (  )ln ]0



 z n n

n 



^







 ¹

0

ln ) 1 (

) (

n

k

n n z k

nz n 

 (n2,3,)

(z)(1z)c o t(z)

z z z

z 1

) ( c o t )

( )

(     



) t a n ( )

2 (1 2 )

(1 z  z  z

    

    ) 4

(1 4 )

(3 n n (n1,2,) [ 函数的特殊值]

(1) ( 为欧拉常数) ) 2ln2

2

(1  





^





 ¹

1

) 1 (

n

k k

n 







 







 ⁿ

k k

n

1

2 ln 1 2 2 2 1 2 )

(1 

 (n1,2,)



^











 ¹

1

) sin 2 2 ln(

cos 2cot

ln )

(

n

k n

k n

km n

n m n

m     





^







 



  ¹

1 2 2

) ( 1 , ) 6

(

n

k

k n

n  

 (n1,2,)



 



 

  ⁿ

k k

n

1

2 2

2

) 1 2 ( 4 1 ) 2

2 (1 2 , 2)

(1    

 (n1,2,)

[ 函数的渐近表达式]

O

k z b z z

z

n

k

k

k 













1 2 2

2 2

ln 1 )

( (z^2n2)



 

 

 



 _{2 4}

) 1 ( 120

1 )

1 ( 12

1 )

1 ( 2 ) 1 1

ln(z z z z (z )

式中b_2k为伯奴利数(§7).

四、 菲涅耳函数

[菲涅耳函数的定义与其他表达式]

^{S z }



0^{z t t} 2

2 d s i n )

( 

t t

z

C ^z d

c o s2 )

( 0



2

 

它们都是z的整函数.



^



 





 

0

3 4 1 2

3 ) 4

(2 )!

1 2 (

) 1 ) (

(

k

k k k

k z z k

S  (z )



^







 

0

1 4 2

1 ) 4

(2 )!

2 (

) 1 ) (

(

k

k k k

k z z k

C  (z )

]

c o s2 ) 2 (

sin ) ( [ ) (

2

2 z

z z z z z

S      (z )

]

s i n2 ) 2 (

cos ) ( [ ) (

2

2 z

z z z

z z

C      (z )

式中



^

 

 

0

2 2

! )!

1 4 (

) ( ) 1 ) (

(

k

k k

k

z z





^







 

0

1 2 2

! )!

3 4 (

) ( ) 1 ) (

(

k

k k

k

z z



2 2 ) e r f ( ) 2

( )

( 

 

i i z z

iS z C







 (erf(z)为概率积分)

[菲涅耳函数的渐近表达式]





 



 



 ( )s i n2

c o s2 ) 1 ( 2 ) 1 (

2

2 z

z z B

z z A z

S  

 (a r gz 4 ^, ^0,z ⁾





 



 



 ( )s i n2

c o s2 ) 1 ( 2 ) 1 (

2

2 z

z z A

z z B z

C  

 式中







 



 ⁿ 

k

n k

k

z z O

z k A

0

4 4 2

2 ( )

) (

! )!

1 4 ( ) 1 ) (

( 









 



 ⁿ 

k

n k

k

z z O

z k B

0

6 4 1

2

2 ( )

) (

! )!

1 4 ( ) 1 ) (

( 

特别

2 ) 1 ( l i m )

(

l i m  







 S x C x

x x

五、 概率积分(误差函数)

[概率积分的定义与级数表达式]

1 概率积分(或误差函数) ^{z } 2



0^zeu d^u

)

e r f ( ²



; )

2

;3 2 (1 ) 2

e r f (z  z₁F₁ z²

 ^{( 1!3 2!5 3!7 )}

2 ^{3 5 7}



 

 

 

 z z z

 z



^



 

 

0

1 2

! )!

1 2 (

2

2 ²

k

k k z

k e z

 (z )

2 余概率积分(或余误差函数)

^{  }



z^{ }

u u

e z

z 2 d

) e r f ( 1

) (

e r f c ²

 3 正态概率积分





  



 ^{z u} z

u e

z )

e r f (2 2 1 2 d 1 2

) 1

( ²

2





^



 

 



0

1 2 2

! )!

1 2 2 (

1 2

1 ²

k z k

k e z

 4 ^{F z ez} _i erf(^zi)^ez



0^zeu d^u

) 2

( ²  ^{2 2}

) 2;

;3 1

! ( )!

1 2 (

2 ) 1

( 2

1 1 0

1 2

z F

k z z

k

k k k



 





^ 





)

;

; (

(₁F₁   z 称为库默尔函数) [概率积分的渐近表达式]





 



   







^





1 (2 2)

! )!

1 2 ) ( 1 ( 1 1

) erf(

2

k k

k z

z k z

z e

 (argz 2 ^, ^0,z ⁾

如果把级数前n 项之和作为erf(z)的近似值,则误差

s e c )

2 (

! )!

1 2 ) (

( 2 1

 

n n

z z n

r

当z为实数时,其误差不超过级数中所略去的第一项的绝对值.

当x时,erf()()1.

六、 正弦积分与余弦积分

[正弦积分的定义与级数表达式]

^{z }



0^zs i n_u^ud^u )

S i ( (z )



^









 

0

1 2

) 1 2 ( )!

1 2 (

) 1 ) (

Si(

k

k k

k k

z z (z )

^



z^ u^ z ^ u

z u

) 2 S i ( s i n d

)

s i ( 

) (z 

它们都是z的整函数.

[余弦积分的定义与级数表达式]

u

u z u

z ^x

zc o s d )

c i ( )

C i ( ^{ }



^{(a r gz )}



^



 





1

2

2 )!

2 (

) 1 ln (

) Ci(

k

k k

k k z z

z  ^{  z}



0^z1^c o s_t ^td^t

 ln (a r gz )

它在除去半轴(,0)的z平面内单值解析,式中 为欧拉常数.

定义

 

^



 

 ^z 

k

k k

k k u z

u z u

0 1

2

2 )!

2 (

) 1 d (

cos ) 1

Si( (z )

[函数之间的关系] 当zx为实数时,有

C i (x)is i (x)E i (ix) Ci(xe^i)Ci(x)i (x0)

x x x x

s i n ) S i ( d

d 

x x x x

c o s )

C i ( d

d 

S i (x)S i (x)0 si(x)si(x)



^











1

8) ( 3 2 ] 1 ) 1 2 ( 2 s i [ ) 1 (

n

n n  



^







1

] ln 2[ 1 ) si(

n

x n x

nx  [ ln2 ]

2 1 ) ) si(

1 (

1

x x nx

n

n  



^ 







^







1 2

) 1 2 C i (

n

n 

2 2 ln 1 ) 2 Ci(

) 1 (

1

   



^ 

 n

n n

 









 , si( ) ) 2

Si( C i ()0

[渐近表达式]

c o s ( )

) s i n ( )

C i ( Q z

z z z z P

z  z  (a r gz ,n1,2,)

s i n ( )

) c o s ( )

s i ( Q z

z z z z P

z  z  (a r gz ,n1,2,)

式中







 

 ⁿ 

k

n k

k

z z O

z k P

0

2 2

2(2 )! ( )

) 1 ) (

(









  

 ⁿ 

k

n k

k

z z O

z k Q

0

3 2 1

22 1)! ( )

( ) 1 ) (

( 特别有

lim( si( ))0



 x x

x

 lim( Ci( ))0



 x x

x

 (1)





 si( ) lim x

x x i

x 



 ci( ) lim

七、 指数积分

[指数积分的定义与其他表达式]





^z ^u u u z) e d E i (



^











1 ! )

ln(

) i(

E

k k

k k z z

z 

它在除去半轴(0,)的z平面内单值解析,式中 为欧拉常数.





^x ^u u u x) e d

E i ( (x0)



^



 







 ^x

x u u

u u u e

u

x) e d d

i(

E (0x)

u

u x e

x ^x

u

1d ln

) i(

E ^{   }



0 ^{    }

^

^_ ^

1 !

) 1 ln (

k

k k

k k x x

 (0x)



^



 

 x

u

u u x) V.P. e d (

Ei 

 







^



 











 x

u u

u u u e

u

e d d

l i m

0 (0x)

^{ x   x}



0^xeu_u^1d^u ln

) (

Ei 



^









1 ! ln

k k

k k x x

 (0x) E ( )^



1^{ } du

u x e

n xu

n (0x) E1( )^



1^{ } du^E i (^x)

u x e

xu (0x)

[指数积分的渐近表达式]





 



 





 n

k

k rn z

z k z z e

0 2

)

! ( )

E i ( (z )

式中





















 



 



 





 

 







2 a r g 2

3 a r g 2

0 , ) ( s i n

)!

1 (

2 arg 3 , 2

)!

1 ( ) (

1 1 1

z z

z n

z z

n z

r

n n n n

或



^



 

0

) ! i(

E

k k

x

x k x

x e (x0,x) 特别

lim Ei( )0, lim ^ E^i( )1





 



 e x xe ^x x

x x

x

八、 对数积分

[对数积分的定义与其他表达式]

^{z }



0^{z u}_u ^E i ( l n^z) ln

) d li(

它在除去(,0)与(1,)的z平面内单值解析.



^











1 !

] ln ln ln[

) li(

k k

k k x x

x  (0x1)

Ei ( l n)

ln d ln

lim d ) (

li ¹

0 1

0 x

u u u

x u ^x

 







 

 





^



 (1x)



^



   

1 !

ln ln ln )

( li

k k

k k x x

x  (1x)

式中 为欧拉常数.

[对数积分的渐近表达式]



 



 





 n

k

k rn z

z k z

z z

0

) ln (

! ) ln

li( (a r gz ,z ) 式中

₁ ln

)!

1 ) (

(  _n

n z

z n r

九、 不完全伽马函数

[不完全伽马函数的定义与其他表达式]

^{z }



0^{zu eu u}

1 d

) ,

( ^

 (z ,Re 0) ( , ) z ₁F₁( ; 1;z)

z   

 

 ^ (z , 0,1,2,) ^{   }



z^{  }

u u

e u z

z) ( ) ( , ) d

,

(    ^{ 1} (a r gz )



^













 



 



0 1 0 !( )

) 1 ( )

) ( , (

k k

k k

k k z

k k

z e z

z  



 ^{ } (0,1,2,)



 



 









 n

k k z

k e z n z n

0 !

1

! ) , 1

( (n0,1,2,)





 



 ⁿ

k k z

k e z n z n

0 !

! ) , 1

( (n0,1,2,) ^{   }



1^{  }

1 d

) , 1

( n z z ⁿ e ^zuu ⁿ u (n0,1,2,)





 



 



 









^

 

 1 0

1

! ) 1 ) (

, 0

! ( ) 1 ) ( , (

n

k k

k z

n

z e k

n z z

n (n0,1,2,)

[不完全伽马函数有关公式]

( 1,z)(,z)z^e^z (1,z)(,z)z^e^z

z e ^z

z z z

z    _¹ _ d

) , ( d d

) , (

d   _

[ ( , )] ( 1) ( , )

d

d z z z n z

z

n n n

n ^    ^   (n0,1,2,) [ ( , )] ( 1) (1 ) ( , )

d

d e z e n z

z

n z n

z n

n        (n0,1,2,)

[ ( , )] ( 1) ( , )

d

d z z z n z

z

n n n

n ^   ^  (n0,1,2,) [ ( , )] ( 1) (1 ) ( , )

d

d e z e n z

z

n z n

z n

n      (n0,1,2,) ^{   }_



0^{    }

cos cos( sin )d

) sin ,

( z e z

z ^z (z0,不为整数,且Re0)

^{ } _ ^_



0^{ }_^ d )

1 ) ( ,

( t

t z

t e z

z e

t

z  

 

十、 椭圆积分

[椭圆积分] 形为



R⁽x^,y^)dx R

( 是x,y的有理函数,y² P(x)是x的三次或四次多项式)的积分,称为椭圆积分,它可化为一

些能用初等函数表示的积分.

[勒让德椭圆积分]

^{ }



0^{s i n} _ 2 _ 2 2 ^



0^ _ 2^ 2_

s i n 1

) 1

)(

1 ( )

, (

k d x

k x

k dx F

^{ }



^{ }_ ^



0^{   } 2 s i n 2

0 2

2 2

s i n 1 1

) 1 ,

( dx k d

x x k k

E

^{  }



^ _{  } ^



0^ _ 2_ ^ _ 2 2_

s i n

0 2 2 2 2

s i n 1

) s i n 1

(

d )

1 )(

1 ( ) 1 ( ) d

, , (

k h

x k x

hx k x

h

这三个积分分别称为勒让德第一类、第二类、第三类椭圆积分.数k称为这些积分的模数,数

1 k2

k  称为补模数,数h称为第三类积分的参数.

[外尔斯特拉斯椭圆积分]

^



_{ }

3 2 1 3

4x g x g I dx



_{ }



3 2 2 3

4x g x g I xdx



_{  }



3 2 3 3

4 )

(x c x g x g

I dx

这三个积分分别称为外尔斯特拉斯第一类、第二类、第三类椭圆积分.

[完全椭圆积分]

^{  }



0¹ _ 2 _ 2 2

) 1

)(

1 ( 2)

, ( ) (

x k x

k dx F k K

K 



_

 ²

0 2 2

sin 1





 k

d (k 1)

^{  }



0^{1 }_ 2

2 2

1 ) 1

,2 ( )

( dx

x x k k

E k E

E 



^

 ²

0

2 2sin 1

 k d (k 1) 1 ^



0¹ _ 2 _ 2 _ 2 2

) )(

1 ( ) 1 ( ) , (

x k x hx

k dx

 h ^



0² _ 2 _ 2 2

s i n 1

) s i n 1

(







 k h

d (k 1) 这三个积分分别称为第一类、第二类、第三类完全椭圆积分.又定义

K(k)K(k) E(k)E(k) )

( ) (k K k

K   E(k)E(k) [椭圆积分的级数表达式]

^{ }



0^{    }_



0^{  } 4 4 2

2 s i n

4 2

3 s i n 1

2 ) 1

,

(k k d k d

F +

^{ }_ ^_



0^{   } 6

6 s i n 6

4 2

5 3

1 k d  (k 1)