习题课 中值定理及导数应用

二、 导数应用

习题课

一、 微分中值定理及其应用

中值定理及导数的应用

第三章

 x y

O a b

) (x f y 

拉格朗日中值定理 )

( )

(a f b

f 

一、 微分中值定理及其应用

1. 微分中值定理及其相互关系 罗尔定理

0 )

( 

  f

x y

O a b

) (x f y 



) (

) ( )

( )

(

) ( )

(



 F

f a

F b

F

a f b

f



 





a b

a f b

f f



 

 ( ) ( )

) (

0 1 )

1 (

! ) 1

( _1 ^ ( )(  ) ^

 _n f ⁿ  x x ⁿ x

x F( ) 

泰勒中值定理 ) )(

( )

( )

(x f x₀ f x₀ x x₀

f    

n n

n¹_! f ^{( )}(x₀)(x  x₀)





 0 ) n

( )

(

) (

b f a

f

x x

F  

柯西中值定理

2. 微分中值定理的主要应用 (1) 研究函数或导数的性态 (2) 证明恒等式或不等式

(3) 证明有关中值问题的结论

3. 有关中值问题的解题方法

利用逆向思维 , 设辅助函数 .一般解题方法 : (1)证明含一个中值的等式或根的存在 ,

(2) 若结论中涉及含中值的两个不同函数 , (3) 若结论中含两个或两个以上的中值

,

可用原函数法找辅助函数 .

多用罗尔定理 , 可考虑用柯 西中值定理 .

必须多次应用 中值定理 .

(4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公 式 ,

(5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技 有时也可考虑对导数用中值定理 .

例 1. 设函数 f (x) 在 (a,b) _{内可导 , 且} f (x)  M , 证明 f (x)在 (a,b) _{内有界 .}

证 : 取点x₀ (a,b), _再取异于 x_{0 的点} x (a,b), _对 x

x x

f ( )在以 ₀ , 为端点的区间上用拉氏中值定理 , 得 )

)(

( )

( )

(x f x₀ f x x₀

f   



 ( 界于x₀ 与x 之间)

) )(

( )

( )

(x f x₀ f x x₀

f    





0

0) ( )

(x f x x

f   





) (

)

(x₀ M b a

f  

  K ^{( 定数 )}

可见对任意 x (a,b), f (x)  K , _即得所证 .

例 2. 设

f ( x )

在 ^[0,1] 内可导 , , 且

0 )

1 ( 

f _{证明至少存在一点}



(



)  f

, ) 1 , 0

(

 使

上连续 , 在(0,1)

( ) 2 f

证 : 问题转化为证



f (



)  2 f (



)  0. 设辅助函数



(x)  x² f (x)

显然



(x) _在 [ 0 , 1 ] 上满足罗尔定理条件

,

故至 ,

) 1 , 0

(



使

0 )

( )

( 2

)

(   ²  



    



f f

即有 f (



)   ^{2 f}_^{( )} 少存在一点

例 3. 设 f (x)在[a,b]上连续，在(a，b)内可导, 且 ,

0  a  b 试证存在 ( ).

) 2

(





a



b f

f    

使 ,

) , (

,



 a b



证 : 欲证 , 2

) ( )

(





 f b

a

f 

 



因 f ( x ) 在 [ a , b ] 上满足拉氏中值定理条 件 ,

故有 )

, ( ,

) )(

( )

( )

(b f a f b a a b

f   









, ]

, [ )

( 及 ² 在 上满足柯西定理条件 又因 f x x a b

) , ( 2 ,

) ( )

( )

(

2

2 f a b

a b

a f b

f  

 

 



 将①代入② , 化简得

故有

①

② ),

2 ( )

(





a



b f

f    



,



(a,b)

即要证 .

2 ) ( )

)(

(

2

2 



 f

a b

a b

f 

 

 

例 4. 设实数a₀ , a₁ ,,a_n 满足下述等式 1 0

2

0 1 

 



 n

a a

a  ⁿ

证明方程 在 ( 0 , 1) 内至少有

个实根 . 一

1 0

0  a x   a_nxⁿ 

a 

证 : 令F(x)  a₀  a₁x  a_nxⁿ, ^则可设

1 1 2

0 2 1

)

( ^

 





 ⁿ xⁿ

n x a

x a a x

F 

, ]

1 , 0 [ )

(

, 上 上 上 上

上 上 F x 且 F(0) 

由罗尔定理知存在一点



(0,1), 使 F(



)  0, 即 a₀  a₁x  a_nxⁿ  0 上上 0上1上上 上 上 上 上 上 上 上



.

, )

1 , 0

( 上 上 上 上

, 0 )

1 (  F

例设函数 5. f (x) 在 [ 0, 3 ] 上连续 , 在 ( 0, 3 ) 内可导 , 且 ,

1 )

3 ( ,

3 )

2 ( )

1 ( )

0

(  f  f  f 

f



(0,3), 使

. 0 )

( 





f

分析 : 所给条件可写为 ^{f (0) f} ₃^{(1) f (2)}  1, f (3)  1

(2003 考研 )

试证必存在

想到找一点 c , 使 f (c)  ^{f (0) f} ₃^{(1) f (2)}

证 : 因 f (x) 在 [0, 3] 上连续所以在, [ 0, 2 ] 上连续 , 且在

[ 0, 2 ] 上有最大值 M 与最小值 m, 故

M f

f f

m  (0), (1), (2)  m  ^{f (0) f} ₃^{(1) f (2)}  M 由介值定理 , 至少存在一点 c [0, 2] , 使

3

) 2 ( )

1 ( )

0

) (

(c ^{f f f}

f  ^{ }  1

, 1 )

3 ( )

(c  f 

 f 且 f (x)在[c,3] 上连续, 在(c, 3)内可导, 由罗尔定理知 , 必存在



(c, 3)  (0, 3), 使 f (



)  0.

, 2 )

( 

 x f

例 6. 设函数f (x) 在 [0,1]_{上二阶可导 ,} f (0)  f (1), 且 证明 f (x) 1.

证 :  x [0,1] , 由泰勒公式得

) 0 ( f

) 1 ( f

两式相减得 0  f (x)  ₂¹ f (



)(1 x)²  ₂¹ f ^(



)x²

2 12

2

12 ( )(1 ) ( )

)

(x f x f x

f   



  ^





2 21

2

12 f (



) (1 x)  f ^(



) x



2

)2

1

(  x  x

 1 2 x(1 x) 1, x [0,1] )

(x

 f  f (x) x  ₂¹ f ^(



) x² (0 



1) ) 1 0

( )

1 )(

( )

1 )(

( )

(     ₂¹   ²  

 f x f x x f



x



二、 导数应用

1. 研究函数的性态 :

增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 , 曲率 2. 解决最值问题

• 目标函数的建立与简化

• 最值的判别问题

3. 其他应用 : 求不定式极限 ; 几何应用 ;

相关变化率 ; 证明不等式 ; 研究方程实根等 4. 补充定理 ^{( 见下页 )} .

设函数 f (x), g(x)_{在 上具有 n 阶导数} ,

) ,

(a  

且 (1) f ^(k)(a)  g^(k) (a) (k  0,1,2,,n 1) )

( ) ( )

( )

2

( f ⁽ⁿ⁾ x  g⁽ⁿ⁾ x x  a 则当 x  a 时 f (x)  g(x) .

证 : 令



(x)  f (x)  g(x) , 则

; ) 1 ,

, 1 , 0 (

0 )

)(

(^k a  k   n 

 

⁽ⁿ⁾(x)  0 (x  a) 利用



(x) _{在 x  a 处的} n － 1 阶泰勒公式

 得 )

(x



^{(a }



^{ x)}

因此 x  a _时 f (x)  g(x) .

 0

n n

a

n (x )

! )

)(

(







定理 .

的连续性及导函数 例 7. 填空题

(1) 设函数f (x)在 (,)上连续，

的 则 f (x) 其导数图形如图所示

, 单调减区间为 ;

极小值点为 ; 极大值点为 . ) ,

0 ( ), ,

( x₁ x₂ ) ,

( ), 0 ,

(x₁ x₂  

2 1, x x

 0 x

提示 : 根据 f (x)

的正负作 f (x) 的示意图 .

单调增区间为 ;

) (x f  O x₂ x1

y

x

O x

) (x f

x1 x₂

O

) (x f

x .

在区间 上是凸弧 ; 拐点为

) ,

0 ( ), ,

( x₁ x₂

)) 0 ( ,

0 ( , )) (

, (

, )) (

,

(x₁ f x₁ x₂ f x₂ f

提示 : 根据 f (x) 的可导性及 f (x) 的正负作 f (x) 的示意图 .

形在区间 上是凹弧 ;

则函数 f (x) 的图

(2)

_设函数 f (x)在 (,)上可导，

的图形如图所示 , ) ,

( ), 0 ,

(x₁ x₂  

) (x f 

O x² x1

y

x

x2

) (x f 

x1

] ln )

1 ln(

[ )

) ( (

1 f x x x

x

f    

例 8. 证明f (x)  (1 ¹_x)^x 在 (0, )_{上单调增加 .} 证 : ln f (x)  xln(1 ¹_x)

] ln )

1 ln(

[ x x

x  



1 ] ln 1

) 1

ln(

[ 1 )

1 ( )

( x x x

x x

f ^x

 







 



令F(t)  ln t , _在 [ x , x +1 ] 上利用拉氏中值定理

,

1 ] 1

[ 1

x

x x 

 

) 1 0

1 ( ln

) 1

ln(  x  x   x 



 x 



  x 1

1

故当 x > 0 时 f, (x)  0, 从而 f (x) _在 (0, ) _{上单调增 .} 得

例 9. 设f (x)在 (, )_上可导 , 且 证明 f ( x ) 至多只有一个零点 .

证 : 设



(x)  e^x f (x)

则



(x)  e^x[ f (x)  f (x)]  0

, 0 )

( )

(x  f  x  f

故



(x)_在 ^{(, )}_{上连续单调递增 , 从而至多只有} 一个零点 .

又因 e^x  0, _因此 f (x) _{也至多只有一个零点 .}

思考 : 若题中f (x)  f (x)  0 _改为 f (x)  f (x)  0, 其他不变时 , 如何设辅助函数 ?



(x)  e^x f (x)

例 10. 求数列



^{n n}



的最大项 .

证 : 设f (x)  x^1x (x 1), 用对数求导法得 )

ln 1

( )

( ²

1

x x

x

f   ^{x } 

令 f (x)  0, 得 x  e, x ) (x f 

) (x f

) e e , 1

[ ( e ,  )

0

1e

e

 

因为 f (x)_在 [1,  ) 只有唯一的极大值点 x  e , 因此

 e

在 处x f (x) _{也取最大值} .

又因 2  e  3, 且 2  ⁴ 4  ³ 3, 故³ 3为数列



^{n n}



中的最大项 .

极大值

列表判别 :

例 11. 证明 ( 0). 1

arctan )

1

ln( 

 

 x

x x x

证 : 设



(x)  (1 x)ln(1 x)  arctan x , 则



(0)  0 1 2

) 1 1

ln(

1 )

(x x x

 





 



 0 (x  0)

故 x  0_时 ,



(x)_{单调增加 , 从而}



(x) 



(0)  0

即 ( 0)

1

arctan )

1

ln( 

 

 x

x x x

思考 : 证明 (0 1) arcsin

) 1

ln(

1

1    



 x

x x x

x 时 , 如何设辅

函数更好 ? 助

x x

x x

x) (1 )ln(1 ) 1 arcsin

(      ²

提示 :



例 12. 设f (0)  0, _在 [0,  ) 上 f (x) _{存在 , 且单} 递减 调

,

0 ,

0 

 b

a ^有

) ( )

( )

(a b f a f b

f   

证 : 设



(x)  f (a  x)  f (a)  f (x), 则



(0)  0 )

( )

( )

(x  f  a  x  f  x



  0 (x  0)

所以当 x  0时，



(x) 



(0)  0 令 x  b, _得

0 )

( )

( )

( )

(b  f a  b  f a  f b 



即所证不等式成立 . 证明对一

切

例 13. 证明:当0  x  1时, . 1

2 1

x

x x



  e

证 : 只要证 (1 x)e^{2 x} 1 x  0 (0  x 1) ,

1 e

) 1

( )

(x x ² x

f   ^x  

设 则 f (0)  0 ,

1 e

) 2 1

( )

(   ² 

 x x ^x

f f (0)  0

) 1 0

( 0

e 4 )

(   ²   

 x x x

f ^x

利用一阶泰勒公式 , 得

2

! 2

) ) (

0 ( )

0 ( )

( f x

x f

f x

f _{   } ^



) 1 0

( 0

e

2 ^{2 2}    







^ x



x

故原不等式成立 .

例 14. 证明当 x > 0 时 ,(x² 1)ln x  (x 1)² .

证 : 令f (x)  (x² 1)ln x  (x 1)², _则 f (1)  0 x

x x

f ( )  2 ln f (1)  0 x

x

f ( )  2ln 1 ¹₂ ,

 x

 f (1)  2  0

3 2 1) (

) 2

( x

x x

f   ^

x  ¹x

  2(x 1),

法 1.

由

) (x

f _在 x  1 _{处的二阶泰勒公式} ,

得

 ) (x

f ( 1)²

! 2

) 1

( 

 x

f ₃

) 1

! ( 3

)

( 

 f 



x )2

1 ( 

 x ₃ ³

2

) 1 3 (

1 

  x





 0 (_x  0,



_{在 x}

故所证不等式成立 .

与 1 之间 )

法 2. 列表判别 .

, ) 1 (

ln ) 1 (

)

(x  x²  x  x  ²

f f (1)  0

2 ln

2 )

(   ¹ 

 x x x _x

f f (1)  0

, 1 ln

2 )

(   ¹₂ 

 x x x

f f (1)  2  0

3 2 1) (

) 2

( x

x x

f   ^ x

) (x f 

) (x f 

) (x f 

) (x f

) 1 1 , 0

( (1,  )

0 0 2

 0













 ,

0 )

(

0 

 f x

x 时

故当

即

^{(x2 1)ln x  (x 1)2 .}

例 15. 求

^{lim 2(arctan  arctan} _1^{) (  0)}



 a

n a n

n a

n

解法 1 利用中值定理求极限

原式 )

( 1 1

lim ² 1 ₂

 

 



 n

a n

n a

n



( ^{在 与} 1^之间）

 n

a n



a

2 2

) 1 1 lim (



 

 





a n

n n

n

 a

解法 2 利用泰勒公式 令 f (x)  arctan x, _则

1 , ) 1

( ₂

x x

f    _{2 2}

) 1

( ) 2

( x

x x

f 

 



) (

) 0 ( )

0 ( )

0 ( )

(x f f x ₂¹_! f x² o x²

f      



) (x² o

x 



原式 lim n²

n



) 0 (

1) arctan

(arctan

lim ² 

 



 a

n a n

n a

n  

 



  ₂

2

1

2 ( 1 )

) 1 lim (

n n n

o n

n

n

a  a



  1 )]

(

[ ₂

o n n

a





 

  )]

) 1 (

( 1

[ 1 ₂

o n n

a

解法

3 利用洛必达法则

) 0 (

1) arctan

(arctan

lim ² 

 



 a

n a n

n a

n

原式

12

arctan arctan

lim

x

bx ax

x

 





t  1x 令

0 2

arctan arctan

lim t

t b t

a

t

 



 

P182 5 ;

^*

7 ;

^*

8 ; 10

(2) , (3) ;

11

⁽¹⁾

; 17 ; 20

作业

备用题

1. 设函数 ^{f (x)在(0,)} 上具有二阶导数，且满足 证明序列{ f (n)}发散 . 证： f (x)  0,  f (x) 单调递增，

) 2 , 1 ( ,

0 )

( )

1 ( )

2 ( ,

) 2 ( )

1

(  f  f  f  f  ₁  ₁ 

 f

1 1) 0 ,

( )

(      

 f  x f x

) , 2 ( )

2

! ( 2

) ) (

2 )(

2 ( )

2 ( )

( f n ² n

n f

f n

f   



 



  

) 2 )(

2 ( )

2

(   

 f f n ⁿ ^^  故序列 { f (n)}发散 .

, ) 2 ( )

1 ( ,

0 )

(x f f

f   

(2007 考研）

保号性 定理

2

. 设

^{f (x)在区间[a,b] 上连续 , 且 f (a)  f (b)  0,}

, 0 )

( )

(   

 a f b

f 试证存在 (a,b),_使 f ()  0. 证 : 不妨

设

. 0 )

( ,

0 )

(   

 a f b

f

0 lim

)

(  ^{( ) ( )} 

 _^

 ^ x a a f x f a x

a f

必有 ^x₁ ^ (a,^a₂^b), 使 0,

1 1) (_a 

x x

f 故 f (x₁)  0 0

lim )

(  ^{( ) ( )} 

 _^

 ^ x b b f x f b x

b f

保号性 ^定理 必有 ^x₂ ^ ( ^a₂^b, b), 使 0,

2 2) (_b 

x x

f 故 f (x₂)  0 又在 [x₁, x₂]  [a,b] 上 f (x) 连续 ,由零点定理知 , 存

, 在 ) , ( )

,

(x₁ x₂  a b

  _使 f ₍ _{)  0.}

3. 已知函数 ^{f (x)在[0,1] 上连续, 在(0,1)}内可导 , 且

证 : (1) 令g(x)  f (x)  x 1, 则g(x)在[0,1]上连续，且 0

1 )

1 ( ,

0 1

) 0

(    g  

g

证明 ,

1 )

1 ( ,

0 )

0

(  f 

f





 _{使得 －}

存在 (0,1), ( ) 1 )

1

(  f 

) 1 , 0

( 故存在 

0 1

) ( )

(  f      g

使

即 f ( )  1

(2005 考研）

0  1

1 )

( )

( ),

1 , 0 ( ,

) 2

( 存在两个不同的点   使得 f   f   

) 1 , 0 ( ,

] 1 , 0 [ )

(x 在 上连续 在

f 内可导 ,

且

(2) 根据拉格朗日中值定理 , 存在 (0, )  (0,1),

0

) 0 ( )

) (

( 

 

 

 ^f  ^f f

证明 ,

1 )

1 ( ,

0 )

0

(  f 

f





 _{使得 －}

存在 (0,1), ( ) 1 )

1

(  f 





 1

1 )

( )

( ),

1 , 0 ( ,

) 2

( 存在两个不同的点   使得 f   f    使



 



 

 1

) ( )

1 ) (

( f f

f 



  1 1 1

) 1 ( )

( 

 

 



 







 

 f f

3. 已知函数

), 1 , 0 ( )

1 ,

( 

 



0    1

阶导数 , 且存在相等的最大值 , 并满 足

4. 设函数^{f (x), g(x)在[a, b] 上连续, 在(a,b)}

证 :

取得最大值，

在同一点 ( , ) )

( ),

(x g x c a b

f 

) ( )

( )

(x f x g x

F  

令

0 )

( ,

0 )

( )

( )

(a  F b  F c  F c  F

), ( )

(a g a

f 

).

( )

( ),

,

(  

  a b 使 f   g 

, 证明存在

) ( )

(b g b

f 

), , ( )

,

(a c  a b

  据泰勒定理 , 存在

2

21 ( )( )

) )(

( )

( )

(a F c F c a c F a c

F      _！   

使

由此得 F ( )  0

即有 ^{f ( )}  ^{g( ),}  ^{( , )a b}

(2007 考研）

情形 1. 则有

内具有二

阶导数 , 且存在相等的最大值 , 并满足

) , ( ,

] , [ )

( , )

(x g x a b a b

f 在 上连续 在

情形 2. f (x),g(x) 分别在点c，d (a,b) 取得最大值，

， 无妨设c  d

0 )

( )

( )

( ,

0 )

( )

( )

(c  f c  g c  F d  f d  g d  F

), ( )

(a g a

f 

).

( )

( ),

,

(  

  a b 使 f   g 

证明存在 ,

) ( )

(b g b

f 

使 )

, ( )

,

(c d  a b

  因此据零点定理 , 存在

, 0 )

( )

(a  F b 

又 F 分别在(a,), (,b)上对F(x)

) , ( ,

0 )

( );

, ( ,

0 )

( _{1 1} a F _{2 2} b

F           

) , ( )

, ( ,

0 )

( _{1 2} a b

F         即有 f ( )  g ()  (a,b)

则有

4. 设函数

应用罗尔

上用罗尔定理得 在

再对F(x) (₁,₂) 定理得

内具有二



c d b

a ₁ 

2

0 )

(  F