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第二章

微积分学的创始人 :

德国数学家 Leibniz

微分学 导数 描述函数变化快慢 微分 描述函数变化程度

都是描述物质运动的工具 ( 从微观上研究函数 )

导数与微分

导数思想最早由法国

数学家 Ferma 在研究

极值问题中提出 .

英国数学家 Newton

一、引例

二、导数的定义

三、导数的几何意义

四、函数的可导性与连续性的关系 五、单侧导数

第一节 导数的概念

第二章

O s

一、 引例

1. 变速直线运动的速度

设描述质点运动位置的函数为 )

(t f s 

则 到 的平均速度为

t

0

t



v f (t)  f (t₀) t0

t 

而在 时刻的瞬时速度为

t

0

lim

t0

v t

  f (t)  f (t₀) t0

t 

2 21 gt s 

自由落体运动

t0

) (t₀

f f (t)

t

2. 曲线的切线斜率 曲线 C : y  f (x)

 

N

T

x0

M 在 M 点处的切线

x 割线 M N 的极限位置 M

T ( 当 时 )







割线 M N 的斜率tan



 f (x)  f (x₀) x0

x  切线 MT 的斜率



 tan

k





lim tan

 

lim

x0

k x

  f (x)  f (x₀) x0

x 

x y y  f (x)

C O

两个问题的共性 :

瞬时速度 lim

t0

v t

  f (t)  f (t₀ ) t0

t 

切线斜率 lim

x0

k x

  f (x)  f (x₀) x0

x 

所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 类似问题还有 :

加速度 角速度 线密度 电流强度

是速度增量与时间增量之比的极限 是转角增量与时间增量之比的极限 是质量增量与长度增量之比的极限 是电量增量与时间增量之比的极限

变 化 率 问 题







 

N

T

x0

M

x x y y  f (x)

C O O t₀ s

) (t₀

f f (t) t

二、导数的定义

定义 1 . 设函数

y  f ( x )

_在点

x

₀

0

limx

x ₀

0) (

) (

x x

x f x

f





x y

x 

 



lim0 ^{y  f (x)  f (x0)}

x0

x x  



存在 ,

f ( x )

_{并称此极限为} )

(x f

y  _记作 :

0 ;

x

y x_{ ( ) ;}

x0

f  ;

d d

x0

x x y

 d ₀

) ( d

x x x

x f

 即 y ^x_^x₀  f (x₀)

x y

x 

 



lim0

x

x f x

x f

x 





 





) (

)

lim ( ^{0 0}

0 h

x f h

x f

h

) (

)

lim ( ^{0 0}

0



 



则称函数 若

的某邻域内有定义 ,

在点

x

_{0处可导 ,}

在点 x_0的导数 .

运动质点的位置函数 s  f (t) 在 时刻的瞬时速度

t

⁰

lim

t0

v

t





f ( t )  f ( t

₀

) t

0

t 

曲线 C : y  f (x)在 M 点处的切线斜率

lim

x0

k

x





f ( x )  f ( x

₀

) x

0

x 

) (t₀ f 



) (x₀ f 



O t₀ s ) (t₀

f f (t)

t



N

T

x0

M

x x y y  f (x)

C O

0

lim

x

x 0

0) ( )

(

x x

x f x

f





x y

x 



lim0

  ^{y  f (x)  f (x0)}

x0

x

x  

 不存在 , 就说函数在点 不可导

.

x0

若 _Δ^lim_{x0 Δ}^Δy_x ^{  ,} 也称 f (x) 在 x0

若函数在开区间 I 内每点都可导 ,

此时导数值构成的新函数称为导函数 . 记作 :

y  ; f  ( x ) ;

;

d d

x

y .

d ) ( d

x x f

注意 :

f  ( x

₀

)

) 0

(x _{x x}

f  _

 x

x f

d

) (

d ₀



就称函数在 I 内可导 . 的导数为无穷大 .

若极限

例 1. 求函数f (x)  C (C 为常数 ) 的导数 . 解 : y

x C C

x 

 



lim0  0 即 ^{(C )  0}

例 2. 求函数f (x)  xⁿ (n N^ ) 在 x  a处的导数. 解 :

a x

a f x

f



 ( ) )

(

a x

 lim )

(a f 

a x

a x^{n n}

a

x 

 

lim

( lima x

 x^n1 a x^n2  a²x^n3   a^n1)

1

 n aⁿ

x

x f x

x f







 ) ( ) (

lim0



  x

说明：

对一般幂函数

y  x

^{ (}



为常数 )

)

1

( x

^

   x

^

例如， ( x)  (x²¹ ) ^{ 1}₂ ^x21

x 2

 1

 

^

x

1  (x^1)  x^11 ₂1 x

 

1 )

( 

x

x ( ⁴)

3 

 x^{ 4}

7

4

3 ^

  x

（以后将证明）

h

x h

x

h

sin )

lim sin(

0



 



例 3. 求函数 f (x)  sin x _{的导数 .} 解 : 令 h  x , ^则

) (x f 

h

x f h

x

f (  )  ( ) lim0

  h

lim0

  h

2) cos(

2 h

x 

sin 2h

2) cos(

lim0

x h

h 

 

2

sin 2 h

h

x

 cos

即 (sin x)  cos x 类似可证得 (cos x)  sin x

h



^{(1 )}



ln x

 h

例 4. 求函数

f ( x )  ln x

_{的导数 .}

解 : f (x)

h

x f h

x

f (  )  ( )

lim0

 

h h

x h

x

h

ln )

lim ln(

0



 





 ^h h lim 1

0 ln ( 1 ) x

 h

即

^{(ln x)  1}_x

lim0

  h

h1

1x

x

x

 1

lim0



h ln (1 )

x

 h ^h

x

e x ln

 1

x

 1

则 令t  x₀  h,

原式 h

t f h

t f

h 2

) ( )

2 lim (

0



 

 lim ( )

0 f t

h 

   f (x₀)

 

是否可按下述方法作 :

例 5. 证明函数f (x)  x 在 x = 0 不可导 . 证 :

h

f h

f (0  )  (0)

 h

 h



  1, h  0

 0 , h

1 h

f h

f

h

) 0 ( )

0 lim (

0



 

 不存在

,

.

0不可导

在

即 x x 

例 6. 设f (x₀) _{存在 , 求极限} . 2

) (

)

lim ( ^{0 0}

0 h

h x

f h

x f

h









解 : 原式

 

lim0

 

h

h

h x

f

2 )

(

₀

  f ( x

₀

)

h

h x

f 2

) (

 ₀ 

 f (x₀) )

2 ( 1

x0

f 

 ( )

2 1

x0

f 

  f (x₀)

) (

2

)

(

₀

h h x

f





  f ( x

₀

)

三、 导数的几何意义

曲线

y  f ( x )

在点

( x

₀

, y

₀

)

_{的切线斜率为} )

( tan



 f  x₀

若 f (x₀ )  0 , 曲线过 上升 ; 若 f (x₀)  0 , _{曲线过 下降 ;}

x y

O ^x0 

) ,

(x₀ y₀ 若 f (x₀)  0 , _切线与 ^x _轴平

行 , 称为驻点 ;

) ,

( x

₀

y

₀

) ,

( x

₀

y

₀

x

0

若 f (x₀ )   ,_{切线与 x 轴垂直 .}

曲线在点 (x₀ , y₀) 处的 切线方程 : y  y₀  f (x₀)(x  x₀)

法线方程 : ( )

) (

1

0 0

0 x x

x y f

y 

 



 ( f (x₀)  0) ,

)

( ₀   时

 x f

x y

O

) (x f y 

C ^T

x0

M



x y

x0

O

x y

O ₁

1

1

1

例 7. 问曲线y  ³ x _{哪一点有铅直切线} ? 哪一点处 的切线与直线 y  ₃¹ x 1 _{平行 ? 写出其切线方程}

解 : y  (³ x ) 3 . ³² 1 

 x 1 ,

3 1

3 x2

  y _x0   ,

 0 x

令 ,

3 1 1

3 1

3 2 

x ^得 x  1, _对应 y  1, 则在点 (1,1) , (–1,–1) 处与直线y  ₃¹ x 1 平行的切线方程分别为

), 1 (

1  ¹₃ 

 x

y y 1  ¹₃(x 1) 即 x  3y  2  0

故在原点 (0 , 0) 有铅直切线

处可导 在点x

x f ( )

四、 函数的可导性与连续性的关系

定理 1. f (x)在点x处连续 证 : 设 y  f (x) _{在点 x 处可导 ,} lim ( )

0 f x

x y

x  







存在 , 因此必有 

, )

( 



 



 f x x

y 其中 lim 0

0 







x

故 y  f (x)x 



x x  0 0 所以函数 y  f (x) _{在点 x 连续 .}

注意 : 函数在点 x 连续，但在该点 未必可导 .

反例 : y  x

x y 

在 x = 0 处连续 , 但不可导 . 即

x y

O

在点

x

₀的某个右 邻域 内

五、 单侧导数

) (x f y  若极限

x

x f x

x f x

y

x

x 





 







  





) (

) lim (

lim ^{0 0}

0 0

则称此极限值为 f (x) 在 处的右 导 数 , ⁰

x

_记作

) (x₀ f_

即 f_(x₀) 

x

x f x

x f

x 







 



) (

)

lim ( ^{0 0}

0

( 左 )

( 左 )

) 0

( x  ^ ( x 0^)

)) (

( f_ x₀

 

x0

例如 , f (x)  x _{在 x = 0 处有} ,

1 )

0

(  



f f_(0)  1 定义 2 . 设函数

有定义 ,

存在 ,

x y

O x y 

定理 2. 函数^{y  f (x)} 在点

x

₀

, )

( )

(x₀ 与 f x₀ 存在

f_ _ _且 f_(x₀)  f_(x₀ ).

)

( x

₀

f 

_存在

f

_

 ( x

₀

)  f

_

 ( x

₀

)

简写为

在点

x

0 处右 导数存在 定理 3. 函数

f ( x )

) ( x

f

_在点

x

₀ 必 右 连续 .

( 左 ) ( 左 )

若函数

f ( x )

^f_^{(a) 与 f(b)}

都存在 ,则称

f ( x )

显然 :

) ( x

f

_{在闭区间 [a , b] 上可导}

f ( x )  C [ a , b ]

在开区间 内可导

( a , b )

, 在闭区间 上可 导 .

] , [ a b

可导的充分必要条件 是

且

内容小结

1. 导数的实质 :

3. 导数的几何意义 :

4. 可导必连续 , 但连续不一定可导

;5. 已学求导公式 :

6. 判断可导性

不连续 , 一定不可导 直接用导数定义. ;

看左右导数是否存在且相等 .

  )

(C

(x^ ) 

  )

(sin x (cos x)  a

x

f ( ₀) 

2. f_(x₀)  f_(x₀)  a

  ) (ln x

;

0

^{ x1;}

;

cos x  sin x; ^x

1 增量比的极限 ;

切线的斜率 ;

思考与练习

1. 函数 在某点 处的导 数

) ( x

f x

₀ f (x₀)

f  ( x )

区别 :

f  ( x )

_{是函数 ,}

f  ( x

₀

)

_{是数值 ;}

联系 :  _  ) 0

(x _{x x}

f

f  ( x

₀

)

注意 :

有什么区别与联系 ?

] ) (

[ )

(

₀



₀



 x f x

f ？

与导函数

2. 设f (x₀) _{存在 , 则}

. ________

) (

)

lim ( ^{0 0}

0   

 h

x f h

x f

h

3. 已知 f (0)  0, f (0)  k₀ , _则 ( ) ____ .

lim0 

 x x f

x

) (x₀ f 



k0

4. 若x (



,



) _时 , 恒有f (x)  x²,

问

^{f (x) 是否在}

 0

x _可导 ^?

解 : 由题设f (0)  0

0

) 0 ( )

(



 x

f x

f  x

 0 由夹逼准则

0

) 0 ( )

lim (

0 



 x

f x

f

x  0

故 f (x) _在 x  0 可导 , 且

0 )

0

( 

f 

5. 设

 

  

 , 0

0 ,

) sin

( a x x

x x x

f

, 问 a 取何值时

,

) ( x

f 

_在

) ,

(   

_{都存在 , 并求}

出

. ) ( x f 

解 : 显然该函数在 x = 0 连续 . f_ (0) 

0 0 lim sin

0





 

x x

x

 1

 

(0)

f

0

lim 0

0





 

x x a

x

 a

故 a 1 时

f  ( 0 )  1 ,

_此时

f  ( x )

_在

(  ,   )

_{都存在 ,}

 ( x ) 

f cos x , x  0 0 ,

1 x 

作业

P86

2 , 5 , 6, 7, 11, 16(2) , 18 , 20

第二节

备用题

解 : 因为

1. 设f (x) _{存在 , 且 1,}

2

) 1

( )

1 lim (

0    

 x

x f

f

x 求 f (1).

0

(1) (1 ) 1 lim

2

x

f f x

x



 

 

所以 f (1)  2.

x f x

f

x 2

) 1 ( )

1 lim (

0 



 



) (

) 1 ( ))

( 1 lim (

2 1

0 x

f x

f

x 





 



) 1 2 (

1 f 



) (x

f _在

x  0

处连续 , 且

x x f

x

) lim (

0 存在，证明 : )

(x

f _在 x  0 _处可导 . 证：因为 x

x f

x

) lim (

0 存在，则有 lim ( ) 0

0 

 f x

x

又 f (x)_在

x  0

_处连续 , f (0)  0

所以 

 x x f

x

) lim (

0

即 f (x) _在 x  0 _处可导 . 2. 设

x f x

f

x

) 0 ( )

lim (

0



  f (0) 故