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V、课程同步练习

第 6 章 多元函数微分学 导学 6.1 多元函数微分的基本概念

6.1.1 点集与多元函数的概念 　

一、填空题

1．已知



,



_{2 2}

y x y xy x

f   ，则 f



tx,ty



= _{2 2} y x

xy

 解： f



tx,ty

   

   

^{2 2 2 2 2 2}

2 2

2 x y

xy y

t x t

xy t ty

tx ty tx

 

 

 

2. 设z y f (³x 1)，且已知y=1时，z=x,则f x( )(x1)³1,z y x 1.

解：由y=1时，z=x，得 f(³x1)=x1.

令³x1=t.得因此即x (t 1) ,³ f t( ) ( t 1)³1. f x( ) ( x1)³1，z y x 1.

3.设

z x y    f x y (  )

，且当

y  0

时，

z x 

^2，求

f x ( )

。

解：将

y  0

代入原式得：

x

²

   x 0 f x (  0)

，故

f x ( )  x

²

 x

二、选择题

1．函数

z  ln( x

²

 y

²

  1) 2  x

²

 y

^{2 的定义域为（B ）．}

（A）

x

²

 y

²

 1

（B）

1  x

²

 y

²

 2

（B）

x

²

 y

²

 2

（D） x²y² 2

2．

函数 的定义域是（ ）。

（A ） （B ） （C ） （D ）

解 : 由函数的表达式知函数的定义域为 即 ，故应选

（ C ）。

3．

设

（ A ） （ B ） （ C ） （ D ）

解：由题设 , 故应选

（A）。

三、求解下列各题 1. 下列各函数表达式:

(1) 已知f(x,y)=x²+y²,求f x y xy(  , )；

(2) 已知f x y xy(  , )x²y²,求f(x,y).

解：（1） f x y(  , xy) ( x y )²( xy)²x²xy y ²

（2）^{f x y(  , xy)x2y2(x y )22}

 

^{xy 2}

所以f x y( , )x²2y²

2. 求下列函数的定义域，并指出其在平面直角坐标系中的图形：

(1) 2 2

sin 1 z 1

x y

   ； (2) z 1x² y²1;

(3) f x y( , ) 1xln(x y )； (4)

2 2

2

arcsin(3 )

( , ) x y

f x y

x y

 

 

解：（1）由x²y² 1 0可得x²y²1

故所求定义域为D={(x,y)| x²y²1}表示xOy平面上不包含圆周的区域。

（2）由

2 2

1 0

1 0 x y

  

  



可得 1 1

1 1

x

y y

  

   

 或

故所求的定义域为D={(x,y)| 1  x 1且或y1 y 1}，表示两条带形闭域。

（3）由

1 0 0 x x y

  

  

 可得

x 1 y x

 

 

故所求的定义域为D={(x,y)| x1且y x }，表示xOy平面上直线y=x以下且横坐标 1

x 的部分。

（4）由

2 2

2

1 3 1

0 x y x y

    

  

 可得

2 2

2

2 x y 4

y x

   

 



故所求的定义域为D={(x,y)| 2x²y²4且y²x}。

6.1.2 二元函数的极限及连续性 一、填空题

1．二元函数的极限_{   }

 

x xy

y x

lim sin

2 , 0

,  =___2__

解：

_{   }

 

   

 



lim

  

2 sin 1

sin lim

lim

0,2 , 0,2 , 0,2

,

    







y y

xy xy x

xy

y x y

x y

x

2．二元函数的极限

2 2

1 0

lim 1

y x

xy

y x 



 

^{= 1}

解： 2 2 1 0

lim 1

y x

xy

y x 



 

^{0 1 1}

0

1 



 

3．

lim (

^{2 2}

)

^{(x y)}

x y

x y e

^{ }





_{=___0__}

解^{： 原式}

2 2

( ) 2 ( ) 2

lim

_{x y}

lim (

_{x y x y}

)

x x

y y

x y xy x y x y

e

^

e

^

e e

 

 

  

   

_，



2

lim

_x

0, lim

_y

0

x x

y y

x y

e e

 

 

 

2 2

( ) 2 2

lim

_{x y} ^{u x y}

lim

_u

lim

_u

lim

_u

0

x u u u

y

x y u u

e e e e

 

    



    

_，



2 2 ( )

lim( )

^{x y}

0

xy

x y e

^{ }



 

二、选择题

1．下列极限存在的是（ ）

（A）

y x

x

y x ^ _ ⁰ ₀ 

lim

；（B）

y

y x

x ^ _  lim 1

0 0

^；（C）

x y x

x y ^ _ 

2

0 0

lim

^；（D）

y x x

x y ^ _ 

sin 1 lim

0 0

^.

解：有界函数与无穷小的乘积为无穷小。选（ D ）

2．已知

2 2

2 2, ( , ) (0,0) ( , )

0, ( , ) (0,0) x y x y f x y x y

x y

  

 

 



，则f(x,y)在(0,0)处（　　　　）

（A）极限存在；（B）连续；（C）不连续；（D）无法判断

解：

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

( , ) (0,0) 0

lim lim 1

1

x y x

y kx

x y x kx k

x y x k x k

 



    

  

该极限随着k的取值不同而不同，因而f(x,y)在(0,0)处不连续. 选（ C ）

3．

3

6 2

0 0

limx y

x y x y



  为（　　　　　）

（A）极限不存在；（B）0；（C）无穷大；（D）无法判断 解：当点P(x,y)沿曲线

y kx 

³趋于点(0,0)时，有

3

3 6

6 2 2 6 2

( , ) (0,0) 0

lim lim

( 1) 1

x y x

y kx

x y kx k

x y k x k

 



 

   。

显然，此时的极限值随k的变化而变化。 因此，函数f(x,y)在(0,0)处的极限不存在。选

（ A ）

三、求解下列各题 1. 计算下列极限：

(1)

3 3

( , ) (0,0)

sin( )

x ylim

x y x y





 ；　　　　^（2） _{0 2 2}

0

lim

x y

xy x y





^；

（3）

2 2 2 2

2 2 3

00

lim sin

( )

xy

x y x y

x y



  



^{；（4） 2 2}

2 2

2 2

0 0

1 cos( )

lim

^x_y

( )

^{x y}

x y x y e



 



解：（1）

3 3 3 3

2 2

3 3

( , ) (0,0) ( , ) (0,0)

sin( ) sin( )

lim lim ( ) 0

x y x y

x y x y x xy y

x y x y

 

     

 

（2） _{0 2 2}

0

lim

x y

xy x y





解：方法一： （应用二重极限定义，

  

语言）



2 2

2 2

2 2 2 2

1 2 2

xy x y

x y

x y x y

   

 

    0

取，

  =2

当

0  x

²

 y

²

 

^{时 恒有} ₂

xy

₂

0 x y   



_{0 2 2}

0

lim 0

x y

xy x y



 



方法二： （夹逼定理）

2 2 2 2

0 xy x | | | |

y y

x y x y

   

 

^{，又 00}

lim | | 0

xy



y





2 2

00

lim 0

xy

xy x y



 



方法三^{： （极坐标代换）}

令

x r  cos ,  y r  sin 

，则当

( , ) x y  (0,0)

时，

r  0 (0    2 ) 



_{0 2 2 0 0}

0

cos sin

lim lim lim cos sin 0

x r r

y

xy r r

r r x y

   

  



  



（3）

2 2 2 2

2 2 3

0 0

lim sin

( )

x y

x y x y

x y



  



知识点^{：二重极限。}

思路：先作变量替换，然后对未定型

0

0

应用洛必达法则及等价无穷小量替换。

解： 令

x

²

 y

²

 u

^，则

( , ) x y  (0, 0)

时，

u  0

^，



_原式 ²

3 2 2

0 0 0

1

sin 1 cos 2 1

lim lim lim

3 3 6

u u u

u u u u

u u u

  

  

 



^洛必达

  

^。

（4） 2 2

2 2

2 2

0 0

1 cos( )

lim

^x_y

( )

^{x y}

x y x y e



 



解：

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

0 0 0 0

0 0 0 0

1 cos( ) 1 cos( ) 1 cos( )

lim lim lim lim

( ) ( )

( )

x y

x x y x x x

y y y y

x y x y x y

x y e x y

x y e

   

   

       

 



1 0

0 x

x y

 

   



2.证明下列极限不存在

（1）

1 0

0

lim(1 )

^{x y}

x y

xy

^





；　　　　（2）

00

lim 1 1

xy

xy x y



 



^；

知识点：二重极限。

思路：若

( , ) x y

沿不同曲线趋于

( , ) x y

_{0 0} 时，极限值不同，则二重极限不存在。

（1）

1 00

lim(1 )

^{x y}

xy

xy

^





证^：方法一^：

1 1 1

0 0 0

0 0 0

lim(1 ) lim(1 ) lim[(1 ) ]

xy xy

x y xy x y xy x y

x x x

y y y

xy

^

xy

^{ }

xy

^

  

  

    

现考虑 ₀

0

lim

^x_y

( ) xy x y





^，

若

( , ) x y

沿

x

轴趋于

(0,0)

，则 上式 ₀

0

lim 0 0 2

xy^_

x

 

_，从而 ^{1 0}

00

lim(1 )

^{x y}

1

xy

xy

^

e



  

若

( , ) x y

沿曲线

1 y x

 x



^趋于

^(0,0)

^{，则 0}0

lim

^x_y

( ) xy x y





⁰

1

lim 1 1

1

x y x

x

x x x x x x



 

  

 

，

从而

1 0

0

lim(1 )

^{x y}

x y

xy

^

e



 

故原式极限不存在。

方法二^：

若取

1 1

n

,

n

x y

n n

 

，则

²

1 1

2 0

2

2 2

00

1 1

lim(1 ) lim(1 ) lim (1 ) 1

n n n

x y

x n n

y

xy e

n n



  



 

          

若取

1 1

, 1

n n

x y

n n

  



^，则

( 1) 1

0 0

lim(1 ) lim 1 1

( 1)

n n x y

x n

y

xy e

n n

 



 



 

        

故原式极限不存在。

（2） 0 0

lim 1 1

xy

xy x y



 



解^： _{0 0}

0 0

lim 1 1 lim

( )( 1 1)

x x

y y

xy xy

x y x y xy

 

 

  

   

若

( , ) x y

沿

x

轴趋于

(0,0)

，则 上式 ₀

0

lim 0 0 2

xy^_

x

 

若

( , ) x y

沿曲线

1 y x

 x



^趋于

^(0,0)

^{，则上式 0}

1

1 1

lim 2( ) 2

1

x y x

x

x x x x x x



 

  

 

故原式极限不存在。

注^：若

( , ) x y

沿曲线

y   x

_趋于

(0,0)

，则 ₂

0 0

0

( )( 1 1) 0

lim lim 0

x x

y y x

x y xy

xy x

 

 

  

 



从而 _{0 0}

0 0

lim 1 1 lim

( )( 1 1)

x x

y y

xy xy

x y x y xy

 

 

    

   

^。

3.研究下列函数的连续性

（1）

2 2

( , ) 2

2

y x

f x y

y x

 



^;（2）

2 2

( , ) ln( )

f x y  xy x  y

解^：（1）

2 2

( , ) 2

2

y x

f x y

y x

 



^;

当

y

²

 2 x  0

时函数无定义，故函数的间断点集为

{( , ) | x y y

²

 2 } x

（2）

f x y ( , )  xy ln( x

²

 y

²

)

解^{： 函数间断点为}

(0,0)

， 由 ^{2 2}

1

^{2 2 2 2}

0 | ln( ) | | ( ) ln( ) |

xy x y 2 x y x y

    

又

2 2

2 2 2 2

0 0 0 0

0 2

1

ln u

lim( ) ln( ) lim ln lim lim 0

1 1

u x y

x u u u

y

x y x y u u u

u u

 

   



     



洛必达

故由夹逼定理

2 2

00

lim ln( ) 0

xy

xy x y



 

_，故

_(0,0)

_{为可去间断点。}

6.1.3 偏导数 一、填空题

1. 设z=e^－x+f(x－2y)，且已知y=0时，z=x²,则 z

 x

 . 解：令y0得因此，f x( )x²e^x, z e ^x(x2 )y ²e^x2y,

所以 z e^x 2(x 2 )y e^{x 2y}. x

     

 2. 设

3

2 2, ( , ) (0,0) ( , )

0, ( , ) (0,0)

x x y

f x y x y

x y

 

 

 



，则f_x(0,0) 1 , f_y(0,0) 0 .

解： 0 0

(0 ,0) (0,0)

(0,0) lim lim 1,

x x x

f x f x

f ^{ } x ^{ } x

   

    

0 0

(0,0 ) (0,0) 0

(0,0) lim lim 0.

x x x

f y f

f ^{ } y ^{ } y

  

  

 

3. 设zln( x  y),则x z y z

x y

   

  .

解：

1 1 1 1 2 2

, y

z x z

x x y y x y

   

   

，

所以 1 (2 ) 1. 2

x y

z z

x y

x y x y

     

  

二、选择题

1.

设 在点 处偏导数存在，则

（A ） （B ） （C ） （D ）

解：根据偏导数的定义，有

故应选（C）。

2.偏导数fx(x0,y0)，fy(x0,y0)存在是函数z=f(x,y)在点(x0,y0)连续的( 　 ) (A)充分条件 (B)必要条件

(C)充要条件 (D)即非充分也非必要条件

解：解：因为偏导数存在，不能推出极限存在，所以ABC三项不一定正确. 选（ D ） . 3.

设 其中 f 为可微函数，则

(A) (B) (C) (D)

故应选（D）。

三、求解下列各题

1. 求下列函数偏导数：

(1) z x ^ylnxy x( 0，y0,x1);(2) u x ^zy； (3) ucos(x²y²e^z)

解：(1) z yx^{y 1} y yx^{y 1} 1, z x^ylnx 1.

x xy x y y

 

       

 

(2) ¹, ln ( ₂).

z z

y y

u zx u x x z

x y y y

     

  

ln ( )1

z

u xy x

z y

  

(3) u sin(x² y² e ^z) 2 ,x x

     

 

z sin(x² y² e ^z) ( 2 ) 2 sin(y y x² y² e ^z).

y

 

        

 

u sin(x² y² e ^z) ( e ^z) z

 

     

 

e^zsin(x²y²e^z)

2. 求下列函数在指定点处的偏导数：

(1) f(x,y)=x²－xy+y²，求fx(1,2)，fy(1,2);

(2) f x y( , ) arctanx² y² x y

 

 ;求f_x(1,0)

(3) f x y( , ) ln x²y²sin(x²1)e^{arctan(x2 x2y2)}; 求f_x(1,2)；

(4) f x y z( , , ) ln( x yz ), 求ff_x(2,0,1), (2,0,1), (2,0,1)f_{y z} .

解：(1) ( , ) 2f x y_x  x y f x y , ( , )_y   x 2 .y

f_x(1, 2) 2 2 0, (1, 2)   f_y    1 4 3.

(2) ( ,0) arctan , ( ,0) 1 ₂

x 1

f x x f x

  x

故  因此 (1,0) 1 1.

1 1 2

fx  



(3) ( , 2) 1ln( ² 4) sin( ² 1) ^{arctan(2 2 4 )} 2

x x

f x  x   x  e ^{ }

因此

2 2

2 2

2 arctan( 4 )

2

2 arctan( 4 ) 2

2 2 2

( , 2) 1 2 cos( 1) 2

2 4

1 2

2 2 4

sin( 1) .

1 ( 4)

x x

x

x x

f x x x x e

x

x x x e x

x x

 

 

  



 

 

  

 

所以 (1, 2) 1 2 ^{arctan(1 5 )}

x 5

f   e ^ .

(4) f x y z_x( , , ) 1 , ( , , )f x y z_y z , ( , , )f x y z_z y .

x yz x yz x yz

 

  

  

故 (2,0,1) 1, (2,0,1) 1, (2,0,1) 0.

2 2

x y z

f  f   f 

3.

设 证明

证明：

于是 左

注意，本例还可以利用二元函数隐函数来解偏导数：

两边取对数

代入左端即可得结论。

6.1.4 高阶偏导数 一、填空题

1. 设u yf( )y xg( )x

x y

  ,其中f,g具有二阶连续偏导数,则 ²2 ²

u u

x y

x x y

    

 .

解： 2

'( )y y ( ) '( ) ,1

u yf g x xg x

x x x y y y

 

    

2 2

2 4 3 2

2 1 1 1

''( )y y '( )y y '( ) '( ) ''( ) ,

u yf yf g x g x xg x

x x y y y y y

x x x y

 

      

2 2 2

2 3 2 2 3 2

''( )y y '( )y 2y '( ) ''( ) '( ) ,

u f f g x x g x x g x x

x x y y y

x x x y y y

 

       

所以 ²2 ²

u u

x y

x x y

    

 0.

2. 设z 1 ( )f xy yg x y( )

x   ,,其中f,g具有二阶连续偏导数,则 ²z x y

 

  . 解： 2

1 ( ) y '( ) '( ),

z f xy f xy yg x y

x x x

     



2z 1 f xy'( ) 1 f xy'( ) y f xy x g x y''( ) '( ) yg x y''( )

x y x x x

        

 

yf xy''( )g x y'(  )yg x y''(  ). 3.设

x xy y

u  _，则

y x

u





²

=

1

₂

1  x

解： ₂

x y y x u  





₂

2 1

1 x y

x

u  







二、选择题

1.函数^z ^f



^x,y



的两个二阶混合偏导数 x y z





²

及 y x z





²

在区域

D

内连续是这两个二 阶混合偏导数在区域

D

内相等的（　　　　　　）条件。

（A）必要；（B）充分；（C）充要；（D）无法判断 解：选（ B ）

2.已知 0



 x

f ，则（ ）

（A） f



x,y



关于

x

为单调递增；　　　（B） f



x,y



0；

（C） ₂

0

2





 x

f

；　　　　　　（D） ^f



^x,y



^x



^y21



^.

解： 0



 x

f ，把 ^f 看成是

x

的函数，所以 ^f 关于

x

为增函数。选（ A ）

三、求解下列各题

1．求下列函数的二阶偏导数 ²2

z x



 ,

2 2

z y



 , ²z y x

  ：

(1) z4x³3x y² 3xy² x y； (2) z x ln(x y ).

解：(1) z 12x² 6xy 3y² 1, ²₂z 24x 6 .y

x x

       

 

2 2

3 6 1, 2 6 .

z x xy z x

y y

      

 

(2)

2

2 2 2

1 1 2

ln( ) , .

( ) ( )

x y x x y

z x y x z

x x y x x y x y x y

  

       

     

2

2 2

, .

( )

z x z x

y x y y x y

    

   

2．设r x²y²z²，证明：

(1)

2 2 2

r r r 1

x y z

 

  

     

     

      ;

(2)

2 2 2

2 2 2

2

r r r

x y z r

   

   ;

(3)

2 2 2

2 2 2 2

(ln )r (ln )r (ln )r 1

x y z r

   

   .

证明： r x

 ^{2 2 2} x x y z

   x,

r

利用函数关于自变量的对称性，可推断得到： r y



 y,

r r z

 z.

r (1)

 

^rx ^{2 r}y ²

 

^rz ^{2 x2} r^{y22 z2 r}r^{22 1}

 

 

       

    (2)

2

2 2 2

2 2 2 3

r x

r x r

r x r r x

x r r r

  

     



利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：

2 2

2 2 2 2

2 r 3y , 2 3

r r r z

y r z r

     

 

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 3 3

3r x y 2 2 .

r r r r

x y z r r r

 

  

     

  

(3) ln 1ln( ^{2 2 2}), (ln ) _{2 2 2 2} 2

r x x

r x y z

x x y z r

       

2 2 2 2

2 4 4

(ln )r r x r2 rx r 2x

x r r

 

    





利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：

2 2 2 2 2 2

2 4 2 4

(ln )r r 2y , (ln )r r 2z .

y r z r

     

 

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 4 2

(ln )r (ln )r (ln )r 3r 2(x y z ) 1

x y z r r

     

    

   .

6.1.5 全增量及全微分 一、填空题

1．设z arctanx y x y

 

 ,,则dz . 解：令u x y v x y, , z arctanu

    则  v

2 2 2

1 1 1

(arctan )

1 ( ) 1 ( )

u u

dz d du dv

u u

v v v

v v

  

 

而du dx dy dv dx dy  ,  

故 ²

( )( )

1 1 [ ]

1 1

x y dx dy

dz dx dy

x y x y

x y xy

 

       

    xdy ydx2 2 .

x y

 



2．已知z f



x,y



sin

 

xy ，则dz,1 =^dx^dy

解： ^{     }

 

_{ }

 

_{ }

dy dx

dy xy

x dx xy

y dy z

dx z

dz x y

























 _{1 1 1 1}

1 , , , ,

, cos cos

3．已知^{z f}



^x,y



^{ x2 y2}，则 f



x,y



在



1，1



处当^{x0.1,y0.2}时，

dz=0.6

解：dzz_x _1,1xz_y _1,1y20.120.20.6 二、选择题

1．函数^z ^f



^x,y



在点

 x

0

, y

0



处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ ）

（A）必要而非充分条件；（B）充分而非必要条件；

（C）充分必要条件；（D）既非充分又非必要条件.

解：偏导数连续则存在全微分，所以偏导数只是全微分的必要条件。选（ A ） 2．肯定不能成为某二元函数 f



x,y



全微分的是（ ）

（A）^ydxxdy；（B）^ydxxdy；（C）^{xdx ydy} ；（D）^{xdx ydy}. 解：ydxxdyd

 

xy ；



^{2 2}



2

1d x y ydx

xdx   ；



^{2 2}



2

1d x y ydx

xdx   .选（ B ） 3．使得^{df f} 的函数 ^f 是（ ）

（A）^axbyc；（B）^sinxy；（C）e^xe^y ；（D）x²  y². 解：d



axbyc



adxbdyaxby

f a



xx

 

b yy



c



axbyc



axby f df ,选（ A ）

三、求解下列各题

1. 求下列函数的全微分

(1)

求 ^{z xy }

^{在点（2，3）}

处当

^{limxy10 x12xyy 2}

解：全增量

^{z  f(20.1,30.2) f(2,3)2.12.860.12}

x y

dz  z dx z dy     ydx xdy 

(2,3) 0.1

0.2

3 0.1 2 ( 0.2) 0.1

dx dy

dz



      

（2）

求

^{zln(1x2  y2),当x1,y2时的全微分}

解

： 2 2 2 2

2 2

1 1

z z x y

dz dx dy dx dy

x y x y x y

 

   

     

dy dx dy dx

dz 3

2 3 1 4 1 1

4 4

1 1

2

) 2 , 1

(  



 



 

（3）

u xy yz zx    , 求 du 解

：

u u u

du dx dy dz

x y z

  

  

  

dz y x dy z x dx z

y ) ( ) ( )

(     



2．计算下列各式的近似值

（分析运用公式

f x (   x y    y ) f x y ( , )  f x y  ( , )   x f x y  ( , )  y

_）

（1）(10.1)^2.03

解：令

f⁽x^,y⁾ x^y,取x0 ^10,x^0.1,y0 ^2,y ^0.03

(10.1)

2.03

 f x (

0

  x y ,

0

   y ) f x y ( , )

0 0

 f x y

_x

 ( , )

0 0

  x f x y

_y

 ( , )

0 0

 y

10²  yx^y1 _(10,2)0.1x^ylnx _(10,2)0.01 10023ln10108.9

(2) ln(³1.03⁴ 0.981)

解 : 令

^{f(x,y)ln(3 x 4 y 1)}

取

^{x0 1,x0.03,y0 1,y 0.02}

原式  f (1 0.03,1 0.02)  

2 3

3 4

(1,1)

3 4

1

ln( 1 1 1) 3 | (0.03)

1 x

x y



    

 

3 4

(1,1)

3 4

1

4 | ( 0.02)

1 y

x y



  

 

= 0+ 0.02 0.005

4 03 1 . 3 0

1   

3. 设有一个无盖圆柱形玻璃容器，容器的内高为20 cm，内半径为4 cm，容器的壁与底 的厚度均为0.1 cm，求容器外壳体积的近似值.

解：解　设圆柱的直径和高分别用x，y表示，则其体积为

2 1 2

( , ) ( )

2 4

V f x yπyπx y x  .

于是，将所需的混凝土量看作当x+Δx=8+2×0.1，y+Δy=20+0.1与x=8，y=20时的两个 圆柱体的体积之差ΔV(不考虑底部的混凝土)，因此可用近似计算公式

ΔV≈dV=fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δy.

又 ( , ) 1 , ( , ) 1 ²

2 4

x y

f x yπxy f x yπx  ，代入x=8，y=20，Δx=0.2， Δy=0.1，得到

1 1 2

d 8 20 0.2 8 0.1 17.6 55.264.

2 4

V V   

           (m³).

因此，大约需要55.264m³的混凝土.