第九节 二元函数的泰勒公式

*

第九 节

一、二元函数泰勒公式

二、极值充分条件的证明

二元函数的泰勒公式

第九章

一、二元函数的泰勒公式

一元函数 f (x) _{的泰勒公式 :}



 

 



 _{0 0} ^{0 2}

0 2!

) ) (

( )

( )

( f x h

h x

f x

f h

x f

n n

n h x f

!

) ( ₀

)

 ( ^{0 1}

) 1 (

! ) 1 (

)

( _





 ⁿ  hⁿ

n

x x

f



) 1 0

( 



 推广

多元函数泰勒公式

记号( 设下面涉及的偏导数连续 ):

) ,

( )

( f x₀ y₀

k y h x



 





) ,

( )

( ² f x₀ y₀

k y h x



 





) ,

( )

( f x₀ y₀

k y

h x ^m



 





) ,

( )

,

(x₀ y₀ k f x₀ y₀ f

h _x  _y

表示

) ,

( )

, (

2 )

,

( _{0 0 0 0} ² _{0 0}

2 f x y hk f x y k f x y

h _xx  _{x y}  _{y y}

) ,

C (

0

0 x y x0 y

k f

h _{p m p}

p m m m p

p

mp  

  





• 一般地 ,

•

• 表示

表示

定理 1.设 z  f (x, y) 在点(x₀, y₀) _{的某一邻域内有直} 到 n + 1 阶连续偏导数 ,(x₀  h, y₀  k) _{为此邻域内任}

一点 , 则有

) ,

( )

,

(x₀ h y₀ k f x₀ y₀

f     (h _^_x  k _^_y) f (x₀, y₀)





 ₂¹_!(h _^_x k _^_y)² f (x₀, y₀) ) ,

( )

( _{0 0}

1! h _x k _y ⁿ f x y

n 

 



) ,

( )

( ¹ _{0 0}

! ) 1

( 1 h k f x h y k

R_n  _{n }^_x  _^_y ^n 







) 1 0

( 



 Rn

 其中

①

②

① 称为 f 在点 (x₀ , y₀ ) 的 n 阶泰勒公式② 称为其拉格, 朗日型余项 .

证 : 令



(t)  f (x₀  th, y₀  tk) (0  t  1),

则



(0)  f (x₀, y₀),



(1)  f (x₀  h, y₀  k) 利用多元复合函数求导法则可得 :

) ,

( )

, (

)

(t  h f_x x₀  ht y₀  kt  k f _y x₀  ht y₀  kt





) ,

( ) (

) 0

(  h _^_x  k _^_y f x₀ y₀







) ,

( )

(t  h² f_xx x₀  ht y₀  kt





) ,

(

2hk f_xy x₀  ht y₀  kt



) ,

( _{0 0}

2 f x ht y kt

k _{y y}  



) ,

( )

( )

0

(  h _^_x  k _^_y ² f x₀ y₀







) ,

C ( )

(

0 0 0

) (

t k y

t h y x

x k f

h

t ^{p m p} _p ^m _{m p}

m p

mp

m    

 ^  _







一般地 ,

) ,

( )

( )

0

( _{0 0}

)

(^m  h _^_x  k _^_y ^m f x y





由



(t)_{的麦克劳林公式 , 得}

 ) 1



(

)

) (

1 (

! ) 1

( _1



^



 _n ⁿ (0 



1) 将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式 .

) 0 ( )

0 ( )

0 ( )

0

(



₂¹_!



_n¹_!



⁽ⁿ⁾



    

) ,

( )

( ¹ _{0 0}

! ) 1

( 1 h k f x h y k

R_n  _{n }^_x  _^_y ^n 







说明 :

(1) 余项估计式因 . f 的各 n+1 阶偏导数连续 在某闭, 邻域其绝对值必有上界 M

, _令



 h²  k ², ^则有

) 1

!( ) 1 (

 

  ⁿ

n h k

n

R M 



 



 



 



sin cos k

h

1 1(cos sin )

! ) 1 (



 

  ^{n n}

n

M

  

) 1

(

max ²

] 1 , 0

[ x   x

利用

1

) 1

2

!( ) 1 (





  ^{n n}

n

M



 _o(



ⁿ₎

 2

(2) 当 n = 0 时 , 得二元函数的拉格朗日中值公 式 :

) ,

( )

,

(x₀ h y₀ k f x₀ y₀

f   

) ,

(x₀ h y₀ k f

h _x 







  k f _y (x₀ 



h, y₀ 



k) ) 1 0

( 





(3) 若函数 z  f (x, y)_在区域 D 上的两个一阶偏导数 恒为零 , 由中值公式可知在该区域上 f (x, y)  常数.

定理 1

例 1. 求函数f (x, y)  ln(1 x  y)在点(0,0) 解 :

y y x

x f

y x

f_{x y}



 

 1

) 1 ,

( )

, (

的三阶泰 勒公式 .

)2

1 ( ) 1

, ( )

, ( )

,

(x y f x y f x y x y

f_{xx xy yy}





 





3 3

3

) 1

(

! 2

y x

y x

f

p

p   







 ( p  0,1,2,3)

4 4

4

) 1

(

! 3

y x

y x

f

p

p  

 







 ( p  0,1,2,3,4)

因此 , (h _^_x  k _^_y) f (0, 0)  h f_x (0, 0)  k f _y (0, 0)  h  k

) 0 , 0 ( )

(h _^_x  k _^_y ² f

) 0 , 0 ( )

(h _^_x  k _^_y ³ f

) 0 , 0 ( )

0 , 0 ( 2

) 0 , 0

( ²

2 fxx hk fxy k f y y

h  



) 0 , 0

C ^{3 3} ₃ (

3 0

3 p p

p p

p

p

y x

k f

h ^ _

  







)2

(h  k





)3

(

2 h  k

 ,

0 )

0 , 0

( 

又 f 将h  x,k  y 代入三阶泰勒公式得





 )

1

ln( x y x  y ( )²

2

1 x  y

 ( )³ ₃

3

1 x  y  R



)3

1 (

! 2

y x 



) ,

( )

,

(x₀ h y₀ k f x₀ y₀

f     (h _^_x  k _^_y) f (x₀, y₀) )

, ( )

( ² _{0 0}

!

21 h _^_x  k _^_y f x y

  ₃¹_!(h _^_x  k _^_y)³ f (x₀, y₀)  R₃ 其中

) ,

( )

( ⁴

3 h k f h k

R  _^_x  _^_y

 

⁴ ₄

) 1

(

) (

4 1

y x

y x



 



 





y k

x h





) 1 0

( 





时 , 具有极 值

二、极值充分条件的证明

的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数 , 且

令

则 : 1) 当

A < 0 时取极大值

;A > 0 时取极小值 2) 当 .

3) 当

时 , 没有极值

.时 , 不能确定 , 需另行讨

若函数 z  f (x, y) 在点 (x₀ , y₀) 的 0

) ,

( ,

0 )

,

(x₀ y₀  f x₀ y₀ 

f_{x y}

) ,

( ,

) ,

( ,

) ,

(x₀ y₀ B f x₀ y₀ C f x₀ y₀ f

A  _xx  _{x y}  _yy

2  0

 B AC

2  0

 B AC

2  0

 B AC

定理 2 ( 充分条件 )

证 : 由二元函数的泰勒公式 , 并注 意 f_x (x₀ , y₀ )  0 , f _y (x₀ , y₀)  0 则有 z  f (x₀  h, y₀  k)  f (x₀ , y₀)

0 2 2 0

1[ f_xx (x 



h, y 



k)h



k h k y

h x

f_xy ( , )

2 ₀ 



₀ 





] )

,

(x₀ h y₀ k k ² f _{y y} 









, )

, (

) ,

( 的二阶偏导数在点 _{0 0} 连续

由于 f x y x y 所以







  

 h y k A x

f_xx ( ₀ , ₀ )







  

 h y k B x

f_xy ( ₀ , ₀ )







  

 h y k C x

f_{y y} ( ₀ , ₀ )

0 0 ,

0 

 ^{k 时} h

 0



 0



] 2

[ ^{2 2}

21 Ah  Bhk  Ck

其中 ,  ,  _是当 h →0 , k →0 时的无穷小

量 , 于是



z

) ,

2 (

1 Q h k

 (



 h²  k ² )

,

, 很小时

因此当 h k z的正负号可由Q(h,k)确定. (1) 当 AC － B² ＞ 0 时必有 , A≠0 , 且 A 与 C 同号 ,

] )

( )

2 [(

) ,

(h k ¹ A²h² ABhk B²k ² AC B² k ²

Q  _A    



] )

( )

[( ^{2 2 2}

1 Ah Bk AC B k

A   



可见 , 当A  0时,Q(h,k)  0,_从而△ z ＞ 0 , 因此 f (x, y)

; )

,

( _{0 0} 有极小值

在点 x y

) (



²

 o

] 2

[ ^{2 2}

12



h 



hk 



k



] )

( )

[(

) ,

(h k ¹ Ah Bk ² AC B² k ²

Q  _A   

, 0 )

, ( ,

0 

 Q h k

A 时

当 从而 △ z ＜ 0,因此 f (x, y) 在点

; )

,

(x₀ y₀ 有极大值

(2) 当 AC － B² ＜ 0 时若, A , C 不全为零 , 无妨设 A≠0, 则 Q(h,k)  ¹_A[(Ah  Bk)²  (AC  B²) k ²]

) ,

( 0

) (

) (

) ,

(x y 沿直线 A x x₀ B y y₀ 接近 x₀ y₀

当    

时 , 有Ah  Bk  0, 故 Q(h,k) 与 A_异号 ; )

, (x y

当 沿直线 y  y₀  0接近(x₀, y₀ )时, 有 k  0, A

k h

Q 与

故 ( , ) _同号 .

可见 △ z 在 (x₀ , y₀) 邻近有正有负 , 在点

因此 f (x, y) (x₀, y₀)无极值 ;

) ,

(x₀ y₀

x y

O

+

－ + 若 A ＝ ^C ＝

0 , 则必有 B≠0 ,不妨设 B ＞ 0 ,此时

2 2 2

) ,

(h k Ah Bhk Ck

Q   

) ,

(x₀  h y₀  k 对点

,

, 同号时

当h k Q(h,k)  0, ,

, 异号时

当h k Q(h,k)  0, 可见 △ z 在 (x₀ , y₀) 邻近有正有负 ,

在点

因此 f (x, y) (x₀, y₀)无极值 ;

k h B

 2

,

 0 从而z

,

 0 从而z

(3) 当 AC － B² ＝ 0 时 ,

若 A≠0, 则 Q(h,k)  ¹_A (Ah  Bk)² 若 A ＝ 0 ,则 B ＝ 0 , Q(h,k)  Ck ²

可能 )

, (h k Q

为零或非零 x y

) ,

(x₀ y₀ O

此时

) (

) ,

( ²

21 Q h k o



z  



因此

作业

P123 1 , 3 , 4 , 5

, )

( ,

0 )

,

( 时 的正负号由 ² 确定 因为Q h k  z o



不能断定 (x₀ , y₀) 是否为极值点 .