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1.3 函数的极限 导学答案

一、相关问题

1. 假设铀的衰变函数为 yae^kt, a_{是初始时刻的质量，}k0为衰变系数，分析铀 的变化过程；

2. 讨论变速直线运动^{s s t}

 

的瞬时速度^{v t}

 

的计算方法.

（

     

lim0 t

s t t s t

v t ^{ } t

  

  ^）

二、相关知识

1. 理解自变量趋于无穷时函数极限的定义，说明函数极限与数列极限的关系；

2. 叙述函数 ^{f x}

 

在x0处的左、右极限的  定义，说明当xx0时函数 ^{f x}

 

的左、

右极限与当xx0时函数 ^{f x}

 

^{的极限之间的关系.}

解：左极限的  定义：

 

0

lim 0, 0,

x x_ f x A  

       _当

0 0

x    x x _时，有 ^{f x}

 

^{ A } ；

右极限的- 定义：

 

0

lim 0, 0,

x x_ f x A  

       _当x₀  x x₀ 时，有 ^{f x}

 

^{ A } ；

函数 ^{f x}

 

在x0处的极限与左右极限的关系式：

     

0 0 0

lim lim lim

x x f x A x x_ f x x x_ f x A

      

3. 找一个函数，从几何直观上描述函数极限的过程.

三、练习题

1．给出下列极限的精确定义

（1）

0

lim ( )

x x_ f x A

 

解：  0，  0，使得当x( ,x x0 0)时恒有 f x( )A .

（2）lim ( )

x f x A

 

解：  0，  X( ) 0^，使得当x X时恒有 f x( ) A . 2．用函数极限的定义证明：

（1） sin

lim 0

x

x x

 

证：sin sin 1

x 0 x

x   x  x

故  0，要使 sin x 0

x   _，只要 1

x _，即 1₂ x .

因此，  0，可取 1₂

X  ，则当x X 时，

sinx 0 x  

故有 sin

lim 0

x

x x

  .

（2）

3

1

lim 1 3.

1

x

x x



 



证：因为x1，不妨设 x 1 1，得0 x 2，但x1。

3

1 2

3 2 2 1 ( 2) 1 4 1

1

x x x x x x x x

x

            



 0

  ，要使

3 1

1 3 x

x   

 ^{，只要4 x} ¹  _，即 1 x 4

取 min ,1 4

   

 ^，当0  ^{x 1}  _时，则有 ³ 1 1 3 x

x   

 ^.

所以有

3

1

lim 1 3

1

x

x x



 

 ^.

3. 讨论函数

2

1 , 0 ( ) 0, 0 1 , 0

x x

f x x

x x

 



 

  



在x0处的极限.

解：由于  

0 0

lim ( ) lim 1 1

x _ f x x _ x

    



²



0 0

lim ( ) lim 1 1

x _ f x x _ x

     _， f(0) 0

0 0

lim ( ) lim ( ) 1 (0)

x _ f x x _ f x f

    

可见， f x( )_在x0处的左、右极限存在且相等，所以 f x( )_在x0处的极限存在，但不

等于 f x( )_在x0处的函数值 f(0) 0 .

四、思考题

1. 讨论函数的极限时，在什么情况下应该考虑左、右极限？

解：一般来说，讨论函数 f x( )_在x0处的极限时，都应先看一看左右两侧极限的情况，

如果当xx0_时 f x( )_在x0的两侧变化一致，则不必分开研究；如果左右两侧的变化趋势

可能有差别（通常当x0为分段函数的分界点时）就应分开研究.

2. 如果要否定函数在某一点的极限存在，有哪些方法？

答：第一种情形：

   

0 0

lim , lim

x x_ f x x x_ f x

  存在但不相等，即

   

0 0

lim lim

x x_ f x x x_ f x

   _，则

 

0

xlimx f x

 不存在；

第二种情形：

   

0 0

lim , lim

x x_ f x x x_ f x

  中至少有一个不存在，则

 

0

xlimx f x

 不存在

第三种情形：

 

0

limx x f x

  _{，即xx0时，}^{f x}

 

的函数值无限增大