幻灯片 1

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

第 第 2 2 章 一元函数微分 章 一元函数微分 学 学

高等数学 A

2.3 导数的应用

2.3.1 函数的单调增减性的判定

2.3.2 函数的极值及其求法

2.3.3 最大值及最小值的求法

2.3 导数的应用

2.3.1

2.3.1 函数的单调增减性的判定 函数的单调增减性的判定 ^{函数的单调性判别法函数的单调性判别法}

函数的单调性习例 函数的单调性习例 1-61-6

2.3.2

2.3.2 函数的极值及其求函数的极值及其求 法 法

函数的极值判别法 函数的极值判别法

函数的极值习例

函数的极值习例 7-117-11

2.3.3

2.3.3 函数的最值及其求法 函数的最值及其求法 ^{函数的最值判别法函数的最值判别法}

函数的最值习例

函数的最值习例 12-1412-14

课堂思考与练习

导

数

的

应

导 用

数

的

应

用

.函数单调性的判别法 一

1. 定义：x₁, x₂  I,

; )

( ),

( )

(

, _{1 2}

2

1 时 若 则 在 上单增

当 x  x f x  f x f x I

. )

( ),

( )

(

, _{1 2}

2

1 时 若 则 在 上单减

当 x  x f x  f x f x I

具有正斜率的切线

x o

y y  f (x)

0 )

( 

 x

f g(x)  0

具有负斜率的切线

x o

y y  g(x)

2. 判别法

定理 1.设 f (x) 在区间 I 上可导 .

; )

( ,

0 )

( ,

(1) 若对于一切 x  I f  x  则 f x 在 I上单增 . )

( ,

0 )

( ,

(2) 若对于一切 x  I f  x  则 f x 在 I上单减 证明 : x₁  x₂  I. 在[ x₁, x₂]上用Lagrange中值定理得,

.

), )(

( )

( )

(x₂ f x₁ f x₂ x₁ x₁ x₂

f        

. 0 x₂  x₁  又

).

( )

( ,

0 )

( 0

) (

(1) 若 f  x   f    则 f x₂  f x₁

; )

(x 在 I上单增

 f

).

( )

( ,

0 )

( 0

) (

(2) 若 f  x   f    则 f x₂  f x₁ .

)

(x 在 I上单减

 f

注意 :

(1) 该判别法为充分条件判别法 .

(3) 判别法中的区间可以是开区间、闭区间和无穷区间 .

(4) y=f(x) 连续可导的条件不可少，有导数不存在的点

时，函数的单调性须重新考虑 .

(5) 对于连续函数，用导数为 0 的点和导数不存在的点来 划分定义区间，就可得出各部分区间上函数的单调性 .

(6) 利用判别法可以判定函数的增减性、求单调区间，

还可证明不等式、讨论根的存在性 .

(2) 函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这 一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符 号来判别一个区间上的单调性．

例 1. 设 f (x)  xe^x2 ,判定其单调性并求单调区间. 例 2. 确定 y  ³ x²的单调区间.

例 3. .

1

arctan )

1 ln(

,

0 x

x x

x  时 证明   

当

例 4. .

1 1

1

b b a

a b

a b a

 

 



 证明 

例 5. 设 f (x)在 0  x  a上二次可微, 且f (0)  0, f (x)  0, .

) , 0 ) (

( 在 内单增

证明 a

x x f

例 6.方程ln x  ax (a  0)有几个实根.

函数的单调性习例

函数的单调性习例

. ,

) ( .

1 设 ² 判定其单调性并求单调区间 例 f x  xe^x

解 : f (x )的定义域为 ( ,).

) 2 ( )

(x e ² xe ² x

f   ^x  ^x   e^x2 (1  2x²), ,

0 )

( 

 x

令 f .

2 x   2

得 列表讨论如下 :

x )

2 , 2

( 

2

 2 )

2 , 2 2 ( 2

2

2 , )

2

( 2 

) (x

f   0  0 

) (x f

2 ], , 2 2 [ 2

)

( 

 f x 的单增区间为

).

2 , ( 2 2 )

, 2

(   和 

单减区间为

. .

2 确定 ^{3 2}的单调区间 例 y  x

解 : y  ³ x² 的定义域为 ( ,).

3 , 2

3 x

y  没有导数为 0 的点 , 但 x=0 为不可导 点 .

列表讨论如下 : x (,0) 0 (0,)

y  不存在 

y

), ,

0

3 2 ( 



 y x 的单增区间为

).

0 , ( 

单减区间为 如图 .

o x y

1 .

arctan )

1 ln(

, 0

.

3 x

x x

x  时 证明   

当 例

证明 当 : x=0 时 , 等号成立 .

, arctan )

1 ln(

) 1

( )

( ,

0 f x x x x

x  时 设    

当

1 2

1 1 )

1 ln(

)

(x x x

f      

) 0 (

1 0

) 1

ln( ₂

2  

 



 x

x x x

所以 f(x) 单调递增 .

从而 , 当x  0时, f (x)  f (0), 且 f (0)  0. .

0 arctan

) 1

ln(

) 1

( )

(     

 f x x x x

1 .

arctan )

1 ln(

x

x x

  即 

1 . 1

1 .

4 b

b a

a b

a b a

 

 



 证明 

例

证明 : ( 1).

) 1 (

 

  x

x x x

设 f

)2

1 (

) 1

) (

( x

x x x

f 



 

 0

) 1

(

1

2 

 

x 所以 f(x) 单调递增 .

, b a

b

a   

  f (a  b )  f (a  b ),

b a

b a

b a

b a





 







1 1

即 a b

b b

a a



 



 

1 1

1 .

1 b

b a

a

 

 

, 0

) ( .

5 设 在 上二次可微

例 f x  x  a 且f (0)  0, f (x)  0, .

) , 0 ) (

( 在 内单增

证明 a

x x f

证明 : ( ) , )

(

x

x x f

F 

设 ( ) ( ).

)

( ₂

x

x f x

f x x

F  

  ).

( )

( )

(

G x  xf  x  f x 又设

) ( )

( )

( )

(x f x xf x f x

G       所以 G(x) 单调递增 .

) 0 ( )

( ,

0 G x G

x  时 

当

. 0 )

( )

(

xf  x  f x 

即  F(x)  0.所以 F(x) 单调递增 . .

) , 0 ) (

( 在 a 内单增

x x

 f

).

0 ( 0 )

(x x a

f

x    



. 0 )

0

( 



 f

. )

0 (

ln

.

6 方程 有几个实根 例 x  ax a 

解 : 设f (x)  ln x  ax (x  0), 1 ,

)

( a

x x

f    1 .

, 0 )

( x x a

f   得  令

. 0 )

( 1 ,

) 1

(  f  x 

x a时

当 f (x)单调递增. , )

(ln lim

) ( lim

0

0    



 

 f x x ax

x

且 x

, 1 1

1   ln 



 





a f a

, 0 1 1

ln

1 ,  

 e a

a 时

当 1 1 0,

ln

1 ,  

 e a

a 时

当 1 ,

0 时有一实根

故当  a  e 1 . 时没有实根 当a  e

. 0 )

( 1 ,

) 2

(  f  x 

x a时

当 f (x)单调递减. , )

(ln lim

) (

lim    







 f x x ax

x

且 x

, 1 1

1  ln 



 





a f a

, 0 1 1

ln

1 ,  

 e a

a 时

当 1 1 0,

ln

1 ,  

 e a

a 时

当 1 ,

0 时有一实根

故当  a  e 1 . 时没有实根 当a  e

. ,

ln 1 ,

) 3

( x e

e x x

a  e时  则  当

1 , 0

,当 时方程有两实根

综上所述  a  e 1 , 时没有实根 当a  e

1 .

e e x

a  时有一实根  当

.函数极值的判别法 二

1. 函数极值的定义与图形 :

o x

y

注意 :(1) 极值是局部性质 .

(2) 极大值不一定比极小值大，反之亦然 .

2. 极值存在的必要条件

定理 1. 设函数f (x)在x₀可导,若x₀为极值点,则f (x₀)  0. ---Fermat 定理

注意 :

(1) 导数为 0 的点称为函数的驻点(.f (x₀)  0) (2) 可导函数的极值点一定是驻点 .

(3) 驻点只是可能的极值点 . :

3在 0的情况

考虑y  x x 

, 0

, 0

3 ² 得 是驻点

由y  x  x 

.

0不是 ³的极值点

但x  y  x

如图 .

o x

y

(4) 极值点应包含在驻点和不可导点之中 . :

0的情况

在

考虑y  x x 

,

0处不可导

在

由定义可得y  x x  .

0是 的极值点

但x  y  x 如图 .

o x

y

3. 极值存在的第一充分条件

定理 2.设函数f (x)在U( x₀, )内可导 ,且 f (x₀)  0. , 0 )

( ,

0 )

(

(1)当x  x₀时f  x  当x  x₀时f  x  ).

( )

(x x₀ f x₀

f 在 处取得极大值 则

, 0 )

( ,

0 )

(

(2)当x  x₀时f  x  当x  x₀时f  x  ).

( )

(x x₀ f x₀

f 在 处取得极小值 则

, 0 )

( 0

) ( )

~ , (

(3)当x U x₀  时f  x  或f  x  .

)

( ₀ 不是极值

则f x

证明 :

, 0 )

( ,

(1)当x  x₀时 f  x 

故 f(x) 单调递增 .  f (x)  f ( x₀).

, 0 )

(

0 ,  

 x f x

x 时

当

故 f(x) 单调递减 .  f (x)  f ( x₀).

).

( )

( ,

)

~ ,

( x₀ f x f x₀

U

x  时 都有 

即 

. )

(x₀ 为极大值

 f

同理可证得结论 (2),(3) 成立 . 由极值的定义来证明 .

极值存在的第一充分条件的图形记忆法 .

极大 o x

y



 :  0 y

极小 o x

y



 :  0 y

没有极值 o x

y

 : 

y o x

y

 :  y

4. 极值存在的第二充分条件 定理 3.

则 且

内二阶可导 在

设f (x) U(x₀, ) , f (x₀)  0 , f (x₀)  0. .

, 0 )

(

(1) 若f  x₀  则 x₀ 为极小值点 . ,

0 )

(

(2) 若f  x₀  则 x₀ 为极大值点 证明 :

0 0 0

) (

) lim (

) (

) 1 (

0 x x

x f

x x f

f x x 

 

 

 

 ( ) 0

lim

0 0

 

 

 x x x f

x x

, 0 )

(

0 ,  



当 x x 时 f x

. 0 )

(

0 ,  

 x f x

x 时

当

0 是极小值点. 从而 x

同理可证得 (2) 成立 .

注意 :

(1) 使二阶导数不为 0 的点一定是极值点 .

. ,

, )

( 0

) (

) 2

( _{0 0}

只能用第一充分条件 定

不能用第二充分条件判

不存在 或

若f  x  f  x

5. 求极值的步骤

. )

(

(1)写出 f x 的定义域

).

( (2) 计算 f  x

(3) 求出驻点和不可导点 .

(4) 由充分条件定理判定驻点和不可导点是否是极值点 . (5) 求出极值点处的函数值即得全部极值 .

函数的极值习例 函数的极值习例

例 7. 求f (x)  2x³  3x²  12x  21的极值. 例 8. 求f (x)  (2x  5)³ x²的极值.

例 9. 求f (x)  (x²  1)³  1的极值.

例 10. , ( ) . 2

1 2

1 0

)

( 求 的极值

设 f x

x x

x x x

f 









 

例 11.

.

; , ,

2 ,

1 ,

ln )

( ²

小值 并确定是极大值还是极

求 有极值

处 在

设

b a

x x

x bx

x a

x

f     

. 21

12 3

2 )

( .

7 求 ^{3 2} 的极值

例 f x  x  x  x  解 : f (x )的定义域为 ( ,).

).

2 )(

1 (

6 12

6 6

)

(  ²     

 x x x x x

f

. 2 ,

1 ,

0 )

(  ₁   ₂ 

 x x x

f 得

令

列表讨论如下 :

x (,1)  1 (1,2) 2 (2,) )

(x

f   0  0 

) (x

f 极大 极小

, 28 )

1 ( 

极大值为 f 极小值为 f (2)  1.

. )

5 2

( )

( .

8 求 ^{3 2}的极值

例 f x  x  x

解 : f (x )的定义域为( ,). . 3

) 1 (

) 10

( ₃

x x x

f   

. 1 ,

0 )

(  

 x x

f 得

令 且 x  0为不可导点. 列表讨论如下 :

x (,0) 0 (0,1) 1 (1,) )

(x

f   不存在  0 

) (x

f 极大 极小

, 0 )

0

( 

极大值为 f 极小值为 f (1)  3.

. 1

) 1 (

) ( .

9 求 ^{2 3} 的极值

例 f x  x  

解 : f (x )的定义域为 ( ,).

. ) 1 (

6 )

(  ²  ²

 x x x f

. 1 ,

0 ,

1 ,

0 )

(     

 x x x x

f 得

令

列表讨论如下 :

x (,1)  1 (1,0) 0 (0,1) 1 (1,) )

(x

f   0  0  0 

) (x

f 极小

. 0 )

0 ( )

( 

 f x 只有极小值 f

注 : 也可用二阶导数来判定极值 !

. )

( 2,

1 2

1 0

)

( .

10 设 求 的极值

例 f x

x x

x x x

f 









 

解 : 当 0  x  1时 , f (x)  1  0. . 0 1

) ( ,

2

1  x  时 f  x    当

. )

(x 没有驻点

 f

1

) 1 ( )

lim ( )

1 (

1 

 

  

 x

f x

f f

但 x 1,

1 1 lim 2

1  





 

  x x

x

1

) 1 ( )

lim ( )

1

( 1 

 

  

 x

f x

f f

x 1,

1 lim 1

1 



 

  x x

x

. 1为不可导点



 x

列表讨论如下 :

x (0,1) 1 (1,2) )

(x

f   不存在 

) (x

f 极大

. 1 )

1 ( )

( 

 f x 有极大值 f

.

; , ,

2 ,

1 ,

ln )

( .

11 ²

小值 并确定是极大值还是极

求 有极值

处 在

设 例

b a

x x

x bx

x a

x

f     

解 : ( )   2bx  1, x

x a

f ( ) ₂ 2b,

x x a

f     ,

2 ,

1 )

(x 在 x  x  处有极值

 f

. 0 )

2 ( ,

0 )

1

(   

 f  f

0, 1

2 4

0 1

2 















 a b

b a

即 .

6 , 1

3

2  





a b

3. 1 3

) 2 (

  ₂ 

x x 从而 f

, 3 0

) 1 1

(  

f 

  f (1 )是极小值; ,

6 0 ) 1

2

(   

f 

  f (2 )是极大值.

.函数的最值 三

1. 闭区间 [a,b] 上可导函数 f(x) 的最值 .



^{( ), ( ), ( ), , ( )}



^.

max f a f b f x₁ f x_n

M  



^{( ), ( ), ( ), , ( )}



^.

min f a f b f x₁ f x_n

m  

. )

, ,

2 , 1

( 为驻点

其中x_i i   n

2. 闭区间 [a,b] 上连续函数 f(x) 的最值 .



^{( ), ( ), ( ), , ( ), ( ), , ( )}



^.

max f a f b f x₁ f x_n f t₁ f t_m

M   



^{( ), ( ), ( ), , ( ), ( ), , ( )}



^.

min f a f b f x₁ f x_n f t₁ f t_m

m   

; )

, ,

2 , 1

( 为驻点

其中x_i i   n t _j ( j  1,2,, m)为不可导点.

3. 开区间 (a,b) 或无穷区间上的最值 .

这时可能有最值，可能没有最值 . 对于 (a,b),

. ,

) ( lim

), (

lim

都小则没有最小值 最大值

处的函数值都大则没有

比驻点和不可导点 若 f x f x

b x a

x ^  ^

. ,

) ( lim

), (

lim ),

, (

都小则没有最小值 最大值

处的函数值都大则没有 点

比驻点和不可导 若

对于 f x f x

x

x 





4. f(x) 在 I 内可导 , 且只有唯一一个驻点 x₀ 时的最值 . . )

( ₀ 为极大值时即为最大值 当f x

o x

y 当f (x₀)为极小值时即为最小值.

o x y

5. 实际问题的最值 若驻点 x₀ 为极值点 ,

x0 x0

实际问题中 , 可根据问题的性质判定可导函数有最值 , 而且在区间内部取得 . 若 f(x) 在区间内部只有一个驻点 , 则一定在驻点处取得最值 .

函数的最值习例 函数的最值习例

例 12. ] .

2 , 3 0 [ )

2 (

) 1 (

)

( ^{2 3} 在 上的最值

求f x  x  x 

例 13. 从一块边长为 a 的正方形铁皮的四角上截去同样 大小的正方形，然后折成一个无盖盒子，问要截 截去多大的小方块，才使盒子容量最大？

例 14. 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁 , 问矩形截 面 的高 h 和宽 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模 量最大？

例 12. ] . 2

, 3 0 [ )

2 (

) 1 (

)

( ^{2 3} 在 上的最值

求f x  x  x 

解 : f (x)  2( x  1)(x  2)³  (x  1)²3(x  2)² )

7 5

( ) 2 )(

1

(   ² 

 x x x

2 5 ,

, 7 1 0

)

(  ₁  ₂  ₃ 

 x x x x

f 得

令 ( 舍去 )

, 8 )

0

(  

f f (1)  0, 3125,

) 108 5

(7  

f .

32 ) 1

2

(3   f

, 0 )

1

( 

最大值为 f 最小值为 f (0)  8. 而

例 13. 从一块边长为 a 的正方形铁皮的四角上截去同样 大小的正方形，然后折成一个无盖盒子，问要 截去多大的小方块，才使盒子容量最大？

解 : 如图所示 a

x 2)

0 ( , ) 2 (

)

( ² a

x x

a x x

V    

, 0 )

6 )(

2 (

)

(    

 x a x a x

令V

2 .

6 ,

x a x  a  得

6 为极大值点, x  a



. 6的小方块时,可达到盒子容量最大 当截去边长为 a

x 



注意 :

利用最大最小值可证明不等式 . 6 .

2) , 0

( a

a 内只有唯一驻点 x  在

. 0 4

) 8 24

( 6)

(

6









 a  x a _ a

V _x ^a

且

例 14. 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁 , 问矩形截 面 的高 h 和宽 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模 量最大？

h b d

解 : 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量

为 ²

61 bh

w   ₆¹ b(d ²  b²), b(0,d ) 令 w  ¹₆(d²  3b²)  0

得 b  ¹₃ d 从而有

1 : 2 :

3 :

: h b  d

2

2 b

d

h    ₃² d 即

由实际意义可知 , 所求最值存 在 ,

且驻点只一个 , 故所求结果就是最好的选择 .

思考题：

^{习题 2.3 第 1 题（ 1 ）到}

（ 3 ）

思考题参考答案

课堂练习：

^{习题 2.3 第 13 题到第 16}

题练习参考答案