第八章 多元函数微分学

重点 多元函数基本概念，偏导数，全微分

，复合函数求导，隐函数求导，偏导数的几 何应用，多元函数极值。

难点 多元函数极限、复合函数求导，

多元微积分的概念、理论、方法是一元 微积分的推广和发展，它们既有相似之处（概 念及处理问题的思想方法）又有许多本质的不 同，要善于比较、注意区别。

CH8 多元函数微分学

及其应用

n 维空间中：

微积分的研究以“动点 P 趋向于定点 P₀ 时，函 数 f(P) 的极限”为基础。

邻域：^U(P₀^{, ) }



^{P | PP}₀ ^{|  , P  Rn}



引言：研究方法、内容

一元 … 多元函数极限、连续性、多元 函数偏导数、全微分、多元函数积分（重积分、

曲线积分、曲面积分等内容）

1 、二元函数的定义

设D是平面上的一个点集，如果对于每个点

D y

x

P( , ) _，变量

z

按照一定的法则总有确定的值 和它对应，则称

z

_是变量

x, y

_{的二元函数，记为}

) ,

( x y f

z 

_（或记为

z  f ( P )

_）.

8.1 多元函数基本概念

一、多元函数的概念

注 : 二元函数 的图形是一张曲面 z  f ( x , y )

曲面在 xoy 面上的投影为定义域 D.

2 、邻域

) , (P₀ 

U ^



^{P | PP}₀ ^{| }





^{( , ) | ( } ₀^{)2  ( } ₀^{)2  }



^.

 x y x x y y 

P0

3 、区域

.

) ( 的内点

为 则称

， 的某一邻域

一个点．如果存在点

是平面上的 是平面上的一个点集，

设

E P

E P

U P

P E



（ 1

）

为开集. 则称

的点都是内点，

如果点集 E

E

例如，E1  ^{(x^, y⁾¹  x²  y²  ^4} 为开集． ^E

P

的边界点．

为

），则称 可以不属于

，也 本身可以属于

的点（点 也有不属于

的点，

于 的任一个邻域内既有属 如果点

E P

E

E P

E

E P

的边界．

的边界点的全体称为 E E

是连通的．

开集

，则称 且该折线上的点都属于

连结起来，

任何两点，都可用折线

内 是开集．如果对于

设

D

D

D

D ^E

P

 

（ 2

）

（ 3

）

（ 4

）

（ 5

）

}.

4 1

| ) ,

{(x y  x²  y² 

开区域连同它的边界一起称为闭区域. 例如： {(x, y) |1  x²  y²  4}.

x y

o

x y

o M

M O M,

E P

P  E

如果存在正数，对于区域中任意一点

到原点距离都小于，即则称区域 是有界区域，否则称为无界区域．

连通的开集称为区域或开区域．

} 0

| ) ,

{(x y x  y  _{无界开区域．}

y

（ 6

）

（ 7

）

聚点：

 点集 E 的聚点可以属于 E ，也可以不属于 E

例如 , {(x, y) | 0  x²  y²  1}

(0,0) 是聚点但不属于集合．

（ 8

）

４、 n 维空间

^Rn;

 n 维空间中邻域等概念

邻域：^U(P₀^{, ) }



^{P | PP}₀ ^{|  , P  Rn}



内点、边界点、区域等概念也可定义．

 n 维空间中两点间距离公式

. ) (

) (

) (

|

| PQ  y

₁

 x

₁ ²

 y

₂

 x

₂ ²

   y

_n

 x

_n ²

例 1 求 的定

义域． ²

2

2 )

3 arcsin(

) ,

( x y

y y x

x

f 



 

解

















0

1 3

2

2 2

y x

y x













2

2

2 4

2

y x

y

 x

所求定义域为

}.

, 4 2

| ) ,

{(x y x² y² x y²

D     

又 P185 例题 8.1.4

二、多元函数的极限

（二重极限）

（ 1 ）定义中 的方式可能是多种 多样的，所谓极限存在是指当动点从四面八方 以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，

函数都趋于同一常数。

P0

P 

（ 2 ）二元函数的极限运算法则与一元函数类似 如局部有界性、局部保号性、两边夹准则、无穷小

、

等价无穷小代换等。

说明：

（ 3 ）确定二重极限不存在的方法

：

说明：

例 3 求极

限 sin( ) .

lim _{2 2}

2

00 x y y x

xy_^ 

解 ₂ ² ₂

00

) limsin(

y x

y x

xy_^  ^,

)

lim sin( _{2 2}

2 2

2

00 x y

y x y

x

y x

xy  





其中 x y y x

xy 2

2

00

) limsin(



y x u  ²

u u

u

lim sin

0  1,

2 2

2

y x

y x

 x

2

 1 ^{ x0 0,}

. ) 0

lim sin(_{2 2}

2

0 

 

 x y y x

x

例 5 证明 不存在． _{6 2}

3

00

lim x y y x

xy_^ 

证 取 y  kx³,

2 6

3

00

lim x y

y x

xy 



6 2 6

3 3

03

lim x k x kx x

kx y

x 

 



 ,

1 k² k

 

其值随 k 的不同而变化，故极限不存在．

例 4 证明 不存在． 例 8.

1.5

2 2

00

limx y

xy

x y

 

三、多元函数的连续性 --- 1 、二元函数连续性

定义 2 定义 1

定义 3

设n_元函数f(P)_{的定义域为点集}D,P₀ 是其聚点且P₀D_，如果lim() (₀)

0

P f

P

Pf

P 



则称n_元函数f(P)_在点P_0处连续.

2 、多元函数的连续性

定义 4

定理

3 、多元初等函数

（定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域）

0 0

0

lim ( ) ( )

( ) ( )

P P f P f P

f P P f P

 

此时，其中

是初等函数，是的定义域的内点。

例 5 讨论函

数 







 





) 0 , 0 ( )

, ( ,

0

) 0 , 0 ( )

, ( ) ,

,

( ^{2 2}

3 3

y x

y y x

x

y x

y x f

在 (0,0) 处的连续性．

3 3 3 3 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x y x y x y

// x y

x y x y x y x y x y

    

    



( , ) (0,0)

lim ( , ) (0,0),

x y

f x y f







故函数在 (0,0) 处连续

2 2

2 2 2 2

x y

1 1

x y x y

x y x y 0 0

 

 

 而 而 而 而 而 而 而

,而 ( , ) ( , )而 而 而 而 而 而 而 而

练习： 讨论函数













 



0 ,

0

0 ) ,

, (

2 2

2 2

2 2

y x

y y x

x

xy y

x f

在 (0,0) 的连续性．

解 取 y  kx

2 2

00

lim x y

xy

xy 

 2 2 2

2

lim0

x k x

kx

kx

xy 



 1 k2

k

 

其值随 k 的不同而变化，极限不存在．

故函数在 (0,0) 处不连续．

记住该例，下节将证明它在（ 0 ， 0 ） 点两个偏导数存在！

4 、有界闭区域上连续函数的性质

（ 1 ）有界性、最大值和最小值定理

在有界闭区域 D 上的多元连续函数，在 D 上必 定有界，且在 D 上至少取得它的最大值 M 和最小 值 m 各一次．

1

2 1 2

D P ,

P , f (P ) M,f (P ) m 

即在有界闭区域上至少存在一点

及一点使得。

（ 2 ）介值定理

在有界闭区域 D 上的多元连续函数，如果 在 D 上取得两个不同的函数值，则它在 D 上 取得介于这两值之间的任何值至少一次．

练 习 题

多元函数的定义；区域的概念；

多元函数极限的概念；

（注意趋近方式的任意性）

多元函数连续的概念；

有界闭区域上连续函数的性质。

四、小结