2.1 导数及微分

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

第2章 一元函数微分学

高等数学A

2.1 导数及微分

2.1.13 微分概念

2.1.14 微分的求法 微分形式不变性

2.1 导数及微分

微分在近似计算中的应用 微分的定义

基本初等函数的微分公式

2.1.13 微分概念 ^{可导与可微的关系}

微分的计算公式 微分的几何意义

2.1.14 微分的求法

微分形式不变性

四则运算法则

复合函数的微分法则

（ 一阶微分形式不变性）

求微分的习例2-10

2.1.15 微分应用于近似计算

及误差的估计 微分在估计误差中的应用

内容小结及课堂练习

导 数 及 微 分

习题课

结构框图 内容小结 典型习例

一.微分的概念

引例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.

2

x0

A 

x0

x0

0 ,

0 x x

x 变到   设边长由

2, x0

A  正方形面积



2 0 2

0 )

(x x x

A    





. ) (

2x₀  x  x ²



) 1

( (2)

; ,且为 的主要部分 的线性函数 A

x 



. ,当 很小时可忽略 的高阶无穷小 x

x 

 ) 1 (

) 2 (

x

x

)2

(x x

x₀

x x₀

问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?

1. 微分定义

), (

)

(x x₀ y A x o x

f

y  在 处的增量     

定义：若

. )

(

, 则称 在 ₀可微

为常数

其中A y  f x x

记为 的微分

在 称为

而Ax y  f (x) x₀ . .

| 0 A x

dy _xx  

由定义可得: (1) dy是自变量的改变量x的线性函数;

; )

( )

2

( y  dy  o x 是比x高阶无穷小

; ,

0 )

3

( 当A  时 dy与y是等价无穷小 dy

y

 A x x o





 

 ( )

1  1 (x  0).

; )

( ,

) 4

( A是与x无关的常数 但与f x 和x₀有关

).

( ,

) 5

( 当  x 很小时  y  dy 线性主部

)

(

.

2 y  f x 在x₀处可导与可微的关系

定理

. )

( ,

) (

) (

0 0

0

A x

f x

x f y

x x

f y

 







且 处可导

在

处可微 在

证明:  设 f (x) 在 x₀处可微, 则 ),

( x o

x A

y    

 ( ).

x x A o

x y



 

 



. )]

[ ( lim lim

0 0

x A x A o

x y

x

x 



 

 

 









. )

(x₀ A f   即

, )

( x 在 x₀处可导 f

y 

 且 f (x₀ )  A.

则 处可导

在

设 y  f (x) x₀ ,



).

(

lim ₀

0 f x

x y

x

 









, 0 lim

, )

(

0  0 

 













x

x x f

y 且

从而

), (

) (

)

(x₀ x x f x₀ x o x

f

y           





. )

(x 在 x₀处可微 f

y 



3. 微分的计算公式 x x

f

dy |_xx  ( ₀)

0 dy  f (x)x  yx

. ,

.

1 设 y x 求 dy

例 

解:  y  1,  dy  x

所以微分的计算公式如下：

dx x

f

dy |_{x x} ( ₀)

0  



dx y dx

x f

dy  ( )   .

x dx  



. ,

, x

dx dx

x x





 即

记作

称为自变量的微分 的增量

通常把自变量

. )

(x dx f

dy  

 f (x).

dx

dy  

".

"

. 导数也叫 微商

该函数的导数

之商等于 与自变量的微分

即函数的微分dy dx

注意

(1)一元函数的可导性与可微性是等价的. (2)微分的两个特点是:

);

(

, y dy o x

x

dy是 的线性函数 且    ).

(

, y dy o y

y

dy是 的主要部分 且    证明:

y

x x

f y

y dy y

x

x 

 



 















) lim (

lim

0

0 ( ) 0

1 lim

0























 

  

x y x f

x

. 0

lim

, (3)

0

是否成立

关键看 否可微时

用微分定义考虑函数是

 







 x

dy y

x

4. 微分的几何意义 如图所示

) (x f y 

x0

M

N

T

dy y

) ( x o 

）

x y

o ^

x

x x₀ 

P Q

, x

MQ   NQ  y, )

( tan



 f  x₀

x x

f

dy  ( ₀)



 tan

 MQ

 PQ

. , 增量 就是切线纵坐标对应的

是曲线的纵坐标增量时 当

dy

y

. ,

,

MN MP

M x

可近似代替曲线段 切线段

的附近 在点

很小时 当 

二_.微分运算法则

1. 基本初等函数的微分公式 dx

C

d( ) 0 )

1

(  (2)d(x^ )  x^1dx

xdx x

d(sin ) cos )

3

(  (4)d(cos x)  sin xdx

xdx x

d(tan ) sec² )

5

(  (6)d(cot x)  csc² xdx

xdx x

x

d(sec ) sec tan )

7

(  (8)d(csc x)  csc xcot xdx

adx a

a

d( ^x ) ^x ln )

9

(  (10)d(e^x )  e^xdx

a dx x x

d _a

ln ) 1

(log )

11

(  dx

x x

d 1

) (ln )

12

( 

dx x

x

d 2

1 ) 1

(arcsin )

13

(   dx

x x

d 2

1 ) 1

(arccos )

14

(   

x dx x

d 2

1 ) 1

(arctan )

15

(   dx

x x

d 2

1 ) 1

cot arc

( ) 16

(   

2. 四则运算法则

定理3.

且 也可微

则 为常数

是可微函数

设 , , , , , , , v

Cu u v

u v u

C v

u  

dv du

v u

d(  )   )

1 (

udv vdu

uv

d( )   )

2 (

Cdu Cu

d( )  )

3 (

) 0 (

)

4

(   ₂ 



 



 v

v

udv vdu

v d u

3. 复合函数的微分法则 定理4. 设 (1) u  g(x)在x处可微,

, )

( )

( )

2

( y  f u 在相应点u  g x 处可微

且 处可微

在

则 y  f [g(x)] x , dx

x g u f

dy  ( ) ( ) 或 d



f[g(x)]



 f (u)g(x)dx 注意： 当u为自变量时,有dy  f (u)du

dx x

g u f

dy x

g u

u为中间变量时,设  ( ), 则  ( ) ( ) 当

du u

f

dy  ( ) 即

无论u为中间变量还是自变量，都具有同一微分形式. 这种性质称为一阶微分形式不变性.

三.求微分的习例

. ),

ln(

.

2 设 y x e^x2 求dy

例  

. ,

cos .

3 设 y e^{1 3x} x 求dy 例  ^

. ),

1 ln(

.

4 ^设 y e

^{sin(ax b)}

e

^x2

^求 dy 例 

^

 

1. y  sin(2 x  1), dy .

例 设 求

例6. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:

).

( ) (

) (sin

) 2 (

; cos

) (

) 1

( d 



tdt d x²  d x

解:  y  sinu, u  2x  1. udu

dy  cos



) 1 2

( ) 1 2

cos(  

 x d x

dx x 1) 2 2

cos(  



. )

1 2

cos(

2 x  dx



1. y  sin(2 x  1), dy .

例 设 求

解:

. ),

ln(

.

2 设 y x e^x2 求dy

例  

2 , 1

2 2

x x

e x

y xe



 

 

2 . 1

2 2

dx e

x dy xe

x x



 



解:

. ,

cos .

3 设 y e^{1 3x} x 求dy 例  ^

) (cos )

(

cos x d e^{1 3} e^{1 3} d x dy   ^{ x}  ^{ x} 

. sin )

(cos ,

3 )

(e^13x    e^13x x    x



dx x

e dx

e x

dy  cos (3 ^{1 3x} )  ^{1 3x}  ( sin )

 ^{ }

. )

sin cos

3

3 (

1 x x dx

e ^x 



 ^

. ),

1 ln(

.

4 ^设 y e

^{sin(ax b)}

e

^x2

^求 dy 例 

^

 

解: dy ^ d[

e

^sin(axb)] ^ d[ln(1 ^ e^x2 )]

)]

[sin(

)

sin( d ax b

e

^{ax b }

 ^

) (

)

)cos(

sin( ax b d ax b

e

^{ax b  }

 ^

adx b

e

^{ax b} ax ^{ }

 ^{sin(  )}cos( )

. 1

) 2

cos( ₂

2

)

sin( dx

e b xe

ax

a x

b x

e

ax













 



 ^

) 1

( 1

1 ²

2

x

x d e

e

 



2 2

1 2

1 e dx

e

x x 

 

xdx e

e

x

x 2

1

1 ²

2  

 

解: 利用一阶微分形式不变性 , 有 0 ))

d(cos(

) sin (

d y x  x  y 

x x

y y

x d cos d

sin   sin( x  y)(dx  dy)  0 x

y d d  ycos x  sin( x  y)

x y

x ) sin sin(  

解: ^{(1)d(sint)  costdt,}

) 1 (sin

cos tdt d t

 





. cos

) 1 sin

( t C tdt

d    

 

);

1 sin

( t

d 

 

x dx

dx x

x x

d

x d

2 1 cos 2

) (

) ) (sin

2 (

2

2 

  4x x cos x²,

).

( ) cos

4 ( )

(sin x² x x x² d x

d 



说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.

注意: 数学中的反问题往往出现多值性.

例6.在下列括号中填入适当的函数使等式成立:

).

( ) (

) (sin

) 2 (

; cos

) (

) 1

( d 



tdt d x²  d x

四、微分在近似计算中的应用

) (

)

( x

₀

x o x f

y     



当

 x

很小时,

) (

)

( x

₀

x f x

₀

f

y    

  f  ( x

₀

)  x x

x f

x f x

x

f (

₀

  )  (

₀

)   (

₀

)  x x

x 

₀

  令

使用原则:

1 ) f ( x

₀

) , f  ( x

₀

) 好算 ; .

)

2 x 与 x

₀

靠近

) )(

( )

( )

( x f x

₀

f x

₀

x x

₀

f    

得近似等式:

特别当

x

₀

 0 , x

很小时,

x f

f x

f ( )  ( 0 )   ( 0 )

常用近似公式:

 x

 1

很小)

x (

x x

x

 x 1

证明: 令

f ( x )  ( 1  x )

^

得

f ( 0 )  1 , f  ( 0 )   很小时 ,

当 x



d _{ } 180  x

的近似值 . 解: 设

f ( x )  sin x ,

取 则

180  sin 29

 _ sin  6

cos  6

 2

 1

2

 3

 ( 0 . 0175 )

180 ) ( _ 



例11. 求

29



sin

) )(

( )

( )

( x f x

₀

f x

₀

x x

₀

f    

的近似值 .

解:

 ( 243  2 )

⁵¹

3

⁵

 243

5 1

243 ) 1 2

( 3 



 3 )

243 2 5

1 1

(   0048 .

 3

例12. 计算

x x

^

  

 ) 1 1

(

例13. 有一批半径为1cm 的球,为了提高球面的光 洁度,要镀上一层铜 ,厚度定为 0.01cm ,估计一下, 每只球需用铜多少克 .

解: 已知球体体积为

镀铜体积为 V 在 时体积的增量

01 . 0

1

  R

R

 4  R

²

 R

01 . 0

1

  R R

) (cm 13

.

0

³



因此每只球需用铜约为

16 . 1 13

. 0 9

.

8  

^{( g )}

五、微分在估计误差中的应用

某量的精确值为 A , 其近似值为 a , 称为a 的绝对误差

称为a 的相对误差

若

称为测量 A 的绝对误差限 称为测量 A 的相对误差限

误差传递公式 :

已知测量误差限为



_x

,

按公式 计算 y 值时的误差

y

 d  f  ( x )   x

故 y 的绝对误差限约为



_y

 f  ( x )  

_x

相对误差限约为 ^y _x x

f

x f

y





 

 ( ) ) ( 若直接测量某量得 x ,

例14. 设测得圆钢截面的直径 测量D 的 绝对误差限 欲利用公式

圆钢截面积 ,试估计面积的误差 . 解: 计算 A 的绝对误差限约为

A 的相对误差限约为

计算

(mm)

内容小结

1. 微分概念

• 微分的定义及几何意义

• 可导 可微

2. 微分运算法则

微分形式不变性 :

d f ( u )  f  ( u ) d u

( u 是自变量或中间变量 ) 3. 微分的应用 近似计算

估计误差

思考题：

^习题2.1 第1题（15） 思考题参考答案

课堂练习：

习题2.1第33题（5）到（7） 第37题到第38题 练习参考答案

求 导 法 则

导 数 基本公式

x y

x









lim

0

微 分

x y

dy   

关

系

y dy y dx y dy o ( x ) dx

dy          

高阶导数 高阶微分

习题课

内容小结

一. 定义

1. 一阶导数的定义 2. 高阶导数的定义 3. 微分的定义

二. 基本公式

1. 基本初等函数的导数公式 2. 高阶导数公式

3.基本初等函数的微分公式

三. 求导法则

1. 函数的和、差、积、商的求导法则; 2. 反函数的求导法则;

3. 复合函数的求导法则; 4. 隐函数求导法则;

5. 对数求导法;

6. 参变量函数的求导法则; 7. 分段函数的求导法;

四. 函数极限存在、函数连续、

函数可导、函数可微的关系

函数极限存在 函数连续

函数可导 函数可微

五. 常见题型

1. 求导数

用定义求导数 复合函数求导数 分段函数的导数

表达式中含有绝对值或最值的函数的导数 参变量函数的导数

隐函数的导数

表达式中含有幂指函数的导数 求高阶导数

2. 求微分

3. 函数连续性与可导性的讨论 4. 利用导数定义证明结论成立 5. 求待定参数

6. 求曲线的切线与法线

. )

, (

0

), 1 ln(

0

,

0

0

), cos

1 1 ( )

( ,

,

1

2

内处处连续 在

使函数 的值

确定 例



























x x

x b

x x x ax

x f b

a

典型习题

? )

( ),

( )

( )

2 (

; )

( )

1 (

), (

) (

) ( , )

(

2

处可导吗 在

函数 若

处可导 在

证明函数

处连续 在

设函数 例

a x

x g x

a x

x g

a x

x f

x a

x x

f a

x x





















. :

3 用导数定义证明 奇函数的导数是偶函数 例

. )

, (

, )

( )

(

), (

) (

, , ,

) (

4

0 0

2 0

0

上二阶可导 在

使函数 选择

是二阶可导函数 设

例



















 

x x

c x

x b x

x a

x x

x x

f

c b a x





. ))]

( ( d [

d

0

,

0

, 0

1 , ) cos

( ,

0 )

(

5

0

2











 



x x

g x f

x x x

x x g x

x f

求

若 处可导

在 设

例

. ,

, 0

,

, 0

, )

) (cos (

6

2

的值 求

处处连续可导 已知

例

b a

x b

ax

x x

x x f

x











 



) . ( ln

1 )

lim (sin

, 1 )

0 ( )

0 ( , )

(

7

0 f x

x f

f f

x f

x



 



求 

有一阶导数 设

例

. ,

. ),

1 2ln(

1 1

) arcsin(

8 ₂ ²

2 2

2 2

的值 求

求 设

例

b a

y e

e

e

y e ^x

x x

x   

  ^







. )

(

0 1

sin ,

3 2

3

9 ²

dy x

y y

y t

e t

t

x ^y

的微分 所确定的函数

求由参数方程 例















. 1 ,

10 ₃ y⁽ⁿ⁾

x

y x 求

设

例  

.

)) 6 ( , 6 ( )

( ,

1 )

(

), (

8 )

sin 1

( 3 )

sin 1

(

0 ,

5 )

(

11

处的切线方程

在点 求曲线

处可导 在

且

域内满足关系式

的某个邻 它在

连续函数 是周期为

已知 例

f x

f y

x x

f

x o x

x f

x f

x x

f

















. )

, (

0

), 1 ln(

0

,

0

0

), cos

1 1 ( )

( ,

,

1

2

内处处连续 在

使函数 的值

确定 例



























x x

x b

x x x ax

x f b

a

解  f (0)  0,

) ( lim

) 0 0

(

0

x f f

x ^



 x

ax

x

cos lim 1

0

 

  2 0,

) (

lim

2

0



   x ax

x

) ( lim

) 0 0

(

0

x f f

x ^



 x

x b

x

) lim ln(

2 0

 

 

), 0 ( )

0 0

( )

0 0

( :

,有 f   f   f

由可导必连续

, ) 0

lim ln(

,

2 0

 

  x x b

x

从而 _{ b  1.}

x x ax

x f x

f f

x x

0 )

cos 1

1 ( ) lim

0 ( )

lim ( )

0 (

0 0



 

 

    

又 

0 2

cos lim 1

x

ax

x

 

  ²

2

0

2 ) (

lim x

ax

x ^

 ,

2 a2



x x x

x f x

f f

x x

0 )

1 1 ln(

) lim 0

( )

lim ( )

0 (

2

0 0



 

 

    



, ) 1

1 lim ln( ₂

2 0

 

   x x

x

), 0 ( )

0 ( :

,有 f_  f_

由可导 _1,

2

2 

 a

.

 2



 a

? )

( ),

( )

( )

2 (

; )

( )

1 (

), (

) (

) ( , )

(

2

处可导吗 在

函数 若

处可导 在

证明函数

处连续 在

设函数 例

a x

x g x

a x

x g

a x

x f

x a

x x

f a

x x





















解

a x

x a

x a

x

a f x

a f f

a x a

x 

 



 

  

) ( ) lim (

) ( )

lim ( )

( )

1

(



).

( )

(

lim x a

a

x







 

. )

(x 在x a处可导

f 



a x

x a

x a

x

a g x

a g g

a x a

x 

 



 

    

 | | ( )

) lim (

) lim (

) ( )

2

(



), ( )

(

lim x a

a x





 



  

a x

x a

x a

x

a g x

a g g

a x a

x 

 



 

    

 | | ( )

) lim (

) lim (

)

(



), ( )

(

lim x a

a x







  

. 0 )

( ,

) ( , 0

)

(    

当



a 时 g x 在x a处可导 且g a .

) ( , 0

)

( 时 在 处不可导

当



a  g x x  a

. :

3 用导数定义证明 奇函数的导数是偶函数 例

证  f (x)   f (x),

x

x f

x x

x f f

x 









 

 

  

) (

) lim (

) (

0

x

x f

x x

f

x 









 





) (

)]

( lim [

0

x

x f x

x f

x 







 





) ( )

lim (

0

x

x f x

x f

x  





 





) ( )

lim (

0  f (x).

. )

, (

, )

( )

(

), ) (

(

, , ,

) (

4

0 0

2 0

0

上二阶可导 在

使函数 选择

是二阶可导函数 设

例



















 

x x

c x

x b x

x a

x x

x x f

c b a x





解  f (x₀) 



(x₀),

) (

) ( lim

) 0

( _{0 0}

0

x x

x f

x

x









 

c c

x x

b x

x a x

f

x

x     



 0) lim [ ( ) ( ) ]

( _{0 0} ² ₀

0

) (

, )

( )

0 (

) 0

(x₀ f x₀ f x₀ c x₀

f     得 



由

) ) (

( )

lim ( )

( )

lim ( )

( ₀

0 0 0

0 0

0 0

x x x

x x

x x

x f x

x f f

x x

x x

 



_{ }



 



 

    

又 

0 0 0

) (

) lim (

) (

0 x x

x f x

x f f

x

x 

 

  



x b x

x c

x x

b x

x a

x x

 









 

  0

0 0

2

0) ( ) ( )

lim (

0



)

( ,

) (

)

(x₀ f x₀ b x₀

f_  _ 得 



^ 由













 

 

 



0 0

0 0

0

, )

( 2

), (

), (

) (

x x

b x

x a

x x

x

x x

x x

f





) ) (

( )

lim ( )

( )

lim ( )

( ₀

0

0 0

0 0

0 0

x x x

x x

x x

x f

x x f

f

x x x

x

 



_{ }



 

 



 

 

    



0

0 0

) (

) lim (

) (

0 x x

x f

x x f

f

x

x 

 

 

  



x a x

x b

x x

a

x x

) 2 (

) (

lim 2

0

0 0

0

 

 



 

 



) 2 (

, 1 )

( )

(x₀ f x₀ a x₀

f_  _ 得 



^

由