第一节 多元函数的基本概念

推广

第九章

一元函数微分学

多元函数微分学

注意 : 善于类比 , 区别异同

多元函数微分法

及其应用

第九章

第一节

一、区域

二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性

多元函数的基本概念





) ( ₀

o P P

U  0  PP₀  δ

一、 区域

1. 邻域

点集 ^{U (P}₀^{,δ ) }



^P



^, _称为点 P₀ 的 _{邻域 .} 例如 , 在平面上

, ^{U ( P}₀ ^{, δ) }



^{(x, y)}



^{( 圆邻域 )}

在空间中 ,



^{( , , )}



) ,

( P₀ x y z

U  

( 球邻域 )

说明：若不需要强调邻域半径 _{, 也可写成} ^{U ( P}₀^). 点 P₀ 的去心邻域记为

δ PP₀ 

δ y

y x

x  ₀)²  (  ₀)²  (

δ z

z y

y x

x  ₀)²  (  ₀)²  (  ₀)²  (

在讨论实际问题中也常使用方邻域 ,

平面上的方邻域为





(P₀,δ ) (x, y)

U 

。

P

0

因为方邻域与圆 邻域可以互相包含 .

0 δ , x

x   ^{y  y}₀ ^{ δ}

2. 区域

(1) 内点、外点、边界点 设有点集 E 及一点 P

 :若存在点 P 的某邻域 U(P)

E ,

 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E =

 ,

 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E 中的内点也 含 E

E

则称 P 为 E 的内点；

则称 P 为 E 的外点

;

则称 P 为 E 的边界点 的外点 , .

显然 , E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .

(2) 聚点

若对任意给定的 _{, 点} P 的去心 )

,δ P U^ (

E

邻域 内总有 E 中的点 , 则 称 P 是 E 的聚点 .

聚点可以属于 E , 也可以不属于 E ( 因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .

E 的边界点 )

D

(3) 开区域及闭区域

 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；

 若点集 E E , 则称 E 为闭集

； 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相 连 ,

 开区域连同它的边界一起称为闭区域 . 则称 D 是连通的

 ;连通的开集称为开区域 , 简称区域

; 。

。

 E 的边界点的全体称为 E 的边界 , 记作 E ;

例如，在平面上



⁽x^, y⁾ x  y  ⁰





⁽x^, y^{) 1}  x²  y²  ⁴





^{(x, y) x  y  0}





^{(x, y) 1  x2  y2  4}



开区域

闭区域









x y

O

x y

2 O 1

x y

O x

y

2 O 1

 整个平 面

 点集



^{(x, y) x 1}



^是开集，

是最大的开域 也是最大的闭域 , ;

但非区域 .

1 1

 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某 定点 A 的距离  AP K ,则称 D 为有界域

界域 . ,

否则称为无 x y

O

*3. n 维空间

n 元有序数组( x₁, x₂,, x_n) 的全体所构成的集合记作

n,

R _即 Rⁿ  R  R  R



^{( x}₁^{, x}₂^,_^{, x}_n^{) x}_k ^{ , k 1, 2,}_^,n



 R

中的每一个元素用单个粗体字母 x 表示 , 即 Rn

) ,

, ,

( x₁ x₂  x_n

 x

Rn

定 定 定 定 定 定 定 定 定义 :

) ,

, ,

( x₁  x₂  x_n

 x  _

R ,

R )

, ,

, ( ),

, ,

,

( _{1 2}  _{1 2}  

 x x  x_n y y y  y_n ⁿ  定定 x

) ,

, ,

( x₁  y₁ x₂  y₂ x_n  y_n



 y 

x 线性运算

其元素称为点或 n 维向量 x_i . 称为 x 的第 i 个坐标 或 第 i 个分量 .

. R

) 0 , ,

0 , 0

( 称为 中的坐标原点或零向量 零元0  ⁿ

称为 n 维空间 ,

的距离定义为

2 2

1

1 ) ( )

(x  y  x_n  y_n

中点 a 的  _邻域 为

) ,

,

(y₁  y_n

 y



^{x δ}



δ

U (a, )  x  Rⁿ, (x,a)  ),

, ,

(

Rⁿ定定定 x  x₁  x_n

y x

y

x, ) 定 

( )

, ,

, (

,定 x  x₁ x₂  x_n

定定 与零元 0 的距离为

2 2

2 2

1 x xn

x   

 

x

. ,

3 , 2 ,

1 定 x 定 定 定 定 x 定 n 

, 0

Rⁿ中的变元 x 与定元 a 满足 x  a 

. a x  定 定

Rn

记作

则称 x )

, ,

2 , 1

(k n

a

x_k  _k  



 a x

) ,

, ,

(a₁ a₂  a_n

 定 a

显然

趋于 a ,

二、多元函数的概念

引例 :

 圆柱体的体积

 定量理想气体的压强

 三角形面积的海伦公式 ,

π r²h V 

,

( R为常数）

V T p  R

2 )

( a b c

p   

c

b a



^{(r, h) r  0, h  0}





^{(V , T ) V  0, T  T}₀





^{(a,b,c ) a  0, b  0, c  0, a  b  c}



) )(

)(

( p a p b p c

p

S    

h r

定义 1. 设非空点集D  Rⁿ,

D P

P f

u  ( ),  或

点集 D 称为函数的定义域 数集;



^{u u  f ( P) ,P  D}



称为函数的值域 .

特别地 , 当 n = 2 时 , 有二元函 数 z  f (x, y), (x, y) D  R² 当 n = 3 时 , 有三元函数

) 3

, , ( ),

, ,

(   R

 f x y z x y z D u

映射 f : D  R 称为定义 在 D 上的 n 元函数 , 记

作 u  f (x₁, x₂,, x_n)

x z

y 例如 , 二元函数z  1 x²  y²

定义域为圆域



^{(x, y) x2  y2 1}



说明 : 二元函数 z = f (x, y), (x, y)  D 图形为中心在原点的上半球面 .

, ) sin(

, z  xy 又如

的图形一般为空间曲面  .

1 ) 2

,

(x y  R

三元函数 u  arcsin(x²  y²  z²) 定义域为



^{(x, y, z) x2  y2  z2 1}



图形为 R⁴_{空间中的超曲面} ^. 单位闭球

x y

z

O

O

O

三、多元函数的极限

定义 2. 设 n 元函

数 f (P), P  D  Rⁿ, 点 ,

, ) , (P₀ δ U

D

P   ^ f (P)  A  ε,_则称 A 为函 数

( 也称为 n 重极

限 ) 当 n =2 时 ,

记

0 2 0 2

0 (x x ) ( y y )

PP    

 

二元函数的极限可写作

：

f x y  A



( , ) lim

0



A P

P f

P 

 ( ) lim

0

P₀ 是 D 的 若存在常数 A , 聚 对一

，记作 时的极限

当 ₀ )

(P P P

f 

A y

x f

y y x

x







( , ) lim

0 0

都有

对任意正数  , 总存在正数 切 ,

例 1.

设 1 ( 0)

sin )

( )

,

( ^{2 2} _{2 2} ²  ² 

 

 x y

y y x

x y

x f

求证 : lim ( , ) 0.

00 

 f x y

xy

证 : 1 0

sin )

( ^{2 2} _{2 2} 

 

y y x

 x

故 lim ( , ) 0

00 

 f x y

xy

,

 0



 ε

0 )

,

(x y  f

,

0 ^{2 2} 时

当    x  y  δ

2

2 y

x 

  δ²

2

2 y

x 

 ,

ε δ 

 _总有

 ε

 ε

要证

例 2. 设









 

0 ,

0

0 ,

sin ) sin

,

( ^{1 1}

y x

y x y

y x x

f ^{y x}

求证：lim ( , ) 0.

00 

 f x y

xy

证：

0 )

,

(x y 

 f

故 lim ( , ) 0

00 

 f x y

xy

,

 0



 ε

2

0 )

,

(x y x² y²

f   

y x 

  2 x²  y² ,

2 ε δ 

 当0  ρ  x²  y²  δ 时，

x

y y

xsin ¹  sin ¹



总有

δ

 2  ε

 ε

要证

 若当

点 P(x, y)

趋于不同值或有的极限不存在，

解 : 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,

2

) 2

,

( x y

y y x

x

f  

2 2 2

2 0

0 ( , ) lim

lim x k x

x y k

x

f x

kx

xy  

 



在点 (0, 0) 的极限

.

) , (x y 故 f

则可以断定函数极限

则有 1 k 2

k

  k 值不同极限不同

在 (0,0) ! 点极限不存在

.

以不同方式趋于 P₀(x₀, y₀) 时, 不存在 .

例 3. 讨论函数

函数

例 4. 求 _{2 2 2 2}

2 2

00 ( )

) cos(

lim 1

y x y

x

y x

xy 







解 : 因x² y²  ₄¹ (x²  y²)²,

2 2 2

2

2 2

) (

) cos(

1

y x y

x

y x







而 ₆ ²

0

) cos

1 ( lim 4

r

r

r





此函数定义域 不包括 x , y 轴

2,

2

2 x y

r  

令 ^则

6

2) cos

1 ( 4

r

 r



6 4 0

lim 2 r

r

r

  

cos 2

1 r

~ r2⁴

故  







 2 2 2 2 2 2

00 ( )

) cos(

lim 1

y x y

x

y x

xy

仅知其中一个存在 ,推不出其他二者存在 . 注 . 二重极

限 lim ( , )

0 0

y x f

y y x x

) , ( lim

lim

0 0

y x

x f

x y

y 

及 不同 .

如果它们都存在 , 则三者相等 .

例如 , ( , ) _{2 2} , y x

y y x

x

f   _显然

) , ( lim

lim

0 0

y x

y f

y x

x 

与累次极限

) , ( lim

lim0 0 f x y

y

x  lim lim ( , )

0

0 f x y

x

y   0

,

 0

但由例 3 知它在 (0,0) 点二重极限不存

在 .

例 3

四、 多元函数的连续性

定义 3 . 设 n 元函 数

) (P

f _{定义在 D 上} ,

) (

) (

lim ₀

0

P f

P

P f

P 



) 0

(P P

f 在点

如果函数在 D 上各点处都连续 , 则称此函数在 D 上

0 D, P  聚点

如果存在

否则称为不连续 , P0

此时 称为间断点

.

则称 n 元函数

连续 .

连续 ,

例如 , 函 数













 



0 ,

0

0 ) ,

, (

2 2

2 2

2 2

y x

y y x

x

y x y

x f

在点 (0 , 0) 极限不存在 ,

又如 , 函数

1 ) 1

,

( _{2 2}



 

y y x

x f

上间断 .

2 1

2  y  x

故 ( 0, 0 ) 为其间断

点 .

在圆周

结论 : 一切多元初等函数在定义区域内连续 .

定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续 , 则 (1)  K  0,

) ( )

2

( f P

, ] ,

[m M



* (4) f (P) 必在 D 上一致连续

.

; ,

)

(P K P D

f  

使

在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;

(3) 对任意  Q  D，使 f (Q)   ;

( 有界性定理 )

( 最值定理 )

( 介值定理 )

( 一致连续性定理 )

闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质 :

( 证明略 )

1. lim 1

00 xy y x

xy







解 : 原式

) 1 1

(

1 )

1 lim (

2

00  



 

 xy xy y x

xy 2

 1 例 5. 求

2

2

2 )

3 arcsin(

) ,

( x y

y y x

x

f 



  1 3 x²  y² 

4 2  x²  y² 

例 6. 求函数 的连续域 .

解 :

2  0

 y x

y2

x 

1 1

lim 1

00  



 xy

xy

O 2

y

x

2

1 1

1 1







 

y x

y x

内容小结

1. 区域

• 邻域 :U (P₀,δ), U^ (P₀,δ)

• 区域 连通的开集

• Rⁿ空间

2. 多元函数概念

n 元函数  f (x₁, x₂,, x_n)

常用 二元函数 ( 图形一般为空间曲面 ) 三元函数

D P 

) (P f

u 

Rn



A P

P f

P 

 ( ) lim

0

,

 0

ε δ  0, 当0  PP₀  δ 时，

有 f (P)  A  ε 3. 多元函数的极限

4. 多元函数的连续性

1) 函数f (P)在P₀ 连续 lim ( ) ( ₀)

0

P f

P

P f

P 



2) 闭域上的多元连续函数的性质 :

有界定理 ; 最值定理 ; 介值定理 3) 一切多元初等函数在定义区域内连续

P61 题 2; 4; 5 (3), (5) ( 画图 ) ; 思考与练习 8

解答提示 : P61 题 2 .

) , ( )

,

(tx ty t² f x y

f  称为二次齐次函数 . P61 题 4

.

x y

x xy

y x

y x y x

y x

f (  ,  , )  (  )  ( )² P61 题 5(3)

. 定义域









: 0

y

y D x

P61 题 5(5)

. 定义域

2 2

2 2

: r2 x y z R

D    

x2

y 

D y

O x

R x

o y

D r

z O

P62 题 8. 间断点集



^{(x, y) y2  2x  0}



P129 题 3.定义域













1 0

: ²₂ 4₂ y x

x D y

2 0 4

4 2

2

00 lim 1

lim k x

x k y

x

y x

y x

x  

 ^



) 0 2, ( 1 )

, ( lim

02

1 f x y f

y

x 



34 ln

 2

P129 题 *4 .

令 y= k x ，

 0 若令 y  x ₂ ² ₄

00

lim x y y x

xy 

 2

 1

2 2 0 2 lim x

x

x



D

x y²  4 y

x

1

, 则

可见极限 不存在

P61 5 (2), (4), (6)

6 (2), (3), (5), (6) *7 ， *10

作 业

备用题 1. 设 f (x y , ^y_x² )  x²  y² , 求 f ( ^y_x² , x y). 解法 1

令

u y

x  x v

y² 

3 uv y 

3 uv x  u

 ) , (u v

f 23

) (

2

v u

u ²₃

) (uv

 ,

2

x

u  y v  x y

 ) ,

(

2

y x x

f y ( ^y_x² )² y2

y2

 ₂² y² x

y 



1 . 设 f (x y , ^y_x² )  x²  y² , _求 f ( ^y_x² , x y).

解法 2 令

u y v

x

 2

v x u

y² 

v y 

u x  v

) ,

(

2

x y y

x

 f ) ,

(

2

v u u

f v

 

² v²

u

v 

 即 ( , ) 

2

y x x

f y ₂ ²

2

x y

y 

) ,

(

2

v u u

f v

y x

y x

xy 





2

00

lim _



x

x x

x

3 2

lim0 ^ 



) (

lim ^{2 3}

0





 

 x x

x

,

1

2. x y

x xy

xy 





) 1

lim ln(

00 是否存在？

解 : 利用

x x

y  ^  取

所以极限不存在 .

 3



 3



 3

 



  0 ,

 , y

x y

x ) ~ 1

ln(  y x

x xy

xy 





) 1

lim ln(

00

3. 证明 f (x, y)  ^{x2  y2 , (x, y)  (0,0)} y

x

) 0 , 0 ( )

, ( ,

0 x y 

在全平面连续 .

证 : 在(x, y)  (0,0)处, f (x, y) _{为初等函数 , 故连} 续 .

又 0 2 2

y x

y x

 

y x y

x²  ²  2

2 2

2 2

2 1

y x

y x



  ^{2 2}

2

1 x  y



2 2

00

lim x y

y x

xy^_   0  f (0,0) 故函数在全平面连续 .

由夹逼准则得