第八节 函数的连续性与间断点

二、 函数的间断点

一、 函数连续性的定义

第八节

函数的连续性与间断点

第一章

可见 , 函数f (x) _在点 x₀

一、 函数连续性的定义

定义 :

) (x f

y  _在 x_{0 的某邻域内有定义} , ,

) (

) (

lim ₀

0

x f x

x f

x 

 则称函数 f (x)在x₀ 连续.

(1) f (x) _在点 x_{0 即} f (x₀) (2) 极限 lim ( )

0

x

x f

x

(3) lim ( ) ( ₀).

0

x f x

x f

x 



设函数

连续必须具备下列条件 :

存在 ;

且

有定义 , 存在 ;

continue )

( )

( lim

, ) ,

( ₀

0 P x P x

x     x x 

 

若 f (x) 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 连续 , 或称它为该区间上的连续函数 .

. ] , [ a b C

例如 , P(x)  a0  a1x  a_nxⁿ

在 (, ) _上连续 .

( 有理整函数 )

又如 , 有理分式函数

) (

) ) (

( Q x

x x P

R 

在其定义域内连续 . 在闭区间 [a , b] 上的连续函数的集合记作

只要 Q(x₀ )  0, _都有 lim ( ) ( ₀)

0

x R x

x R

x 



对自变量的增量x  x  x₀, _{有函数的增量} )

( )

(x f x₀ f

y  

  f (x₀  x)  f (x₀)

) (x f y 

O x y

x0 ^x

x

y

) (

) (

lim ₀

0

x f x

x f

x 

 lim ( ₀ ) ( ₀)

0 f x x f x

x   





0 lim0  



 y

x

) (

) (

)

(x₀^  f x₀  f x₀^ f

左连续 右连续

,

 0

     0 ,

^当

x  x

₀

  x  

_时 , 有









 f x y x

f ( ) ( )

函数

f ( x )

_在点 x_{0 连续有下列等价命题} :

例 . 证明函数y  sin x _在(,   )_内连续 . 证 : x (,  )

x x

x

y  sin(   )  sin

  2sin ^₂^x cos(x  ^₂^x ) )

cos(

sin

2 ₂^x x ₂^x

y ^{ }

  

1 2 ₂ 

 ^{ x}  x x  0 即 lim 0

0  



 y

x

这说明 y  sin x _在 (,   )_内连续 .

同样可证 : 函数y  cos x _在(,   )_内连续 . 0

在 在

二、 函数的间断点

(1) 函数

f ( x ) x

₀

(2) 函数

f ( x ) x

₀

lim ( )

0

x

x

f

x 不存在 ;

(3) 函数

f ( x ) x

₀

lim ( )

0

x

x

f

x 存在 , 但

) (

) (

lim

₀

0

x f x

x

f

x





不连续 :

x

0

设

f ( x )

_在点

x

0 的某去心邻域内有定义 ,则下列情形

这样的点

x

₀

之一 , 函数 f (x) 在 点

虽有定义 , 但 虽有定义 , 且

称为间断点 .

在 无定义 ;

间断点分类 :

第一类间断点 :

) ( x

₀^

f

及

f ( x

₀^

)

_均存在 ,

, ) (

)

( x

₀^

 f x

₀^

若

f

称

x

₀

, ) (

)

( x

₀^

 f x

₀^

若

f

称

x

₀

第二类间断点 :

) ( x

₀^

f

_及

f ( x

₀^

)

_{中至少一个不存在 ,}

称

x

₀

若其中有一个为振荡 ,称

x

₀

若其中有一个为

 ,

为可去间断点 . 为跳跃间断点 .

为无穷间断点 . 为振荡间断点 .

x y tan )

1

( 

2

 π

x _{为其无穷间断点 .}

 0

x _{为其振荡间断点} .

y 1x

sin )

2

( 

 1

x _{为可去间断点 .} 1

) 1 3

( ²



  x y x

例如 :

x y  tan

2 x

y O

x y

y 1x

 sin O

x y

O 1

1

) 1 ( 1

) (

lim1 f x f

x  

显然 

 1

x

_{为其可去间断点} .

 





 

 , 1

1 ) ,

(

2

1

x

x x x

f y

(4)

x O

y

121

(5)



 





   





0 ,

1

0 ,

0

0 ,

1 )

(

x x

x x x

x f y

x y

O

1

1

, 1 )

0

(

^

 

f f ( 0

^

)  1

 0

x _{为其跳跃间断点 .}

内容小结

) (

) (

lim ₀

0

x f x

x f

x 

 lim [ ( ₀ ) ( ₀)] 0

0    



 f x x f x

x

) (

) (

)

(x₀^  f x₀  f x₀^ f

左连续 右连续 )

( .

2 f x x₀

第一类间断点 可去间断点

跳跃间断点 左右极限都存在 第二类间断点 无穷间断点

振荡间断点

左右极限至少有一 个不存在

在点 间断的类型 )

( .

1 f x _在点

x

_{0 连续的等价形式}

思考与练习

1. 讨论函数

2 3

) 1

( ₂

2





 

x x

x x f

x = 2 是第二类无穷间断点

.

间断点的类型 .

2. 设









 

0 ,

0 ,

) sin

( ₂¹

x x

a

x x x

f ^x , a  ____ _时

提示 : f (0^ )  0 , f (0^ )  f (0)  a 0

3. P65 题 3 , ^*8

) (x

f _为

连续函数 .

答案 : x = 1 是第一类可去间断点 ,

P65 题 ^*8 提 示 :

x x

x

f sin π

1 sinπ

) 1

(  

作业

P65 4 ; 5

x y

O

1

 1

备用题

^{确定函数 间断点的类型 .}

xx

x f

 



e1

1 ) 1

( 解 : 间断点x  0, x 1

) ( lim0 f x

x

   ,  x  0_{为无穷间断点} ; ,

1 时

当 x  ^ 

 x x

1   ,  f (x)  0 ,

1 时

当 x  ^ 

 x x

1   ,  f (x) 1 故 x  1 _{为跳跃间断点} .

, 1

,

0 处

在 x  f (x)连续.