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中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

高等数学 A

6.1.5 全增量及全微分

6.1 6.1 多元函数微分的基本概念 多元函数微分的基本概念

第 第 6 6 章 多元函数微分 章 多元函数微分

学 学

全增量的概念 全微分的定义

连续与可微的关系 可微的必要条件 可微的充分条件

全微分的记号 全增量及全微分的定义

6.1 6.1 多元函数微分的基本概念 多元函数微分的基本概念

全微分计算习例 2-5

内容小结

全微分在数值计算中的应用 近似计算 误差估计

6.1 .5

全

增

量

及

全

微

分

一、全增量及全微分的定义

) , ( )

,

(x x y f x y

f     f_x(x, y)x )

, ( )

,

(x y y f x y

f     f_y(x, y)y

由一元函数微分学中增量与微分的关系得

6.1.5 全增量及全微分

1. 全增量的概念

).

, ( )

,

(x x y y f x y

f

z      



应用

一元函数 y = f (x) 的微分 ) ( x o

x A

y    



x x

f

y  ( )

d ^近似计算

估计误差

2. 全微分的定义

定义 : 如果函数 z = f ( x, y ) 在定义域 D 的内点 ( x , y )

) , ( )

,

(x x y y f x y

f

z      

 _可表示成

, ) (



o y

B x

A

z     



其中 A , B 不依赖于 x ,  y , 仅与 x , y 有

关， 称为函数 f (x, y) 在点 (x, y) 的全微分 , 记

作 dz  d f  Ax  By

2

2 ( )

)

(x  y





则称函数 f ( x, y ) 在点 ( x, y) 可微

，

处全增量

A x B y  

验证函数可微 , 须考察两个方面 :

; ,

) 1

( dz是x y的线性函数

).

0 (

, 0 )

2

(        



y B x

A z

若函数在域 D 内各点都可微 ,

则称此函数在 D 内可微 .

3. 连续与可微的关系

定理 1 如果函数

z  f ( x , y )

_在点

( x , y )

_可微分^,_则

函数在该点连续.

证明 z  Ax  By  o⁽^), ,

0 lim0  

  z



) ,

( lim

00

f x x y y

yx

   



 

 lim[ ( , ) ]

0 f x y  z

 

) , (x y

 f

故函数

z  f ( x , y )

_在点

( x , y )

_处连续^.

4. 可微的必要条件 定理 2

.

, ,

, )

, ( )

, (

y y x z

x dz z

y z x

y z x y

x f z

 

 

 

 







 在 可微 则  存在 且

若

证明 z  Ax  By  o⁽^), 对任意x,y成立. )

, ( )

, ( ,

0 f x y y f x y

x    

 时 有

当  B  y  o(| y |), y B

y B o

y

y x f y

y x f

y

y 



 

 





 







 ( )]

[ ) lim

, ( )

, lim (

0 0

, y B

z 



即 A. x

z 



同理  y. y

x z x

dz z 



 

 

 



一元函数在某点的导数存在 微分存在．

多元函数的各偏导数存在 全微分存在．

. )

0 , 0 (

0 0

) 0 ,

(

1

2 2

2 2

2 2

处的可微性 在

讨论

例 













 



y x

y y x

x xy y

x f

解 x

f x

f f

x x ( ,0) (0,0)

lim )

0 , 0

( 0

 

  0,

. ) 0

0 , 0 ( )

, 0 lim (

) 0 , 0

(  0  

 y

f y

f f

y y



y B x

A

z    





2

2 ( )

)

( x y

y x













 _{2 2}

) (

)

( x y

y x











 

2 0

) (

2 x

x

x x

y







 



 

^{  } 0, 2

1 



. )

0 , 0 ( )

,

( x y 在 处不可微

 f

可微 可偏导 

5. 可微的充分条件

定理 3 _如果函数zf(x,y)_的偏导数 x

z



 、

y z



 在点(x,y)

连续，则该函数在点(x,y)_可微分． 证明 z  f (x  x, y  y)  f (x, y)

)]

, ( )

, (

[ f x  x y  y  f x y  y



)], ,

( )

, (

[ f x y  y  f x y



x y

y x x

f_x     

 ( ₁ , )

中值定理  f_y(x, y ₂y)y ) 1 ,

0

(  ₁ ₂ 

y x

y y

x f

x y

x

f_x   _y     

 ( , ) ( , ) ₁ ₂

2 2 1

1

 





  x   y _{ }



^{ 0 0,}

)

2 (

1  

 x  y  o 即

故函数

z  f ( x , y )

_在点

( x , y )

_处可微^.

x y

x

f_x  

[ ( , ) ₁]

偏导连续  [ f_y(x, y)  ₂]y ) 0

, 0 ,

(₁ ₂为x  y  时的无穷小

6. 全微分的记号

习惯上，记全微分为 dy. y

dx z x dz z



 



 

全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 .

z dz dy u

y dx u

x du u



 



 



 

通常我们把二元函数的全微分等于它的两 个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠叠 加原理加原理．．

叠加原理也适用于二元以上函数的情况．

7. 全微分计算习例

2 2

, .

u  x y xy  du 设求

例 3

例2计算函数^zexy在点^(2,1)处的全微分. 解

xy,

 xe

y dy dx z

x dz z



 



因此，  ye^xydx  xe^xydy. .

2 ²

2dx e dy e

dz  

(2, 1) 处的全微分

它们均连续。因此，函数可微分。

xy,

 ye

 

^exy _x

x z 

 

 

^exy _y

yz 

 

例 3

设求 u  x y xy

²



²

, du .

解 ^{u 2xy y2,} x

  



2 2 ,

u x xy y

  





^{2 2}

 

^{2 2}



^.

du  xy y dx  x  xy dy

u , u x y

 

因连续，故 

解

2 , 2 cos

1 y  ze yz



yz,

 ye

所求全微分

. 2 )

2 cos

( 1 y ze dy ye dz

dx

du    ^yz  ^yz

,

 1

x

e yz

x y x

u 



 



  

 



sin 2



y

e yz

x y y

u 



 



  

 



sin 2



z

e yz

x y z

u 



 



  

 



sin 2



证 （ 1 ）令 x   cos , y   sin ,

 ( , )  lim) (0,0)

,

( f x y

y x

. 0 )

0 , 0

( 

f

2 3 2 2

2 2 )

0 , 0 ( ) ,

( lim ( )

y x

y x

y

x ^ 





 

2 2

0 sin cos

lim

  0

), 0 , 0 (

 f

 ) 0 , 0

x(

f x

f x

f

x  





) 0 , 0 ( )

0 , lim (

0 lim 0 0 0,

0  

 _x x

 ) 0 , 0

y(

f y

f y

f

y  





) 0 , 0 ( )

, 0 lim (

0 lim 0 0 0,

0  

 _y y

 ( , )  lim) (0,0)

,

( f x y

y

x 2 2 3 2

2 2 )

0 , 0 ( ) ,

( lim ( )

y x

y x

y

x ^ 





 

2 2

0 sin cos

lim

  0



] )

0 , 0 ( )

0 , 0 (

[ f x f y

f  _x   _y 



2 2

2 3 2 2

2 2

) (

) (

] ) (

) [(

) (

) (

y x

y x

y x





















2 2 2

2 2

] ) (

) [(

) (

) (

y x

y x











 



] )

0 , 0 ( )

0 , 0 (

f  [ f_x x  f_y y

则 ₂² ₂² ₂ ] ) (

) [(

) (

) (

x x

x x











 

4

 1

), (

] )

0 , 0 ( )

0 , 0 ( [

f  f_x  x  f_y  y  o  即

总结：证明在点是否可微的步骤：f x y



,

 

x y0, 0





0, 0



,



0, 0



;

x y

f x y f x y (1)求

       

   

0 0 0 0 0 0 0 0

2 2

00

, , , ,

lim ^{x y}

xy

f x x y y f x y f x y x f x y y

x y

  

        

  

 

^{2 考察极限}

 

 

0 0

0 0

3 0 ,

,

x y x y

（）如果上式极限为，则在点可微，

如果极限不存在，则在点不可微。

多元函数连续、可导、可微的关系

函数可微分 函数连续

偏导数连续

偏导数存在

可知当

*

二、全微分在数值计算中的应用

1. 近似计算

由全微分定义

x y

) ( )

, ( )

,

(x y x f x y y o



f

z  _x   _y  



) ,

(x x y y

f     f_x (x, y)x  f _y (x, y)y 较小时

, f x y x f x y y

z

z   _x   _y 

 d ( , ) ( , ) z

d

及 有近似等式

:



 f (x, y)

( 可用于近似计算 ; 误差分析 ) ( 可用于近似计算 )

半径由 20cm 增 大

解 : 已

知 V 



r²h,



V

, 100 ,

20 

 h

r

) 1 ( 20

05 . 0 100

20

2      ²  



V

 

即受压后圆柱体体积减少了 200



cm³ . 例 7. 有一圆柱体受压后发生形变 , 到 20.05cm ,

则 r



rh

2 



r²h

1 ,

05 .

0   



 r h

) cm (

200



³





高度由 100cm 减少到 99c

体积的近似改变量m , .

求此圆柱体

例 8. 计算1.04^2.02 的近似值 . 解 :

设

( , ) ^y

f x y  x , 则

 ) , (x y f_x

取 ^{x 1, y  2,}

则 1.04^2.02  f (1.04, 2.02 )

(1, 2) _x(1, 2) _y(1, 2)

f f x f y

    

08 . 1 02

. 0 0

04 . 0 2

1    



 ) , (x y f _y

1 ,



x y

y x ^y ln x

0.04, 0.02

x y

   

分别表示 x , y , z 的绝对误差界 ,

2. 误差估计

利用 z  f_x(x, y)x  f _y (x, y)y 令

z 的绝对误差界约为

δ( , )δ( , )δ

_z

 f x y

_{x x}

 f x y

_{y y}

z 的相对误差界约为

y y x x

z

y x f

y x f

y x f

y x f

z δ

) , (

) , δ (

) , (

) ,

( 





z 则

y x

, δ , δ

δ

时，

y x z  )

1 (

, )

2

( 时

x z  y

类似可以推广到三元及三元以上的情形 .

z x

z δ

δ  ( ₂ )

x

 y y 

x  δ y

x

 1 y x

•乘除后的结果相对误差变大

•很小的数不能做除数

例 9. 利用公

式 S  ₂¹ absin C















12.5 0.01, b 8.3 0.01, C 30 0.1 a

求计算面积时的绝对误差与相对误差 . 解： _{S a}

a S δ

δ 

 

C a

bsin δ 2

 1

12.5, 8.3, 30 ,δδ0.01,δ

a b C 1800

a _ b _ C _{    } 

13 . 0 δ_S  故绝对误差约为

又 S  ¹₂ absin C

所以 S 的相对误差约为 ^δ_S^S









 12.5 8.3 sin 30 2

1

C b

asin δ 2

 1 abcosC δ _C 2

 1

94 .

 25

0.13 25.94

  0.5 %

计算三角形面积 . 现测得

b b

S δ



  _c

c S δ



 

例 10. 在直流电路中测得电压 , U = 24 伏 ,

解 : 由欧姆定律可知 4 6

24 



 I

R U ₍

欧 ) 所以 R 的相对误差约

为   

I U

R

I U

R δ δ

δ 0.3  + 0.5 

R 的绝对误差约为



 R

δ R 0.8 

0.3;

定律计算电阻 R 时产生的相对误差和绝对误差 .

相对误差为 测得电流 I = 6 安 , 相对误差为 0.5

 ,

= 0.032 ( 欧 )

= 0.8 

求用欧姆

内容小结

1. 微分定义

:

) ) , (

( z  f x y



z f_x(x, y)x  f _y (x, y)y

d z 

^fx(^x, ^y)d^x  ^f y (^x, ^y)d^y

2

2 ( )

)

(x  y



 2. 重要关系 :

) (



 o

函数可导

函数可微 偏导数连续 函数连续

3. 微分应用

• 近似计算

• 估计误差

y y

x f

x y

x

f_x ( , )  _y ( , )

( , )

f x   x y   y

y y

x f

x y

x

f_x ( , )  _y ( , )

绝对误差 相对误差

( , ) f x y

 

δ( , )δ( , )δ_z  f x y_{x x} f x y_{y y}

y y x x

z

y x f

y x f

y x f

y x f

z δ

) , (

) , δ (

) , (

) , (

δ  



 z

0.5

? )

4

?(

) 3 (

? )

2

?(

) 1 ( , )

0 , 0 (

是否可微 偏导数是否连续

偏导数是否存在 是否连续

处 在

解 xy

y

xy x 

 

2 2

sin 1 0

) 1

(   0 ( x  0, y  0)

), 0 , 0 ( 1 0

sin

lim) (0,0) 2 2 ,

( f

y xy x

y

x  

 

 故函数连续 .

2 2

sin 1 ( , ) (0, 0)

( , ) ,

0 ( , ) (0,0)

xy x y

f x y x y

x y

 

   

 



四设

x f x

f f

x x 



 





) 0 , 0 ( )

0 , lim (

) 0 , 0 ( )

2

( 0 0 0 0,

lim0 



 



^x x .

0 )

0 , 0 (

f_y  同理

, )

0 , 0 ( )

,

( 时

当 x y 

 ) , ( x y

f

_x ^{cos 1 ,}

) (

sin 1 _{2 2 3 2 2}

2 2

2 x y x y

y x y

y x



 



(3)当点

P ( x , y )

_沿直线

y  x

_趋于

( 0 , 0 )

_时^,

) , ( lim

0

y x f_x

xy x

 ,

|

| 2 cos 1

|

| 2 2

|

| 2 sin 1

lim ₃

3

0 



 



 

  x x

x x x

x

不存在 . ^所以

f

_x

( x , y )

_在

( 0 , 0 )

_不连续^.

同理可证

f

_y

( x , y )

_在

( 0 , 0 )

_不连续^.

 







 



y B x

A 0 f

) 4

( 2 2

2 2

) (

) (

) (

) (

sin 1

y x

y y x

x











 







2

) (

)

(x ²  y ²

  0 (x  0, y  0)

故f(x,y)_在点(0,0)_可微^df _(0,0) ^{ 0.}