PowerPoint Presentation

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

高等数学 A

6.1.3 偏导数

6.1.4 高阶偏导数

6.1 6.1 多元函数微分的基本概念 多元函数微分的基本概念

第 第 6 6 章多元函数微分学 章多元函数微分学

6.1 多元函数微分的基本概 念

6.1.4 高阶偏导数

6.1.3 偏导数 偏

导 数 与 高 阶 偏 导 数

小结 思考题

偏导数的定义 引 例

偏导数的计算举例 偏导数的几何意义

偏导数存在与连续的关系

高阶偏导数定义 高阶偏导数计算

例 1 、 2 、 3 、 4 例 5

例 7 、 8 、 9 、 10 、 11 、 12 例 6

6.1 多元函数微分的基本概 念

一、 偏导数定义及其计算法

引例 : 研究弦在点 x₀ 处的振动速度与加速度 ,

就是

) , (x t u

x0

o x

u

中的 x 固定

于 求

一阶导数与二阶导数 . )

, (x t

u x₀ 处

, ) , (x₀ t u

) , (x₀ t

u 关于 t 的

将振幅

1. 偏导数的定义

), ,

(

), ,

(

z  f x y P₀ x₀ y₀ 设

), ,

( )

, (

, P₀ x₀ y₀ P x₀ x y₀ x

x以增量 即由   

给

);

, (

) ,

(

_xz  f x₀  x y₀  f x₀ y₀ 则得

), ,

( )

, (

, P₀ x₀ y₀ P x₀ y₀ y y

y以增量 即由   

给

);

, (

) ,

(

 _yz  f x₀ y₀  y  f x₀ y₀ 则得

定义

. )

, (

) , (

) , ,

( )

, lim (

lim

0 0

0 0

0 0

0 0

的偏导数 处对

在 则称此极限值为

存在 若

x y

x y

x f z

x

y x

f y

x x

f x

z

x x

x









 













) ,

( ,

), ,

( ,

, ,

_{0 0 0 0}

0 0 0

0 0

0 0

0

y x

f z

y x

f x z

f x

z

y x y x x x

y x y x x x

y y x y x

y x

x  

















记为

注意 :

)

, (

) , ( )

1

( z  f x y 在 x₀ y₀ 处对y的偏导数为

) ,

( )

, lim (

lim ^{0 0 0 0}

0

0 y

y x

f y

y x

f y

z

y y

y 





 













) ,

( ,

), ,

( ,

, ,

_{0 0 0 0}

0 0 0

0 0

0 0

0

y x

f z

y x

f y z

f y

z

y y y x y x

y y y x y x

y y x y x

y x

x  

















记为

)

, ,

( )

, , ( )

2

( u  f x y z 在 x₀ y₀ z₀ 处的偏导数为

) ,

, (

) ,

, lim (

) ,

,

( ^{0 0 0 0 0 0}

0 0 0

0 x

z y

x f z

y x x

z f y

x

fx x 





 





) ,

, (

) ,

,

lim ( ^{0 0 0 0 0 0}

0

0 0

0 y

z y

x f z

y y

x f y

u

y z

zxy xy 





 











) ,

, (

) ,

,

lim ( ^{0 0 0 0 0 0}

0

0 0

0 z

z y

x f z

z y

x u f

z z zxy yx

z 





 



 

记为 函数

则称这个偏导数为偏导

内每一点的偏导数存在 在

若

.

, )

, ( )

3

( z  f x y D

) , ( ,

, ,

);

, ( ,

,

, z f x y

y f y

y z x f

x z f x

z

y y

x

x 















. )

, (

)

, (

) , (

0 0

0 0

的函数值 偏导函数在

处的偏导数就是 在

y x

y x

y x f z 



则

令 , ,

) 4

( x  x  x₀ y  y  y₀

) ,

( )

, lim (

) ,

(

0

0 0

0 0 0

0 x x

y x

f y

x y f

x

fx x x 

 



) ,

( )

, lim (

) ,

(

0

0 0

0 0 0

0 y y

y x

f y

x y f

x

fy y y 

 



2. 偏导数的计算

; ,把 看作常数而对 求导 时

求 y x

x f





. ,把 看作常数而对 求导 时

求 x y

y f





偏导数计算举例

例1.求zx²3xyy²_在点(1,2)_{处的偏导数．} ( , ) ( 1) arcsin x , _x ( ,1).

f x y x y f x

   y 例 2. 设求

例 3 求 r  x²  y²  z² _的偏导数 .

例1.求zx²3xyy²_在点(1,2)_{处的偏导数．} 解法一 .





 x

z

2x  3y ; 



 y

z 3x  2y .

 

 

 12 xy

x

z 21  3 2  8 ,

 



 12 xy

y

z 31  2  2  7 .

解法二 .  z(x,2)  x²  6x  4, z(1, y)  1  3 y  y²,

 

 

 21 xy

x

z (2x  6) _x1  8, 





 12 xy

y

z (3  2y) _y2  7. 先求后代

先代后求

x

y x

f y

x x

f x

z

x 





 









) ,

( )

, lim (

0

可以看出 : 定义 x z



 时 , 变量 y 是不变的 , 实际 上 ,

是对函数 f (x , y) , 将 y 视为常数 , 关于变量 x 按 函数导数的定义进行的：一元

x

y x

f y

x x

f x

z

y x

x 





 









) ,

( )

,

lim ( ^{0 0 0 0}

) 0 , ( _{0 0}

d 0

) ,

(

d ₀

x

x x

y x f

 

实质上是实质上是

哇！爽！ 哇！爽！

(1, 2) 0

(1 , 2) (1, 2)

limx

z f x f

x ^{ } x

    

 

(1, 2) 0

(1, 2 ) (1, 2)

limy

z f y f

y ^{ } y

   

  

 8

 7

解 3 定义法

2 0

(1 ) 6(1 ) 4 11 limx

x x

x

 

      

 

2 2

0

1 3(2 ) (2 ) 11

limy

y y

y

 

      

 

第一种方法

第一种方法 -------- 是最常见的方法，即先求偏导函数，再求是最常见的方法，即先求偏导函数，再求 值；第二种解法只适用于求连续已知点的偏导数值；第三 值；第二种解法只适用于求连续已知点的偏导数值；第三 种解法用偏导数的定义较繁琐，但巩固了偏导数定义，特 种解法用偏导数的定义较繁琐，但巩固了偏导数定义，特

别在分界点或不连续点处的偏导数只能用定义。

别在分界点或不连续点处的偏导数只能用定义。

例1.求zx²3xyy²_在点(1,2)_{处的偏导数．}

( , ) ( 1) arcsin x , _x ( ,1).

f x y x y f x

   y 设求

解  f (x,1)  x,  f_x (x,1)  1. 例 2.

例 3 求 r  x²  y²  z² _的偏导数 . 解 : 



 x r

 

 y r

2 2

2 x2  y  z x

2

r

 x

r z z

r 

 , 

r y

例4. 已知理想气体的状态方程pVRT

（R_{为常数），求证：} 1













p T T

V V

p .

证 .   V

p RT ₂ ;

V RT V

p  







 p

V RT

;

p R T

V 



  

R

T pV

;

R V p

T 





 

 



 



 

p T T

V V

p

V

2

 RT

p

 R

R

 V

^{ 1.}

pV

 RT



(1)偏导数

x u



是一个整体记号，不能拆分;

).

0 , 0 ( ),

0 , 0 ( ,

) , (

, 设z f x y xy 求f_x f_y

例如  

注意 :

(2) 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求 .

解

x

f x

x x

0

| 0 lim |

) 0 , 0

( 0



 





0 fy^(0,0).

3. 偏导数存在与连续的关系 一元函数中在某点可导 连续，

多元函数中在某点偏导数存在 连续

，

. )

0 , 0

( 处的连续性和可偏导性 在点

 ) , (

f x y 讨论函数

0 ^{2 2}

2

2  

 x y

y x

xy

0

0 x²  y² 

例 5

, 则

取 y  kx . lim 1

lim _{2 2 2 2}

2

00 2

2

00 k

k x

k x

x k y

x

y x

yx

xy  

 

 ^_



由 k 的任意性及极限的唯一性可知该极限不存在 , 解

. )

0 , 0 ( )

,

( 在点 处不连续

故函数 f x y

, ) 0

0 , 0

( 





x f

0 )

,0 0 (

), ( 0

)

, (

_{2 2} ²  ²  

  x y f

y x

y xy x

f

. ) 0

0 , 0

( 





y f

,

) 0 , 0 ( )

,

( 在点 处可偏导 且

即函数 f x y

显然

f

_x

( 0, 0 ) 

^{ 0}

0 0 lim 0

) 0 , 0 ( )

0 , 0 lim (

) 0 , 0

( 0 0 



 







 







 y y

f y

f f

y y y

x

f x

f

x 





 





) 0 , 0 ( )

0 , 0

lim (

0

对多元函数来说 , 函数的偏导数 存在与否与函数的连续性无必然关系 .

这是多元函数与一元函数的 一个本质区别 .

想想是什么问题 想想是什么问题 想想是什么问题 ? ? 想想是什么问题 ? ?

该该 例例 说说 明明 了了 一一 个个 重重 要要 问问 题题

？？ 该该 例例 说说 明明 了了 一一 个个 重重 要要 问问 题题

？？

4. 偏导数的几何意义

0) 0

, d (

d

0

0 f x y x x

x x

f x x y

y  



 





  

0

) , (

y y

y x f z

Tx

M₀

0, ) 0

d ( d

0

0 f x y y y

y y

f x x y

y  



 



是曲线 

 

0

) , (

x x

y x f

z M₀Ty

在点 M₀ 处的切 对 x 轴的斜率线.

在点 M₀ 处的切线 斜率 .

是曲线

x0

Ty

y x

z

O

Tx

y0

对 y 轴 的

M0

) ,

(x₀ y₀

二元函数的偏导数存在 , 只是表明函数沿 x 轴和 y 轴方向是连续的 , 而二元函数在一点处连续必须是沿空间 的任何方向均连续 , 故由偏导数存在不能推出函数连续 .

偏导数的几何意义说明了一个问题 :

二、高阶偏导数

设 z = f (x , y) 在域 D 内存在连续的偏导数 )

, ( ,

) ,

( f x y

y y z

x x f

z

y

x 



 





若这两个偏导数仍存在偏导数，

) ( x

z



 ) ( y

z x 







) ( x

z y 







) , ( )

( ²₂ f x y

y z y

z

y  ^{y y}



 









则称它们是 z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 .按求导顺序不同 , 有四个二阶偏导数 :

2 2

x z



   f_xx(x, y);

y x

z





 ²  f_xy (x, y)

);

, (

2

y x x f

y z

x

 y





 

x



1. 高阶偏导数定义



 











 

 

 



x z y x

x f

y x x f

z

xx

xx( , ) ( , )

2 2



 











 

 

 





x z y y

x f

y x y f

x z

xy

xy( , ) ( , )

2



 











 

 

 





y z y x

x f

y x x f

y z

yx

yx( , ) ( , )

2



 











 

 

 



y z y y

x f

y x y f

z

yy

yy( , ) ( , )

2 2

混合偏导





纯偏导 即

类似可以定义更高阶的偏导数 .

例如， z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数 为

3 3 2

2

)

( x

z x

z

x 

 









z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶

) y (





y x

z

n n





 _1 偏导数为

1 1









n n

x

z

y

ex ²

2 ^

 例 6. 求函

数 z  e^x2y ₂ .

3

x y

z





 解 : 



 x z

 



2 2

x z

) (

2 2

3

x y

z x x

y z









 







 

 y z

 





x y

2z

 





y x

2z

 



2 2

y z

注意 : 此处 ,

2 2

x y

z y

x z





 





 但这一结论并不总成立 .

y

ex^2 2e^x2y

y

ex^2 2e^x2y

y

ex ²

2 ^ 4e^x2y

的二阶偏导数及

0 ) ,

(

4 _{2 2}

2 2 2

4 2

2

4  





 x y

y x

y y

x x x

y f y

f_{x x}

y 









) 0 , 0 ( )

, 0 lim (

0

 ) , (x y f _y

例如 ,

 ) , (x y f_x

 ) 0 , 0

y ( fx

x f x

f f ^{y y}

x x

y 



 





) 0 , 0 ( )

0 , lim (

) 0 , 0

( 0

二 者 不 等

y y

y 



 



lim0  1 x

x

x 

 



lim0  1

 ) , (x y f

0 ,

0 x²  y² 

0 ) ,

(

4 _{2 2}

2 2 2

4 2

2

4  





 x y

y x

y y

x y x

0 ,

0 x²  y² 

0

, ^{2 2}

2 2

2

2  



 x y

y x

y y x

x

0 ,

0 x²  y² 

这说明只有在一定的条件下求函数 ), 0 , 0 ( )

0 , 0 (

, f

_xy

  f

_yx



在该例中

的高阶偏导数才与求导顺序无关 .

, )

, (

) (

)

( 和 都在点 _{0 0} 连续

若 f_xy x,y f _{y x} x,y x y )

, (

) ,

(x₀ y₀ f x₀ y₀ f_{x y}  _{y x}

定理 . 则

例如 , 对三元函数 u = f (x , y , z) ,

) , , ( )

, , ( )

, ,

(x y z f x y z f x y z

f_xyz  _yzx  _zxy 说明 :

本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立 .

函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序 .

) , , ( )

, , ( )

, ,

(x y z f x y z f x y z

f_xzy  _yxz  _zyx



因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,

当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时 , 有

而初等

证 : 令F(x,y)  f (x₀  x, y₀  y)  f (x₀  x, y₀)

) ,

( )

, ( )

(x  f x y₀  y  f x y₀



则 F(x,y) 

x x

x   





( ₀



₁ )

x y

x x

f y

y x x

f_x      _x   

 [ ( ₀



₁ , ₀ ) ( ₀



₁ , ₀) ] y

x y

y x x

f_{x y}      

 ( ₀



₁ , ₀



₂ )

) ,

( )

,

(x₀ y₀ y f x₀ y₀

f   



) , (

) , (

)

(y  f x₀  x y  f x₀ y



) 1 0

( 



₁ 

) 1 ,

0

( 



₁



₂  )

( )

(x₀ x



x₀



   令

) ,

( )

, (

) ,

( x y f x₀ x y₀ y f x₀ x y₀

F          

) ,

( )

,

(x₀ y₀ y f x₀ y₀

f   

 同样

) (

)

( y₀ y



y₀



  



y x

y y

x x

f _{y x}      

 ( ₀



₃ , ₀



₄ )

) 1 ,

0

( 



₃



₄ 

) ,

( )

,

(x₀ y₀ f x₀ y₀ f_{x y}  _{y x}

）

（

）

（

因 f_xy x, y , f _{y x} x, y 故令x  0, )

,

(x_{0 3} x y_{0 4} y

f _{y x}    



 

) ,

(x_{0 1} x y_{0 2} y

f_{x y}    



 

在点 (x₀，y₀)连续 , 得

 0

y

高阶偏导数计算举例 例 7. 证明函数 1 , ^{2 2 2}

z y

x r r

u     满足拉普拉斯

2 0

2 2

2 2

2 



 



 





z u y

u x

 u 方程 u

( , , ) sin( ) ln( ), _{xyz zyx}. f x y z



x yz



z xy f



f

例 8.

设求证

例 9. sin 3, ₃ .

3 2

2

x y z

x y

x

z 

 





 求全部二阶偏导和

设

. )

( )

( ,

1 )

(

, )

( ),

( , )

( ), ( ,

, )

( )

( ),

(

12

y x z

x p y z

p u

u t

p u

u f

y x u

dt t p u

u u

f

z ^x

y



 



 













求

且 连续

可微 其中

的函数

是 确定

方程 设

例









例 7. 证明函数 1 , ^{2 2 2} z y

x r r

u     满足拉普拉斯

2 0

2 2

2 2

2 



 



 





z u y

u x

u

证： 



 x u

 



2 2

x u

利用对称性 , 有 1 3 ,

5 2 3

2 2

r y r

y

u   





2 2 2

2 2

2

z u y

u x

u



 



 



 

 方程 u

x r r 

 1₂ 

r x r 



 1₂

3

1

 r

x r r

x



 

 3₄

5 2 3

3 1

r x r 





5 2 3

2

2 1 3

r z r

z

u   





5

2 2

2 3

) (

3 3

r

z y

x r



 





r2



 0

( , , ) sin( ) ln( ), _{xyz zyx}. f x y z



x yz



z xy f



f

设求证

证 .

xy z y yz

f_x  sin( ) 

x yz  z

 sin( ) )

cos( yz z

f_xy 

) sin(

)

cos( yz yz yz f_xyz  

) ln(

)

cos( yz xy

xy

f_z  

yz y xyz

yz x

f_zy 1

) sin(

)

cos(  



) sin(

)

cos( yz yz yz f_zyx  

zyx .

xyz f

f 

 例 8.

例 9.

^{sin 3,} ₃ ^.

3 2

2

x y z

x y

x

z 

 





 求全部二阶偏导和

设

解 :  2

²

 1 ,



 y x x

z _{2 x}

²

_{y cos y .}

y

z  





, 2

²

2 2

x y

z 



 4 .

2

y xy x

z 





 ,

sin 2

²

2 2

y y x

z  



 4 ,

2

x xy y

z 







.

3

0

3





 x

z

例10^. 设

z  x

^y(

x 

0,

x 

1)_，

求证 z y

z x x

z y

x 2 ln

1 



 



 .

证





 x

z

yx ^y1,





 y

z

x ^y ln x,

y z x x

z y

x



 





ln

1

x x

yx x y

x

_{y y}

ln ln

1



1



^

y

y

x

x 



^{ 2z.} _{原结论成立．}

例11^.设arcsin₂₂ y

x z x

_，求 x

z



，

y z



.

解





 x

z 

 

 





 

  x y

^x

x y

x

x

^{2 2}

2 2

2

1

1

3 2 2

2 2

2

)

| (

|

x y

y y

y x

 

 

| .

|

2

2 y

x

y

 

|)

| ( y²  y

 

 y

z 

 

 





 

  x y

^y

x y

x

x

^{2 2}

2 2

2

1

1

3 2 2

2 2

) (

) (

|

|

x y

xy y

y x



 

 

y y

x

x

1

2 sgn

2







( y  0)

, )

( x

u u

f 

 

设 z  f (u), _方程 u 



(u) 



_y^{x p(t) dt}

确定 u 是 x , y 的函 数 ,

, )

( , )

( 可微

其中 f u



u ^p(t),



^(u)

连续 , 且



(u)  1, _求 ^{( ) ( ) .} y x z

x p y z

p 

 



 解 : 



 x z

y u u

y f z



 

 

 ( )

x u u

x u



 

 





( ) _{ p(x)}

y u u

y u



 

 





( ) ^{ p( y)}

 

 x u

) ( 1

) (

u x p



^



 

 y u

) ( 1

) (

u y p



^



 )

(u f 

 

 



 

y x z

x p y z

p( ) ( )

 

y x u

x p y u

p 

 



 ( ) )

(  0

例 12

.

内容小结

1. 偏导数的概念及有关结论

• 定义 ; 记号 ; 几何意 义• 函数在一点偏导数存 在

函数在此点连续

• 混合偏导数连续 与求导顺序无关 2. 偏导数的计算方法

• 求一点处偏导数的方法

先代后求 先求后代 利用定义

• 求高阶偏导数的方法 逐次求导法 ( 与求导顺序无关时 , 应选择方便的求导顺 序 )