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中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

高等数学 A

6.1.1 点集与多元函数的概念 6.1.2 二元函数的极限及连续性

6.1 6.1 多元函数微分的基本概念 多元函数微分的基本概念

第 第 6 6 章 多元函数微分 章 多元函数微分

学 学

6.1 多元函数微分的基本概念

6.1.1 一般概念

预备知识 ^{邻域 区域 聚点}

n 维空间

多元函数概念

引例

二元函数的定义 习例 1-4

二元函数的几何意义 习例 5-7 多元函数的定义

6.1.2 二元函数 极限及连续性

多元函数极限

二元函数的极限定义例 8

二元函数极限的计算习例 9-12 确定极限不存在的方法 例 13-16 累次极限例 17-19

多元函数的极限

多元函数连续性 ^{连续性定义}

闭区域上连续函数的性质例 20-25

小结

多 元 函 数 微 分 学 的 基 本 概 念

我们把 n 元有序实数组 (x₁ x₂     x_n) 的全体所构成的 集合记为 Rⁿ 即

R

ⁿ

{(x

₁

 x

₂

     x

_n

)| x

_i

R i1 2  n}

x(x₁ x₂     x_n) 称为 Rⁿ 中的一个点或一个 n 维向量 x_i 称为点 x 的第 i 个坐标或 n 维向量 x 的第 i 个分量 0(0 0     0) 称为 Rⁿ 中的原点或 n 维零向量

2,

2

{(x, y) | , } n  R  x R y R  

3,

3

{( ) | , , }

n  R  x,y,z x R y R z R   

1 2

1 2

( , , , )

, (

, ( , , , ) )

n

n

n

R x x x

x x x





中中中中中中中中中中中中中中

中中中中中中中中中中中中中中中中中中中中中中 中中中中中中中中中中中中

1. n 维空间

一、预备知识

定义 数量积 / 内积

1 2 1 2

( , , , ), ( , , , ) ,

( , ) ,

, 定义的

数量积 ( 内积 ) 为一个数即

n

n n

x x x y y y R

    

x y x y

x y

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

   

   

  

  

x y z x z y z

x y z x y x z

1

( , )

ⁿ _{i i}

i

x y



 

x y

: (1,0, 1, 2), (2, 1,3,1) ( , ) 2 0 ( 3) 2 1

例 则

   

     

x y

x y

:

(1) : ( , ) ( , )

(2) :

Rn



里的内积运算有如下性质 对称性

双线性性

x y y x

的距离记作

2 2 2

2 2 1

1 ) ( ) ( )

( )

,

(x y  x  y  x  y  x_n  y_n



中点 a 的  _邻域 为

) ,

, ,

( y₁ y₂ y_n

y  

中中



^{R , ( , ) δ}



) δ ,

(a  x x  x a 

U ⁿ



) ,

, ,

(

Rⁿ 中中中 x  x₁ x₂  x_n , )

,

(x y 中 x  y



_规定为

) ,

, ,

(

Rⁿ 中中中 x  x₁ x₂  x_{n 与零元 O 的距离为}

2 22

12 x xn

x

x    .

, 3

, 2 ,

1 x x

n 中 中 中 中 中

中 

0

Rⁿ 中 中 中 中 x 中 中 中 a 中 中 x  a  中 中 x  a. Rn





) ( ₀

o P P

U 

2. 邻域

点集

称为点 P₀ 的邻域 例如 , 在平面上.

, _{( 圆邻域 )}

在空间中, ^{( P}₀ ^{, )}



^{(x, y, z )}



U





说明：若不需要强调邻域半径 , 也可写成 U ( P₀ ). 点 P₀ 的去心邻域记为





^,

) δ ,

( P₀ P

U  PP₀  δ



^{( , )}



) δ ,

( P₀ x y

U  (x  x₀)²  ( y  y₀)²  δ

δ )

( )

( )

(x  x₀ ²  y  y₀ ²  z  z₀ ² 

δ 0  PP₀ 

( 球邻域 )

在讨论实际问题中也常使用方邻域 ,

平面上的方邻域为



^{( , )}



) δ ,

U(P₀  x y

。

P

0

因为方邻域与圆 邻域可以互相包含 .

,

0 δ

 x

x ^{y  y}₀ ^δ

(1) 内点、外点、边界点 设有点集 E 及一点 P

 若存在点 : P 的某邻域 U(P)

E ,

 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E =

 ,

 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E 中的内点也 含 E

E

则称 P 为 E 的内点

；

则称 P 为 E 的外点

;

则称 P 为 E 的边界点 的外点 , .

E 的边界点的全体 称为 E 的边界 记作 E

任意一点 PR² 与任意一个点集 ER² 之间必有以下三 种关系中的一种

Rⁿ 中点的分类 （按位置 )

显然 , E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .

提问 E 的内点、外点、边界点是否都必属于 E ？

(2) 聚点

若对任意给定的 , 点 P 的去心 )

δ , (P U^

E

邻域 内总有 E 中的点 , 则 称 P 是 E 的聚点 .

聚点可以属于 E , 也可以不属于 E ( 因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .

E 的边界点 )

Rⁿ 中点的分类（按性质 )

)

( Uˆ

E ₀

0 ，但存在 ，其内不含集合 若点 X  X

E

,

E的点 则称 X₀ 为集合 的孤立点。

 孤立点 (isolated point )

(1) 内点一定是聚点；

注意注意 ::

(2) 边界点可能是聚点；

} 1 0

| ) ,

{(x y  x²  y² 

如 (0,0) 既是边界点也是聚点

(3) 点集 E 的聚点可以属于. E ，也可以不属于 E

．_{, ) | 0 1}} {(x y  x²  y² 

如 (0,0) 是聚点但不属于集合

} . 1

| ) ,

{(x y x²  y²  如

边界上的点都是聚点也都属于集合．

D

(3) 开区域及闭区域

 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集

；

 若点集 E E , 则称 E 为闭集

； 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相 连 ,

 开区域连同它的边界一起称为闭区域 . 则称 D 是连通的

 ;连通的开集称为开区域 , 简称区域

; 。

。

 E 的边界点的全体称为 E 的边界 , 记作 E ;

Rⁿ 中点集的分类

例如，在平面上

 ⁽ x ^, y ⁾ x  y  ⁰ 

 ⁽ x ^, y ^{) 1}  x

²

 y

²

 ⁴ 

 ^{( x , y ) x  y  0} 

 ^{( x , y ) 1  x}

²

^{ y}

²

^{ 4} 

开区域

闭区域







 x

y

o 1 2 x y

o

x y

o x

y

o 1 2

 整个平 面

 点集

 ^{( x , y ) x  1} 

^是开集，

是最大的开域 也是最大的闭域；,

但非区域 .

1 o 1 x

y

 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某 定点 A 的距离  AP K ,则称 D 为有界域

界域 . ,

否则称为无

二 . 多元函数的概 念1. 引例 :

 圆柱体的体积

 定量理想气体的压强

 三角形面积的海伦公式

2h , r V 



,

( R为常数）

V T p  R

2 )

( a b c

p   

c

b a



^{(r, h) r  0, h  0}





^{(V , T ) V  0, T  T}₀





^{(a,b,c ) a  0, b  0, c  0, a  b  c}



) )(

)(

( p a p b p c

p

S    

h r

设D是平面上的一个点集，如果对于每个点

D y

x

P( , ) _，变量 z按照一定的法则总有确定的值 和它对应，则称 z _是变量x, y _{的二元函数，记为}

) , ( x y f

z 

_（或记为

z  f ( P )

_）.

2. 二元函数的定义

3. 二元函数的定义域

(1) 使得算式有意义的 x,y 的变化范围所确定的点集 .

(2) 使得实际问题有意义的 x,y 的变化范围所确定的点集 . (3) 二元函数的定义域一般来说是平面上的区域 .

(4) 二元函数的两要素是定义域和对应法则 .

2 2 2

arcsin(3 )

( , ) x y , .

f x y

x y

 

 

求的定义域并作图 例 1

2 2 4 2 2 2 .

u  z x  y   x  y  z 求的定义域并作图

例 2

ln[ ( )] ln ln( ) ?

z  x x y  与是同一函数吗 z  x  x y 

例 3

2 2

( , )x , ( , ).

f x y x y f x y

 y   例 4 设求

2 2 2

arcsin(3 )

( , ) x y , .

f x y

x y

 

 

求的定义域并作图

解



 













0

1 3

2

2 2

y x

y x

 











2

2

2

4

2

y x

y



x

所求定义域为 D  {(x, y) | 2  x²  y²  4, x  y²}.

注意 : 平面区域通常用字母 D 表示 . 例 1

2 2 4 2 2 2 . u  z x  y   x  y  z

求的定义域并作图

解 ,

0 4

0

2 2

2

2 2





















z y

x

y x

z

4,

2 2

2

2 2

















z y

x

y x

z

故所求定义域为

}.

4 ,

| ) , ,

{(  ²  ^{2 2}  ²  ² 



 x y z z x y x y z x

y z

o 例 2

ln[ ( )] ln ln( ) ? z  x x y  与是同一函数吗 z  x  x y 

解 z  ln[x(x  y)]的定义域为 x(x  y)  0 ,

0 , ) 0

ln(

ln 





 



 x y

y x x

x

z 的定义域为

) ln(

ln )]

(

ln[x x y 与z x x y 不是同一函数

z     

 例 3

2 2

( , )x , ( , ).

f x y x y f x y

 y   设求

解 ( , ) (x y)(x y ) y

y x x

f    



)2

(x y y

x

y

x 



 

, ) (

1 1

y 2

x y

x y x









1 . ) 1

,

( x²

y y y

x

f 

 

 例 4

4. 二元函数的几何意义 )

, (x y f

z   z  f (x, y)  0  F(x, y, z)  0

一般曲面

. )

, (

) , ( ) , , (

决定 通过

上点 由平面区域

曲面上点

y x f z

y x P D

z y x M

 如图所示

例 5 作二元函数 的图形

．

y x

z  1 

例 6 作二元函数 的图形．z  x²  y²

例 7 作二元函数 的图形．z  R²  x²  y² (R  0)

x

y z

O

z=1-x-y

解 二元函数 的图形是空间一平面，其图形如下图 所示．

y x

z 1 

例 5 作二元函数 的图形

．

y x

z  1 

解 此函数的定义域为 面上任意点且 ，即曲面 上的点都在面 上方．其图形为旋转抛物面，如下 图所示．

xOy

 0 xOy z

z

2

2

y

x

z  

x

O y

例 6 作二元函数 的图形．z  x²  y²

例 7 作二元函数 的图形．z  R²  x²  y² (R  0)

解 此二元函数的定义域为 ，即 坐标面

上的以 为圆心， 为半径的圆，且 ．其图形为上半圆 周，如下图所示．

2 2

2 y R

x   xOy

O R ^{0  z  R}

y x

z

R

R

R

O

5. 多元函数的定义

.

, ,

, , )

, ,

(

,

1 1

记为 元函数

的 为

则称 的值和它对应

按照一定法则总有确定 变量

如果对于每一个点 维空间内的点集

设有

n x

x u

u D

x x

P

D n

n n



 

) ,

, ,

( x₁ x₂ x_n f

u  

), (

: y  f x

一元函数 一个自变量 . ),

, (

: z  f x y

二元函数 两个自变量 . ),

, , (

: u  f x y z

三元函数 三个自变量 . ),

, ,

(

: u f x₁ x_n

n元函数   n 个自变量 .

n 元函数在几何上表示 n+1 维空间上的一般曲面 .

注意 .

(1) 多元函数也有单值函数和多值函数，如

2 2

2

2 y z a

x   

在讨论过程中通常将其拆成几个单值函数后 再分别加以讨论 .

(2) 多元函数也有分段函数，如













 



0

0

0

) , (

2 2

2 2

2 2

y x

y y x

x

xy y

x f

(3) 点函数 u=f(P) 能表示所有的函数 . 6. 多元函数有加减乘除数乘及复合运算 ( 略 )

多元复合函数比一元复合函数复杂，需要认清其复合

关系 --- 可借助链式图（分枝图） .

2 2

2 2

1 1

sin , sin , , 1

1 是由

复合而成的二元函数；

z z u u v x y

x y v

     

 

2 2

1 2 3 1

2 2

2 3

( , , ), ( , , ), ,

,

是由

复合而成的二元函数；

u f x y xy x y u f v v v v x y v xy v x y

     

  

曲面 z=f(x, y) 与平面 z=c 的交线在 xoy 平面上的 投影称为二元函数 zf(x, y) 的等值线。

二元函数的的等值线 / 等高线

下图

回忆一元函数极限的概念 回忆一元函数极限的概念

.

I

I,

)

( ₀ 为 的聚点

设 y  f x x x

, ) , ( Uˆ

, 0

,

0 当点 ₀ 时

若     x x  , |

) (

| ), , U(

)

(x  a  即 f x  a   则称

f

. )

( lim

0

a x

x f

x 



现在进行形式上的推广

现在进行形式上的推广

三 . 多元函数的极限

1. 二元函数的极限定义 描述性定义

. ,

) , ( ,

) , ( ,

) ,

( )

, ( ,

) ,

( ,

) , (

0 0

0 0

0 0 0

0

记为

时的极限 当

为 则称数

数

的常 就无限接近于一个确定

对应的函数值 时

以任何方式趋近于点 如果点

其聚点

是 的定义域为

设函数

y y

x x

y x f z

A A

y x f

y x

P y

x P

y x

P D y

x f z









, )

, ( lim

0 0

A y

x f

y y x

x 



. )

, ( lim

( , ) ( ₀, ₀ ) f x y A

y x y

x 

或 

精确定义

. ,

) , (

.

) , ( )

, (

) (

) (

0

, 0 ,

0 .

,

) ,

( ,

) , (

0 0

0 2 0 2

0 0

0

时的极限 当

为 则称

成立 都有

的一切

对于适合 若

是常数 其聚点

是 的定义域为

设函数

y y

x x

y x f z

A

A y

x f y

x

y y

x x

R A

y x

P D y

x f z













































利用点函数给出的定义

. )

( ,

0 ,

0 ,

0  ₀  

       

 当 PP 时 有 f P A

说明：

（ 1 ）定义中 的方式是任意的

；

P  P

⁰

（ 2 ）二元函数的极限也叫二重极限 lim ( , );

0 0

y x f

y y x x

（ 3 ）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．

O x

y

 , ) (x₀ y₀

) , (x y

) , (x y )

, (x y

) , (x y

) , (x y

) , (x y

 , )

(x₀ y₀ (x, y) )

, (x y

) , (x y

O x

y

相同点

多元函数的极限与一元函数的极限 的

一元函数在某点的极限存在的充要 定义相同 .

差异为

必需是点 P 在定义域内以任何方式和途径趋而多元函数

于 P₀ 时 ,

相同点和差异是什么

条件是左右极限都存在且相等 ;

都有极限 ,且相等 . )

(P f

例 8 依定义验

证 ^{( , )}lim^{(2, 1)}( ^{2 2}) 7.

x y x x y y

   

证 因为

2 2 7

x  xy y   (x²  4) xy  2 ( y²  1)

| (x 2)(x 2) ( x 2)y 2( y 1) ( y 1)( y 1) |

         

| x 2 | | x y 2 | | y 1 | | y 3 | .

      

不妨先限制在点 (2, 1) 的方邻域



^{( , ) |x y x  2 | 1, | y  1 | 1}



内来讨论 , 于是有

| y  3 | | y  1 4 | | y   1 | 4 5,

| x  y 2 | | ( x  2) ( y  1) 5 |

| x 2 | | y 1 | 5 7.

     

2 2 7 7 | 2 | 5 | 1 |

x  x y y   x   y 

7 ( | x 2 | | y 1 | ).

   

0, min ( 1, ),

14

  

  取  当 ^{| x}  ^{2 |}   ^{, | y}  ^{1 |}  ( , ) (2, 1)x y 

且 时 , 就有 所以

2 2 7 7 2 14 . x  xy  y        这就证得

2 2

( , )lim(2, 1)( ) 7.

x y x x y y

   

2. 二元函数极限的计算习例

计算二元函数的极限，应用一元函数计算极限的 一些法则与方法 . 对于未定型，不再有 L`Hospit al

法则，须化成确定型 .

), 0 1 (

sin )

( )

, (

9 ^{2 2} _{2 2} ²  ² 

 

 x y

y y x

x y

x 设f

例

. 0 )

, ( lim

:

00 

 f x y

xy

求证

. )

( lim

10 ^{2 2 (x y)}

xy x y e^{ }





 

计算极限 例

, 0 ,

0

0 1 ,

1 sin ) sin

, (

11 









 

y x

y x x

y y y x

x 设f

例

. 0 )

, ( lim

:

00 

 f x y

xy

求证









 

 

) 0 , 0 ( )

, (

, 0

), 0 , 0 ( )

, ( ) ,

, (

12 ^{2 2}

2 2

y x

y y x

x

y xy x

y x 设f

例

. 0 )

, ( lim

: ( , ) (0,0) 

 f x y

y

证明 x

解 1 0 sin

)

( ^{2 2} _{2 2} 

 

y y x

 x ^{2 2} ₂

1

₂

sin x y y

x   



2

2 y

x 



,

 0





_{  }

 1 0

sin )

( ^{2 2} _{2 2}

y y x

要使 x

), 0 1 (

sin )

( )

, (

9 ^{2 2} _{2 2} ²  ² 

 

 x y

y y x

x y

x 设f

例

. 0 )

, ( lim

:

00 

 f x y

xy

求证





 ² x2 y

只要 即 x²  y²  



 

取 当0  (x  0)²  ( y  0)²  时,





 

 1 0

sin )

(

^{2 2} _{2 2}

y y x

x

原结论成立．

解 0  (x²  y²)e^{(x y)}  (x  y)²e^{(x y)}

t t

t y y x

x

xy x y e t e^







 





(  )^{2 ( )}  lim ² lim

t et

t² lim

  2 0

lim 

 t et

t

. 0 )

(

lim ²  ^{2 ( )} 

 ^{ }





y x

xy x y e

. )

( lim

10 ^{2 2 (x y)}

xy x y e^{ }





 

计算极限 例

解 y x

x y 1

1 cos sin

0  

 y x

x y 1

1 cos sin 

 y

x 

  0 (x  0, y  0)

由夹逼准则得， 1) 0. 1 cos

sin (

lim

00  

 y x

x y

xy

, 0 ,

0

0 1 ,

1 sin ) sin

, (

11 









 

y x

y x x

y y y x

x 设f

例

. 0 )

, ( lim

:

00 

 f x y

xy

求证

证 ( 证法一 )   0, 由

2 2 2 2 2 2

2 2 0 2 2

2

x y x y x y

xy x y x y

  

 

 

2 2 2 2

1 1

( ),

2 x y 2 x y

   

可知   ^{2 ,} 当 ⁰  ^x2  ^y2   时 便有^,









 

 

) 0 , 0 ( )

, (

, 0

), 0 , 0 ( )

, ( ) ,

, (

12 ^{2 2}

2 2

y x

y y x

x

y xy x

y x 设f

例

. 0 )

, ( lim

: ( , ) (0,0) 

 f x y

y

证明 x

2 2

2 2 0 ,

x y

xy x ^ y   



故 ( , )lim(0, 0) ( , ) 0.

x y f x y

 

注意 不要把上面的估计式错写成：

2 2 2 2

2 2

2 2

0 1 ( ),

2 2

x y x y

x y x y x y

x y x y

 

   



( , )x y  (0, 0) ( , ) (0, 0),x y 

因为 的过程只要求 即

2 2 0,

x  y  而并不要求 x y  0.

( 证法二 ) 作极坐标变换 ^{x r} ^{cos ,} ^{y r} ^{sin .} 这时

2 2

2 2

| ( , ) 0 | x y

f x y x y

x y

  



2 2

1 1

| sin4 | ,

4 r  4 r

 

( , )x y  (0, 0) 等价于 r  0( 对任何  ). 由于

因此，  0, 只须 r  x²  y²   2  , 对任何 

都有 ²

( , ) (0, 0)

| ( , ) 0 | 1 , lim ( , ) 0.

4 ^{x y}

f x y r  f x y

   即  

下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归 结原则 ( 而且证明方法也相类似 ).

定理 1

0

lim ( )

P P P D

f P A



 的充要条件是：对于 D 的 任一子集 E, 只要 　仍是 P0 E 的聚点 , 就有

0

lim ( ) .

P P P E

f P A



 3. 确定极限不存在的方法

E1 D

 

0 1

lim ( )

P P P E

 f P



推论 1 若 , P₀ 是 E₁ 的聚点 , 使 不存在 , 则

0

lim ( )

P P P D

 f P



也不存在．

0 0

1 2

1 2

lim ( ) lim ( )

P P P P

P E P E

f P A f P A

 

 

 与 

1, 2 , 0

E E D P

 

推论 2 若 是它们的聚点，使得

1 2

A  A

0

lim ( )

P P P D

 f P



都存在，但 , 则 不存在．

推论 3 极限

0

lim ( )

P P P D

 f P



存在的充要条件是： D 中任

一满足条件 _{n 0} ^lim _{n 0} ^{{ },}_n

P P n P P P

 且   的点列 它 所 对应的函数列 ^{{ ( )}}f Pn 都收敛．

. ,

,

) ,

( )

,

( _{0 0 0}

就可断定此极限不存在 不同值

函数趋于 时

以不同方式趋于

当P x y P x y

在 (0,0) 处时 , 一般选择下列极限方式：











;

) 4 (

;

) 3 (

; 0

) 2 (

; 0

) 1 (

kx2

y

kx y

y x









由上述结论可得确定极限不存在的方法如下：



).

, ( lim

, 0

,

0

0 ) ,

, (

13

00 2

2

2 2

2

2 f x y

y x

y y x

x

xy y

x f

xy















 

 计算

设 例

).

, ( lim

.

, 0

, ,

0 , ) 1

(

14

00

2

y x f

x x

x y f

xy





      

 计算

设 其余部分 例

例 15 讨论 ( ) 在( , )  (0,0)时不存在极限.

  x y y

x x xy

f

) . (

) cos(

lim 1

16 _{2 2 2 2}

2 2

00 x y x y

y x

xy 







求 例