第五节 函数的极值与最大值最小值

二、最大值与最小值问题 一、函数的极值及其求法

第五节

函数的极值与

最大值最小值

第三章

定义 :设函数 f (x)在(a,b)内有定义, x₀ (a,b),

， 的一个邻域

若存在x_{0 在其中当} x  x_{0 时 ,} ,

) (

)

(x f x₀

f 

(1) 则称 为 的极大值点 x₀ f (x) , 称 为函数的极大值

;

) (x₀ f

, ) (

)

(x f x₀

f 

(2) 则称 为 的极小值点 ,

x0 f (x)

称 为函数的极小值 f (x₀) . 极大值点与极小值点统称为极值点 .

一、函数的极值及其求法

注意 :

x3

x1 x₂ x₄ x₅

O a b ^x

y

4 1, x

x _{为极大值点}

5 2 , x

x _{为极小值点} x3 _{不是极值点}

2) 对常见函数 , 极值可能出现在导数为 0 或

不存在的点 .

1) 函数的极值是函数的局部性质 . 3

12 9

2 )

(x  x³  x²  x  例如 ^, f

1

x _{为极大值点 ,} f (1)  2 _是极大值 1

) 2

( 

f _是极小值

 2

x _{为极小值点 ,} 函数

1 2

x O

y

1 2

定理 1 ( 极值第一判别法 )

, )

( 在 ₀ 的某邻域内连续

设函数 f x x _{且在空心邻域} 内有导数

,

0时, 由小到大通过

当x x

(1) f (x) _{“ 左正右负” ,}

; )

( 在 ₀ 取极小值

则 f x x (2) f (x) _{“ 左负右正” ,}

. )

( 在 ₀ 取极大值

则 f x x

( 自证 )

点击图中任意处动画播放 \ 暂停

例 1. 求函数f (x)  (x 1)x³² _的极值 .

解 :1) 求导数 f (x)  x³²  (x 1) ₃² x^{ 31} ₃ ⁵²

35

x x



 2) 求极值可疑点

令 f (x)  0 , _得 x₁  ₅²; _令 f (x)   , _得 x₂  0

3) 列表判别

x ) (x f 

) (x f

 0

52

0

  

0  0.33

) 0 ,

( (0 , ₅²) (₅²,  )

 0

x 是极大值点，其极大值为 f (0)  0 是极小值点，其极小值为

 2

x f (²)  0.33

定理 2 ( 极值第二判别法 )

二阶导数 , 且

处具有 在点

设函数 f (x) x₀ ,

0 )

( ₀ 

 x

f f (x₀)  0 ,

0 )

( )

1

( 若 f  x₀  则 在点 取极大值 f (x)

x

₀ ; ,

0 )

( )

2

( 若 f  x₀  则 在点 取极小值 f (x)

x

₀ .

 

证 : (1) f (x₀)

0

0) (

) lim (

0 x x

x f x

f

x

x 

 

 

 0

) lim (

0 x x

x f

x

x 

 



, 0

)

( ₀ 知

由 f  x  _存在  0,_当⁰  x  x₀   _时^{, ( ) 0}

0

 

 x x

x f

时，

故当 x₀   x  x₀ ^{f (x)  0;} 时，

当x₀  x  x₀  f (x)  0,

x0 x₀^

0

x 

 _

由第一判别法知 f (x)在 x₀ 取极大值. (2) 类似可证 .

例 2. 求函数f (x)  (x² 1)³ 1_的极值 . 解 : 1) 求导

数 f (x)  6x (x² 1)², f (x)  6(x² 1)(5x² 1)

2) 求驻点

令 f (x)  0, _得驻点 x₁  1, x₂  0, x₃ 1

3) 判别

因 f (0)  6  0, 故 为极小值

;

0 )

0

( 

f

又 f (1)  f (1)  0, _{故需用第一判别法判别 .} ,

1 )

( 在 左右邻域内不变号 由于 f  x x  

. 1

)

( 在   没有极值

 f x x

x y

 O

定理 3 ( 判别法的推

广 ) 若函数 f (x)在 x₀ 点有直到n 阶导 ,

0 )

( )

( )

( ₀   ₀   ^{( 1)} ₀ 

 x f x f ^ x

f  ⁿ f ⁽ⁿ⁾ (x₀ )  0,

则 :

数 , 且

1) 当 为偶数时 ,

n

, 0

) ( ₀

)

( x  时

f ⁿ x_{0 是极小点} ; ,

0 )

( ₀

)

( x  时

f ⁿ x_{0 是极大点} . 2) 当 为奇数时n ,

x0_为极值点 , 且

x0_{不是极值点} .





 



 ( ) ( )( ) 

)

(x f x₀ f x₀ x x₀

f ^{n x x n}

n x

f ( )

! ) (

0 0 )

( 

) ) ((x x₀ ⁿ

o 









 ( ) )

(x f x₀

f ⁿ x x ⁿ  o((x  x₀)ⁿ)

n x

f ( )

! ) (

0 0 )

( 

当 充分接近 时 , 上式左端正负号由右端第一项确 定 , ⁰

x x

故结论正确 .

证 : 利用 在 点的泰勒公式 ,

) (x

f x_{0 可得}

例如 , 例 2 中f (x)  (x² 1)³ 1 ,

) 3 5

( 24 )

(  ² 

 x x x

f f (1)  0

所以 x  1_{不是极值点 .}

极值的判别法 ( 定理 1 ~ 定理 3 ) 都是充 分的 .

说明 :

当这些充分条件不满足时 , 不等于极值不存在

. 例如 :



  ) (x

f 2  x²(2  sin ¹_x) , ,

2

 0 x

 0 x 2

) 0

( 

f _为极大值

, 但不满足定理 1

~ 定理 3 的条件 .

1 x y

1 O

二、最大值与最小值问题

, ]

, [ )

( 在闭区间 上连续

若函数 f x a b _{则其最值只能} 在极值点或端点处达到 .

求函数最值的方法 :

(1) 求 在 内的极值可疑点f (x) (a,b) xm

x

x₁ , ₂ ,  , (2) 最大值





 max

M f (x₁), f (x₂),, f (x_m), f (a), f (b) 最小值^{m  min}



^{f (x}₁^{), f (x}₂^{) ,} , f (x_m), f (a), f (b)



特别 :

• 当 在 内只有一个极值可疑点 时 ,

) (x

f [a,b]

• 当 在 上单调 时 ,

) (x

f [a,b] _{最值必在端点处达到 .} 若在此点取极大 值 , 则也是最大

值 .

( 小 )

• 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑

点是否为最大 值点或最小值点 .

( 小 )

) 12 9

2

( x

²

 x 

12 2

4 )

9

( 

²

  



  81  96  0 0

12 9

2

²

  

 x x

)

( x x

f 

4 0

1  

 x

25

0  x 

4 0

1  

 x

25

0  x  例 3. 求函数 f (x)  2x³  9x² 12x _在闭区间[ ₄¹ , ₂⁵ ] 上的最大值和最小值 .

解 : 显然f (x)C[ ₄¹, ⁵₂ ], _且



  ) (x

f  (2x³  9x² 12x), , 12 9

2x³  x²  x



 

(x)

f  6x² 18x 12 12 18

6x²  x 

内有极值可疑点 在[ , ]

)

(x  ₄¹ ₂⁵

f x₁  0, x₂ 1, x₃  2

, 3 )

(^₄¹  ¹⁹₃₂

f f (0)  0, f (1)  5, f (2)  4, f (₂⁵)  5 故函数在 x  0 _取最小值 0 ; 在 x 1_及2⁵ _取最大值 5

, ) 2 )(

1 (

6  

 x x

, ) 2 )(

1 (

6  



 x x

41

 1 2 25 x

y

O

因此也可通过 例 3. 求函数

说明 :

) ( )

(x  f ² x



) (x



求最值点 .

) (x

与 f 最值点相同 , 由于 (x)

令

( 自己练习 )

x x

x x

f ( )  2 ³  9 ² 12 _在闭区间[ ₄¹ , ₂⁵ ] 上的最大值和最小值 .

( k 为某常数 )

例 4. 铁路上 AB 段的距离为 100 km , 工厂 C 距 A 处 20

AC⊥ AB , 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一 已知铁路与公路每公里货运条

为使货物从 B 运到工 ₂₀ ^{A 100 B} C

解 : 设AD  x (km),

x

则 ^{CD  202  x2 ,} )

100 (

3 20

5k ² x² k x

y     ^{(0  x 100)}

, ) 400 3

( 5

2 

 

 x

k x y

32

) 400

( 5 400

x2

k

y   

令 y 0, _得 x 15, _又 y  _x15  0, 所以 为唯一 的

15 x

极小值点 , 故 AD =15 km 时运费最省 总运费

厂 C 的运费最省 ,

从而为最小值点

问 D 点应如何取 ?

D km ,

公路 ,

价之比为 3:5 ,

例 5. 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁

, 问矩形截面

的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大

? 解 : 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为

h b d

2 61 bh

w   ₆¹ b(d ²  b²), b(0,d) 令 w  ₆¹ (d ²  3b²)  0

得 b  ₃¹ d 从而有

1 : 2 :

3 :

: h b  d

2

2 b

d

h    ₃² d 即

由实际意义可知 , 所求最值存在 ,

驻点只一个 , 故所求 结果就是最好的选择 .

F 用开始移动 ,



例 6. 设有质量为 5 kg 的物体置于水平面上 , 受力 F 作

解 : 克服摩擦的水平分力F_x  F cos

正压力 P  F_y  5 g  F sin



 F cos  (5 g  F sin)

即 ,

sin cos

5









  g

F  [0, ₂^π]

令 ()  cos   sin

则问题转化为求 () _{的最大值问题} . ,

25 .

 0

设摩擦系数  问力 F 与水平面夹角

 _{为多少时才可使力} F 的大小最小

?

P









( )  sin  cos









 ( )  cos  sin 令 ()  0, _解得



  arctan  arctan0.25 14^2 ,

0 )

( 

 

而   14^2^ 时()取最大值, 因而 F 取最小值

解 : 即

令

则问题转化为求 的最大值问题 . sin ,

cos 5









  g

F  [0, ^π₂]









( )  cos  sin )

(







F



P

清楚 ( 视角 _最大 ) ? 观察者的眼睛 1.8 m ,

例 7. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边

高于

x 解 : 设观察者与墙的距离为 x m

, 则

 

x

8 . 1 4

.

arctan1 

8, . arctan1

 x x (0, )

 

 _{2 2}

2 . 3

2 . 3





x ² 1.8²

8 . 1

 

x ( 3.2 )( 1.8 )

) 76 . 5 (

4 . 1

2 2

2 2

2







 

x x

x

令   0, _得驻点 ^{x  2.4(0, )}

根据问题的实际意义 , 观察者最佳站位存在 唯一, ,

驻点又 因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚

问观察者在距墙多远处看图才最

4 . 1

8 .



1

存在一个取得最大利润的生产水平 ? 如果存在 , 找出它来 . 售出该产品 x 千件的收入

是

例 8. 设某工厂生产某产品 x 千件的成本 是

解 : 售出 x 千件产品的利润为 )

( )

( )

(x R x C x

p  

6 12

3 )

(   ²  

 x x x

p

得

令p(x)  0, x₁  2  2  0.586

问是否 ) 3

(x x

C 

, 15 6x²  x

 R(x)  9x,

x x

x³  6 ²  6





, 12 6

)

(   

 x x 又 p

, 0 )

( ₁ 

 x

p p(x₂)  0

故在 x₂ = 3.414 千件处达到最大利润 ,

而在 x = 0.586 千件处发生局部最大亏损 .

y

) (x p

2 2

O ^{2 2} x

) 2 4

(

3 ²  



 x x

414 .

3 2

2  2  

x

说明：在经济学中 )

(x

C 称为边际成本 )

(x

R 称为边际收入 )

(x

p 称为边际利润

由此例分析过程可见 , 在给出最大 利润的生产水平上 p(x)  0,

即边际收入＝边际成本

（见右图）

2 2 

y

O _{2  2} x

x x

x x

C( 成本函数)  ³ 6 ² 15

x x

R( )  9

收入函数

) ( )

(x C x R  

即

收益最大 亏损最大

内容小结

1. 连续函数的极值 (1) 极值可疑点

:

使导数为 0 或不存在的点 (2) 第一充分条件

) (x

f  _过 x_{0由正变负} f (x₀)_为极大值 )

(x

f  _过 x_{0由负变正} f (x₀)_为极小值 (3) 第二充分条件

0 )

( ,

0 )

( ₀   ₀ 

 x f x

f f (x₀) _为极大值

) (x₀

f _为极小值

0 )

( ,

0 )

( ₀   ₀ 

 x f x

f

 

(4) 判别法的推广 ^{定理 3}

最值点应在极值点和边界点上找 ; 应用题可根据问题的实际意义判别 .

思考与练习

2. 连续函数的最值

1. 设 ^1,

) (

) ( )

lim ( ₂  





 x a

a f x

f

a

x 则在点 a 处 ( ).

) ( )

(A f x _{的导数存在 ,}且 f (a)  0； )

( )

(B f x _{取得极大值} ) ;

( )

(C f x _{取得极小值 ;} )

( )

(D f x _{的导数不存在 .}

B

提示 :

利用极限的保号性

2. 设 f (x) _在 x  0 的某邻域内连续 , 且f (0)  0, ,

cos 2 1

) lim (

0 



 x

x f

x 则在点 x  0 _处 f (x) ( ).

(A) 不可导 ;

(B) 可导 , 且f (0)  0; (C) 取得极大值 ;

(D) 取得极小值 .

D

提示 : 利用极限的保号性 .

3. 设y  f (x) 是方程 y   2 y  4 y  0 _{的一个解 ,} 若 f (x₀)  0,

且

f ⁽x0⁾  ^0, 则 f (x) _在 x₀ ( )

(A) 取得极大值

;(B) 取得极小值

;(C) 在某邻域内单调增加 ;

(D) 在某邻域内单调减少 提示. : 将 f (x)代入方程,

0 )

( 4 )

( ₀   ₀ 

 x f x f

A

得 令 x  x₀ ,

作业

P162 1

(5), (9);

2 ; 3 ; 5 ;

10; 14; 15

试问 为何值时

a

, ^{f x a x sin 3x} 3

sin 1 )

(  

3 π

 2

在 x 时取得极值 , 还是极小 .

解 :

(x) 

 f 由题意应有 _{( π) 0}

3

2 

f 

 2

 a 又 f (x) 

2 2

3 3

(π) 2sinπ

f   

时取得极大值：

在 2 )

( 

 f x a f ( ₃² π)  3

备用题

¹

.

, 3 cos

cos x x

a 

π) (

3 cos π)

cos( ₃²  ₃² a

, 3 sin 3

sin

2 x  x



 0

求出该极值 , 并指出它是极大

即 ^{ } ₂^{1 a 1  0}

上的 在[0,1]

) (x 试求 f

， 设 f (x)  nx(1 x)ⁿ, n  N

).

( lim M n

n

解 : f (x)  , 0 )

( 

 x

令 f 得(0,1)内的唯一驻点 ] ) 1 (

1 [ )

1

( x ¹ n x

n  ⁿ  

 ^

2.

x n

n(1 )  n x  n(1 x)^n1

, )

( 由增变减

通过此点时

易判别x f x 及

最大值 M (n)

故所求最大值为 ) 1

( 1 ^

  ⁿ

n ) n

1 ( 1

)

(  

f n n

M



 lim M (n)

n

e^1 1 

1) 1 1

(

lim ^



   ⁿ

n n

11

 _n

x