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第 8 章 常微分方程 导学解答

8.1 微分方程的基本概念 ^8.2.1 可分离变量的微分方程 一、相关问题

1.

将初始温度u₀ 100⁰C的一杯水放置于环境温度

u

a_保持在20⁰_{C的桌上，}10 分钟时测 得水的温度为85⁰C 。如果水的温度低于

55

⁰

C

才可以喝，请问再过20分钟后这杯水能喝 了吗？

解 解决这一问题，需要了解有关热力学的一些基本规律.热量总是从温度高的物体向 温度低的物体传导的；在一定的温度范围内，一个物体的温度变化速度与这个物体的温度 和其所在介质温度的差值成正比.

设物体在

t

_{时刻的温度为}

u u t  ( )

_，从

t    t t

^，温度从

^{u t ( )  u t (   t )}

^，注意

到热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导，因而

u

0

 u

a_{，所以温度差}

u u 

_a恒正，

又因物体将随时间而逐渐冷却，则温度的改变量为



  u u t (    t ) u t ( )   k u t ( (    t ) u

_a

)  t

_，

两边除以

 t

，并令

  t 0

得温度变化速度为

 

du (

_a

) k u u

dt    （微分方程）

即

a

du kdt u u  

 两边积分得

a

du kdt

u u  

  

即 ^ln( u u 

a

⁾    kt C （通解，定界条件）

其中

k  0

是比例常数.从而得出描述物体冷却过程的微分方程模型为

 

0

( )

(0)

a

du k u u dt

u u

   

 

 



（微分方程初值问题）

容易求出这个一阶微分方程初值问题的解为

(

0

)

^kt

a a

u u   u  u e

^ .

将

u

_a

 20

⁰

C

，u₀ 100⁰C10，分钟时水的温度为85⁰C代入即可算出

k

，再将

t  30

代入计算后即可进行判断。

2. 现代城市高楼林立，高空坠物事件经常发生。你能根据坠物砸到地面的损 坏情况或地面印迹等信息判断坠物掉落的高度吗？

解 分析影响自由落体运动的的因素，记物体质量为

m

_，

t

_{时刻下落的高度为}

h t ( )

_。 假设不考虑空气阻力

f

_，则根据Newton第二定律有

ma mg 

g t h^''( ) 两次积分容易求出通解为

2

1 2

( ) 1

h t  2 gt  C t C 

将初始条件

h (0)  h

^'

(0) 0 

代入即得

1

2

( ) 2 h t  gt

这就是熟知的自由落体运动方程。据此根据坠物砸到地面的损坏情况或地面印迹等信息判 断坠物掉落的高度方法，通过信息估计物体落到地面时的动能、速度等即可估计坠物掉落 的高度。如何改进算法提高估计的精度？

假设空气阻力

f

_{与物体运动速度}

v

_{成正比，比例系数为}

k

。根据Newton第二定律有

mg   f ma

即

mg kh t 

^'

( )  mh t

^''

( )

亦即

h t

^''

( )  ch t

^'

( )   g 0

其中，

c 

_m^k 。设

h (0)  h

0，则得到考虑空气阻力的落体运动的数学模型为

'' '

'

( ) ( ) 0

(0) 0 (0) 0

h t ch t g h

h

   

 

  



这是一二阶常系数微分方程初值问题。

假设空气阻力

f

_{与物体运动速度}

v

的平方成正比，比例系数为

k

。根据Newton第二定律 有

mg   f ma

即

mg k h t  ( ( ))

^{' 2}

 mh t

^''

( )

亦即

h t

^''

( )  c h t ( ( ))

^{' 2}

  g 0

其中，

c 

_m^k _。设

h (0)  h

₀，则得到考虑空气阻力的落体运动的数学模型为

'' ' 2

'

( ) ( ( )) 0

(0) 0 (0) 0

h t c h t g h

h

   

 

  



这是一二阶常系数非线性微分方程初值问题。

假设空气阻力

f

_{与物体运动速度}

v

的平方成正比，且比例系数为

k

是

t

_{的函数，则得到考} 虑空气阻力的落体运动的数学模型为

'' ' 2

'

( ) ( )( ( )) 0 (0) 0

(0) 0

h t c t h t g h

h

   

 

  



这是一二阶变系数非线性微分方程初值问题。

二、相关知识

2. 指出下列微分方程的阶数，回答方程是否是线性的、齐次的还是非齐次的：

（ 1 ） ，

（三阶非齐次线性方程）

（ 2 ） 

（四阶非齐次线性方程）

（ 3 ） ，

（ 阶非齐次非线性方程）

（ 4 ）

（一阶齐次非线性方程）

三、练习题

1. 一曲线通过点

(1  2)

 且在该曲线上任一点

M(x  y)

处的切线的斜率为

2x 

求这曲线的方 程

解设所求曲线的方程为  根据导数的几何意义 可知未知函 数 应满足关系式

x

dx

dy2

(1)

此外 未知函数 还应满足下列条件

时 简记为



(2)

把(1)式两端积分 得

 即



(3)

其中

C

是任意常数

把条件(2)代入(3)式 得C1,再代入(3)式 得所求曲线方程

为所求.

2. 验证函数 是微分方程d y 1 ² ( y 1)

d x 2  的解，并指出该解是通解还是 特解？

解 由 可知

，

微分方程的右边

= ，

故函数

是微分方程 d y 1 ² ( y 1)

d x 2  的解。又此解中含有一个任意常数，

而方程为一阶微分方程，故是该方程的通解。

3. 求积分曲线族 所满足的微分方程.

解 将 两边对 求导得

,

上式再对 求导得

，

从而可以求出

，

将 代入原积分曲线族整理后可得

即为所求.

4. 求微分方程

^{1 x y2 xy2} dx

dy    

的通解

解 方程可化为

(1 x)(1 y²) dx

dy   



分离变量得

^{dy x dx}

y (1 )

1 1

2  





两边积分得



_1¹_y^{2dy }



^(1x)dx

^

^{即arctany} ₂^{1x2 xC}

^

于是原方程的通解为 )

2

tan(1x² x C

y  



四、思考题

1. 通解是否包含微分方程所有的解？

答：通解不一定包含微分方程所有的解. 如在三大题的第一个练习中， 也是微分方

程的解，但不能被通解所包含. 又例如 是微分方程 的通解，但它不 能包含方程的解

.

2. 是否所有的微分方程都存在通解？

答：不是所有的微分方程都存在通解.

如方程 只有解 ，该解不含任意常数，故不是通解.