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中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

高等数学 A

6.3.3 多元函数的极值

6.3.4 条件极值—拉格朗日乘数法

6.3 6.3 多元函数微分的应用 多元函数微分的应用

第 第 6 6 章多元函数微分学 章多元函数微分学

6.3.3 多元函数的极值

6.3 6.3 多元函数微分的应用 多元函数微分的应用

二元函数极值的定义

极值存在的必要、充分条件 求函数极值的步骤与习例 1-3

多元函数的最值问题

多元函数的最值问题习例 4- 7

6.3.4 条件极值— Lag range 乘数法则

条件极值

Lagrange 乘数法

Lagrange 乘数法习例 8-12 小结 思考题

多 元 函 数 的 极 值 与 条 件 极

Lagrange 值—

乘 数 法

一、多元函数的极值

1. 二元函数极值的定义

若都适合不等式 的点

异于

对于一切 内有定义

在 设

), ,

(

, )

), ,

( (

) , (

0

0 0

0

y x P P

y x

P U y

x f

z  

) ,

( )

,

(x y f x₀ y₀

f 

有极大值 在

则称z  f (x, y) P₀(x₀, y₀)

)) ,

( )

, (

(或f x y  f x₀ y₀

).

, (x₀ y₀ 或极小值f

极大值与极小值统称为极值 . P₀(x₀, y₀)为极值点 . 若引进点函数 , 则 当f (P)  f (P₀)时, f (P₀ )为极大值 ;

. )

( , ) (

)

( ₀ 时 ₀ 为极小值

当f P  f P f P

(1)

(2)

(3)

处有极小值．

在

函数 ) 0 , 0 (

4 3x² y² z  

处有极大值．

在

函数 ) 0 , 0 (

2

2 y

x z   

处无极值．

在

函数 ) 0 , 0 (

xy z 

2. 极值存在的必要条件和充分条件 定理 1 （极值存在的必要条件）

. 0 )

, (

, 0 )

, (

,

) ,

( ,

) ,

( )

, (

0 0

0 0

0 0

0 0







y x

f y

x f

y x

y x

y x f z

y

则 x

极值

取得 且在

具有偏导数 在

设

证 设z  f ⁽x^, y⁾在⁽x₀^, y₀ ⁾取得极小值^,

), ,

( )

, (

,

, _{0 0 0 0}

0 y y f x y f x y

x

x   仍有 

取

, )

,

( ₀ 在 ₀取得极小值 表明一元函数f x y y  y

. 0 )

,

( _{0 0} 

 f_y x y

. 0 )

,

( x₀ y₀  f_x

同理可证

), ,

( )

,

(x y f x₀ y₀

f 

则

注意 :

. )

, (

) ,

( ,

0 )

, (

, 0 )

, (

) 1

( _{0 0 0 0 0 0}

的驻点 为

则称 若

y x f z

y x

y x

f y

x

f_{x y}







.

, )

, ( )

2

( ₀

面 平行于

在极值点处的切平面为 xoy

z z

y x f

z  

( 3 ) 如 果 三 元 函 数 u  f ( x , y , z ) _{在 点} P ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) _{具 有}

偏 导 数 ， 则 它 在 P ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) 有 极 值 的 必 要 条 件 为 f _x ( x ₀ , y ₀ , z ₀ )  0 _，

0 )

, ,

( x ₀ y ₀ z ₀ 

f _{y ，}

f _z ( x ₀ , y ₀ , z ₀ )  0 .

(4) 驻点 极值点（可偏导函数）

定理 2 （极值存在的充分条件）

,

, )

, (

) ,

( ₀

偏导数

且有一阶及二阶连续 内连续

在

设z  f x y U P 

, 0 )

, (

, 0 )

,

(x₀ y₀  f x₀ y₀ 

f_{x y}

又

), ,

( ),

, (

), ,

(x₀ y₀ B f x₀ y₀ C f x₀ y₀ f

A  _xx  _xy  _yy

令

(1) B2  AC  0 , , 则当时有极值

; 0

,

0时有极大值  时有极小值

 A

A

(2)当时没有极值B2  AC  0 , ;

. ,

, 0

) 3

( 当AC  B²  时 为可能极值 需另作讨论

证 : 由二元函数的泰勒公式 , 并注 意 f_x (x₀ , y₀)  0 , f _y (x₀ , y₀)  0

则有 z  f (x₀  h, y₀  k)  f (x₀ , y₀)

0 2 2 0

1[ f_xx (x 



h, y 



k)h



k h k y

h x

f_xy ( , )

2 ₀ 



₀ 





] )

,

(x₀ h y₀ k k ² f _{y y} 









, )

, (

) ,

( 的二阶偏导数在点 _{0 0} 连续

由于 f x y x y 所以







  

 h y k A x

f_xx ( ₀ , ₀ )







  

 h y k B x

f_xy ( ₀ , ₀ )







  

 h y k C x

f_{y y} ( ₀ , ₀ )

] 2

[ ^{2 2}

12 Ah  Bhk  Ck

其中 ,  ,  _是当 h →0 , k →0 时的无穷小量 , 于 是



z

) ,

2 (

1 Q h k

 (



 h²  k ² ) ,

, 很小时

因此当 h k z的正负号可由Q(h,k)确定. (1) 当 B² － AC <0 时必有 , A≠0 , 且 A 与 C 同号 ,

] )

( )

2 [(

) ,

(h k ¹ Ah² ABhk B²k ² AC B² k ²

Q  _A    



] )

( )

)

[( ^{2 2 2}

1 Ah Bk AC B k

A   



可见 , 时 A  0 时 ,Q(h,k)  0,_{从而△ z ＞ 0 , 因此} f (x, y)

; )

,

( _{0 0} 时 时 时 时 时 时 x y

) (



²

 o

] 2

[ ^{2 2}

12



h 



hk 



k



, 0 )

, ( ,

0 

 Q h k

A 时

当 从而 △ z ＜ 0,因此 f (x, y) 在点

; )

,

(x₀ y₀ 有极大值

(2) 当 B² － AC >0 时若, A , C 不全为零 , 无妨设 A≠0, 则 Q(h,k)  ¹_A[(Ah  Bk)²)  (AC  B²)k ²]

) ,

( 0

) (

) (

) ,

(x y 沿直线 A x x₀ B y y₀ 接近 x₀ y₀

当    

时 , 有Ah  Bk  0, 故 Q(h,k) 与 A_异号 ; )

, (x y

当 沿直线 y  y₀  0接近(x₀, y₀ )时, 有 k  0, A

k h

Q 与

故 ( , ) _同号 .

可见 △ z 在 (x₀ , y₀) 邻近有正有负 , 在点

因此 f (x, y) (x₀, y₀)无极值 ; _x

y

) ,

(x₀ y₀

o

+

－ +

x y

) ,

(x₀ y₀

o 若 A ＝ ^C ＝

0 , 则必有 B≠0 ,不妨设 B ＞ 0 ,此时

2 2 2

) ,

(h k Ah Bhk Ck

Q   

) ,

(x₀  h y₀  k 对点

,

, 同号时

当h k Q(h,k)  0, ,

, 异号时

当h k Q(h,k)  0, 可见 △ z 在 (x₀ , y₀) 邻近有正有负 ,

在点

因此 f (x, y) (x₀, y₀)无极值 ;

k h B

 2

,

 0 从而z

,

 0 从而z

(3) 当 AC － B² ＝ 0 时 ,

若 A≠0, 则 Q(h,k)  ¹_A (Ah  Bk)² 若 A ＝ 0 ,则 B ＝ 0 , Q(h,k)  Ck ²

可能 )

, (h k Q

为零或非零

此时

) (

) ,

( ²

12 Q h k o



z  



, )

( ,

0 )

,

( 时 的正负号由 ² 确定 因为 Q h k  z o



因此 , 不能断定 (x₀ , y₀) 是否为极值点 .

求函数zf(x,y)_{极值的一般步骤：}

第一步 解方程组 f_x(x, y)  0,

f

_y

( x , y )  0

求出实数解，得驻点.

).

, ( ),

, ( ),

, (

求f_xx x y f_xy x y f_yy x y 第二步

第三步对于每一个驻点

( x

₀

, y

₀

)

_，

求出二阶偏导数的值 A、B、C.

3. 求函数极值的步骤与习例

. 1

2 3 ) 3

, (

1 求 ^{3 3 2 2} 的极值

例 f x y  x  y  y  x 

. )

, (

0 10

4 2

2

2 ^{2 2 2}

的极值 所确定的函数

求由方程 例

y x z z

z y

x z

y x

















.

) 0 , 0 ( )

(

3 ^{3 3 2 2 2}

是否取得极值

在点 及

讨论函数

例 z  x  y z  x  y

例 4

. 设 f(x , y)=2x²-3xy²+y ⁴, 求它的极值

解 0, 1 2 ,

0











y y

x x

) 1 , 2 ( ), 0 , 2 ( ), 1 , 0 ( ), 0 , 0

(  

驻点有

,

 0

 f_xy

B C  f_yy  6 y  3 ,

3 ,

0 ,

0 6

) 0 , 0 ( )

3

( 在 处A    B  C 

, 3 ,

0 ,

0 6

) 1 , 0

(  处A    B  C   在

得 由

















0 3

3

0 6

) 3 1

( 2

2

y y

f

x x

f

y x

, 6 6

) 2

( A  f_xx  x 

2 18 0, ;

B  AC   有极大值

2 18 0, ;

B  AC    无极值

. 1

2 3 ) 3

, (

1 求 ^{3 3 2 2} 的极值

例 f x y  x  y  y  x 

, 3 ,

0 ,

0 6

) 0 , 2

( 处A   B  C 

在

2, ) 3

1 , 0

(  

极大值为f

. 3 )

0 , 2

(  

极小值为f

, 3 ,

0 ,

0 6

) 1 , 2

(  处A   B  C  

在

2 18 0, ;

B  AC   有极小值

2

18 0 .

B  AC    无极值

解 _{方程两边对}x, y_求偏导得

) 2 ( 0

4 2

2

2 y  zz_y   z_y  2 ,

1



 

 z

z_x x

2 1



  z z_y y

, 1 ,

1 0

,

0    

 z x y

z_{x y} 得

令 从而z₁  6, z₂  2.

的邻域内取值情况

及 在

下面考虑函数z  z(x, y) (1,1,6) (1,1,2) )

1 ( 0

4 2

2

2x  zz_x   z_x 

. )

, (

0 10

4 2

2

2 ^{2 2 2}

的极值 所确定的函数

求由方程 例

y x z z

z y

x z

y x

















10 4

2 2

) , ,

(x y z  x²  y²  z²  x  y  z  令F

4 2 

 z F_z

则

, 0 8

) 2 , 1 , 1 ( ,

0 8

) 6 , 1 , 1

(    _z     

z F

由于F

) , ( ),

,

( ₂

1 x y z f x y f

z  

从而确定了

) 1 ( 0 4

2 2

2x  zz_x   z_x  由于

) 2 ( 0 4

2 2

2y  zz_y   z_y 

0 2

1 )

1

( 对x求偏导得  z_x²  zz_xx  z_xx  0 2

) 1

( 对y求偏导得z_yz_x  zz_xy  z_xy 

0 2

1 )

2

( 对y求偏导得  z²_y  zz_yy  z_yy 

4 , , 1

0 ,

4 0 , 1

) 6 , 1 , 1

(       

在 处 A B C

4 , , 1

0 ,

4 0 , 1

) 2 , 1 , 1

(   处 A   B  C 

在

. 2 )

1 , 1 ( ,

6 )

1 , 1

(     

极大值为z 极小值为z

2 0, ;

B  AC  有极大值

2 0, .

B  AC  有极小值

解 显然 (0,0) 都是它们的驻点 ,

在 (0,0) 点邻域内的取

值

, 因此 z(0,0) 不是极 值 .

因此

,

2 0

2 时

当 x  y  z  (x²  y²)²  z _(0,0)  0 为极小值 . 正

负 0

x y

z o

并且在 (0,0) 都有

2 0

B  AC 

3

3 y

x

z   可能为

0 )

( )

0 , 0

(  x²  y^{2 2} _(0,0)  z

.

) 0 , 0 ( )

(

3 ^{3 3 2 2 2}

是否取得极值

在点 及

讨论函数

例 z  x  y z  x  y

例 4

^. _设 f(x , y)=2x²-3xy²+y ⁴, 求它的极值

解： 先求 ( , ).

)

( 0 0

0 3

2 2

0 4

2 2

x M y

y f

y x f

y

x 



















有 A= f_xx(0 ,0)= 4, B= f_xy (0 ,0)= 0,

B2 AC 0,

  

由定理 2 不能判断 M 点是否为极值点 , 但是当

(x, y)≠ (0,0) , 因为 f(x,y) – f (0,0)= 2x²– 3xy ²+y⁴=( 2x – y ²) ( x – y

2)

C= f_yy(0 ,0)= 0,

当 x < 0 时 , f ( x, y) > f (0,0);

当 y²/2 < x < y² 时 , f(x,y) < f (0,0).

所以， f(x,y) 没有极值 .

x = y ² x = y ²/2

＋ ＋

－

－

二、多元函数的最值问题

(1) 闭区域上的连续函数一定有最大值和最小值 :

将函数 f (x,y) 在 D 内的所有驻点处的函数值与在 D 的边界上的函数值相互比较，其中最大的就是最

大值，最小的就是最小值 .

(2) 实际问题则根据问题的实际意义来判断 , 若问题 存在最值，且只有唯一一个驻点，则该驻点必为 所求的最值点 .

1. 多元函数的最值问题

2. 多元函数的最值问题习例

2 2 2 2

4 z xy 1 x  y x  y 1, x  0, y  0 .

例求在内的最大值

例 7 把一个正数 a 表为三个正数之和 , 使其乘积最 大 , 求这三个数 .

例 6 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做 成 一个断面为等腰梯形的水槽 , 问怎样折法才能使 断面面积最大 .

例 5.某厂要用铁板做一个体积为 2 的有盖长方体水

问当长、宽、高各取怎样的尺寸时 , 才能使用料最省 ? m3

解 



 令

1, 2

1 2

2 2

2 2













 y x

y

即 x .

3

 1

 y

得x ) 1 ,

3 , 1 3

( 1 在 ^{2 2} 内

且 x  y  1 0

1 ^{2 2} _{2 2} 





 





 x y

xy y y

x x

z_y

1 0

1 ^{2 2} _{2 2} 





 





 x y

xy x y

x y

z_x

3 3 ) 1 3 , 1 3

( 1 

而z

对于边界上的点 ,

, 0 )

, ( 1

, 0 ,

0 

²



²

 

 y x y z x y

x 代入函数得

以

. 3)

, 1 3

( 1 为最大值点

 .

3 3 最大值为 1

2 2 2 2

4 z xy 1 x  y x  y 1, x  0, y  0 . 例求在内的最大值

例 5.

解 : 设水箱长 , 宽分别为 x , y m , 则高 则水箱所用材料的面积为为

令 得驻点

某厂要用铁板做一个体积为 2

根据实际问题可知最小值在定义域内应存在 ,

的有盖长方体水 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时 , 才能使用料最省 ?

,

2 m

y x



 2

A xy  y  _x²_y ^{ x } _x²_y



^{ 2}



^{x y  2}_x ^{ 2}_y



_





  00 xy

0 )

(

2  ²₂ 

 x

x y

A

0 )

(

2  ²₂ 

 y

y x

A

因此可 断定此唯一驻点就是最小值点 . 即当长、宽均为

高为 时 , 水箱所用材料最省 .

m3

) 2 ,

2 (^{3 3}

3 2

3 2

2

2₃ 2

3 



解 设折起来的边长为 x cm ,

则断面面积

x 24

倾角为 ,



A ( 24  2x  2xcos  24  2x 2

1 ) xsin







 2 sin cos sin sin

24x  x²  x²



x 2 24 



^x

) 0

, 12 0

:

( D  x     ^₂ 为

例 6 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成 一个断面为等腰梯形的水槽 , 问怎样折法才能使断面面积 最大 .

 cos

24x  2x² cos  x²(cos²  sin² )  0 令 A_x 24sin  4xsin  2xsin cos  0

  A

解得 :

由题意知 , 最大值在定义域 D 内达

到 , 而在域 D 内只

一个驻点 , 故此点即为所求 . 有 ,

0

sin  x  0







 2 sin cos sin sin

24x x² x²

A   

) 0

, 12 0

:

( D  x     ^₂

0 cos

2

12  x  x  

0 )

sin (cos

cos 2

cos

24   x   x ²  ² 

(cm) 8

,

3  60 

  ^ x



) (

z  xy a  x  y

则

























) 1 ( )

(

) 1 ( )

(

xy y

x a

x z

xy y

x a

y z

y x





















0 )

2 (

0 )

2 (

y x

a x z

y x

a y z

y

令 x

3 y a

x   得

, 3)

3,

( 为唯一驻点 从而 a a

3 .

3时,即三个数为 时其乘积取得最大值

故在 a a

y x  

值, 根据实际问题存在最大

解 可设三个数为^{x, y,a}  ^x  ^y,且⁰  ^x  ^a,0  ^y  ^{a .}

例 7 把一个正数 a 表为三个正数之和 , 使其乘积最 大 , 求这三个数 .

三、条件极值和 Lagrange 乘数法

1. 条件极值

自变量除了受其定义域限制外还有别的条件限制，

这种情况下的极值称为条件极值 .

相应地，前面讨论的极值称为无条件极值 .

条件极值与无条件极值的区别和联系，例如 的极值

求 ^{2 2} )

1

( z  x  y

条件下的极值 在

求 1

) 2

( z  x²  y² x  y 

解(1) 显然函数在（ 0 ， 0 ）点处取得极小值 . 1 0

0 0

. )

0 , 0 )(

2

( 点不可能是极值点     得

代入

把y  1 x z  x²  y² z  2x²  2x  1 2 .

, 1 2 , 1

2

1时 此时 取得极小值 当x  y  z

可见，两种极值不同，但条件极值可转化为无条件 极值来求，称为“降元法”；

并非所有条件极值都能用“降元法”解，

为此必须介绍新的方法 .

2. Lagrage 乘数法

. 0

) , ( )

,

( 在 条件下的可能极值点 考虑z  f x y  x y 

,

), ,

( )

, ( )

, , ( ,

求其可能极值点 作函数

一方面 F x y  ^ f x y ^  x y





F_x  f_x   _x  0

令 







0 )

, (

0 y

x

f

f_{x y y x}



 即 

说明 F(x, y,) 的可能极值点为上述方程组确定的 (x, y).

), (

0 )

, (

, x y  确定了y  x 另一方面

 0



 _{y y}

y f

F 

0 )

,

( 

 x y F_ 

) , (

) , (

y x

y x dx

dy

y

x

 且 

的可能极值点为满足 而z  f (x, (x))

0 )

, ( ,

0 

 x y

dx

dz _{的点 同时}

dx , f dy

dx f dz

y

x  

又  .

0 )

, (

0









 y x

f

f_{x y y x}



 即 

注意 : (1) Lagrange 乘数法 :

, 0

) , ( )

,

( 在 条件下的可能极值点 要找 z  f x y  x y 

), ,

( )

, ( )

, ,

(x y f x y x y

F    

先构造拉格朗日函数























0 )

, (

0 0

y x F

f F

f F

y y

y

x x

x









令 解出 (x,y) 即为可能极值点 .

判断是否为极值点通 常由实际问题来定 .

: 0

) , , ( )

, , ( )

2

( 求u  f x y z 在 x y z  条件下的可能极值点 ),

, , ( )

, , ( )

, , ,

(x y z f x y z x y z

F    

构造函数

































0 )

, , (

0 0

0

z y x F

f F

f F

f F

z z

z

y y

y

x x

x











令 解出 (x,y,z) 即为可能极值点 .

: 0

) , , ( , 0 )

, , (

) , , ( )

3 (

条件下的可能极值点 在

求







z y x z

y x

z y x f u





).

, , ( )

, , ( )

, , ( )

, , , ,

(x y z f x y z x y z x y z

F       

构造函数

3. Lagrane 乘数法习例

?

,

8 ₀

最省 高等于多少时所用材料

宽 长

试问水箱 的长方体开口水箱

要设计一个容积为 例

、

、

V

.

2 2

9 ^{2 2}

之间的最短距离

与平面 求旋转抛物面

例 z  x  y x  y  z 

.

, 5 3

, 0 : 2

10

2 2

2

最远的点和最近的点

面 上距离

求 已知曲线

例 C xOy

z y

x

z y

C x

















例 11 三个正数的倒数和为 1 ，求使三个正数和为最 小的三个正数 .

. ,

, 1

12 ₂

2 2

2 2

2

求切点坐标 小

所围成的四面体体积最 使切平面与三个坐标面

的切平面 在第一卦限作椭球面

例   

c z b

y a

x

则问题为求 x , y ,

令

解方程组

解 设 x , y , z 分别表示长、宽、高

, 下水箱表面积

最小 .

z 使在条件

x 

F 2z  y   yz  0

y 

F 2z  x   xz  0

z 

F 2(x  y)   x y  0

0  0

V z

y x V0

z y

x  S  2(xz  yz)  x y )

( )

(

2 xz yz x y x yz V₀

F      

x y

z

?

,

8 ₀

最省 高等于多少时所用材料

宽 长

试问水箱 的长方体开口水箱

要设计一个容积为 例

、

、

V

得唯一驻点 x  y  2z  ³ 2V₀ , ₃

240

V

 

 由题意可知合理的设计是存在的 ,

长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省 .

因此 , 当高为^{3 V}₄⁰ ,

x y

z 思考 :

1) 当水箱封闭时 , 长、宽、高的尺寸如何 ? 提示 : 利用对称性可知 , x  y  z  ³ V₀

2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时 , 欲使造价 最省 , 应如何设拉格朗日函数 ? 长、宽、高尺寸如何 ?

提示 : F  2( xz  yz)  2 x y   (x yz V₀) 长、宽、高尺寸相等 .

解 设

2 6 2

1   

 x y z

d

为抛物面 上任一点，则 P )

, ,

(x y z

P z  x²  y²

的距离为 0

2

2  



 y z x

问题归结为

(min) )

2 2

(x  y  z  ² 约束条件 : x²  y²  z  0 目标函数 :

作拉氏函数

) (

) 2 2

( )

, ,

( x y z x y z ² z x² y²

F        

到平面

.

2 2

9 ^{2 2}

之间的最短距离

与平面 求旋转抛物面

例 z  x  y x  y  z 