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“2” ：三角函数有理式的积分



^{R(sin x,cos x)dx  R} ₁ ^2u_u^{2 ,}₁¹ _u^{u22 }_1²_u^{2 du}



 













“3” ：简单无理函数的积分

讨论类型 R(x,ⁿ ax  b) ( ,ⁿ ) e cx

b x ax

R 



“ 注意”

某些初等函数的原函数不是初等函数 如



^ex2dx



^sin_x ^{x dx}



_ln¹_x ^dx



_{1 }¹ _x^{4 dx}

“1” ：

有理式分解成部分分式之和的积分 .

a b x y

o

 ? A

实例 1 （求曲边梯形的面积）

5.1 定积分的概念

a b x

y

o

（四个小矩形）

a b x

y

o

（九个小矩形）

观察下列演示过程，注意当分割加细时，

矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

播放播放

1 、分割

a b ^x

y

o

0 1 2 _n 1 _n ,

a x  x x    x _  x  b   xi xi xi_1

i

[x_i1, ]x_i _i 在上任取一点，

xi

x1 x_i1 x_n1

2

、近似

^{Ai  f (}^{i )xi}

3 、求和 i

n

i f i x

A 







) (

1



1 2

max{ ,

4、、、、    x x ,x_n}  0 、、

i n

i f i x

A 





  ( ) lim

0 1 



实例 2 变速直线运动的路程

2 1

2 1

0

1 t t t t t T

T       _n  _n  t_i  t_i  t_i1

i i

i v t

s  

 ( )

3) 求和 : ^{i i}

n

i n

i

i v t

s

s  ( )

1

1





 





4 ）取极限 :   max{t₁,t₂,,t_n}

路程的精确值 i

n

i v i t

s 





  ( ) lim

0 1 



1 ）分割 :

i i 1 i

2

）近似：任取则 

[t , t ],_

1 2

( ) [ , ]

v t  C T T

定义 在[a,b]_{中任意插入}

若干个分点 a  x₀  x₁  x₂    x_n1  x_n  b

1





x_i x_i x_{i ，}(i1,2,)_{，在各小区间上任取}

记   max{  x ₁ ,  x ₂ ,  ,  x _n } _，

定积分的定义

[ 1, ]

i xi xi



 _{ ，}

0 1

( ) lim ⁿ ( )

b

i i

a i

f x dx f x





 











a^bf(x)dx^I^{ n} _{i i}

i

x f 





 ( )

lim

0 1





被 积 函

数 _{被积表达式} 积分变量

积分下限 积分上限

积分区间 ]

, [a b

积分和

注意 ：



a^b f (x)dx ^



a^b f (t)dt ^



a^b f (u)du

（2）定义中区间的分法和



i^{的取法是任意的.}

, 0 )

( x 

f



a^b f (x)dx ^ A _{曲边梯形的面积} ,

0 )

( x 

f



a^b f (x)dx ^{ } A _{曲边梯形的面积的负值}

（ 3 ）定积分的几何意义

( ) ,

x f x

x a x x

b

x

 

它是介于轴、函数的图形及两条

直线之间的各部 面积的代数和 轴上方的面积取正号；在轴下方的面 积

分．

在

取负号．

 

 

A1

A2 A³

A4

4 3

2

) 1

(x dx A A A A

b f



a ^

^

^

^

（ 4 ） f(x) 在 [a,b] 上有界是 f(x) 在 [a,b] 上可积的必要条 件；

即：“可积函数一定有界”或 “无界一定不可积”

但是：“有界不一定可积”例如：狄利克雷函数



 

 当 是无理数时 是有理数时 当

x x x

D

y 0

) 1 (

有理数点 无理数点•

1

x y

o

有界，但是不可积！

（ 5 ） [a,b] 有限是 f(x) 在 [a,b] 上可积的必要条件。

即：“ f(x) 在 [a,b] 上可积，则区间有限”

或：“区间无限，则不可积”

（因为总有一个小区间长度为无穷）

但是：“区间有限，也不一定可积”

定理 1 当函数f(x)_在区间[a,b]_{上连续时，}

称f(x)_在区间[a,b]_上可积.

定理 2 ^设函数f(x)_在区间[a,b]_上有界，

且只有有限个间断点，则f(x)_在

区间[a,b]_上可积.

三、存在定理 （两充分条件不作深入讨论）

1 .

0

2dx



x

解：连续则可积，故积分与区间的分法、取点法无关。

将

[ 0 , 1 ] n

_{等分，分点为}

n

x

_i

 i

_，⁽

i  1 , 2 ,  , n

⁾

小区间

[ x

_i1

, x

_i

]

_的长度

x

_i

n 1





_，⁽

i  1 , 2 ,  , n

⁾

取 

_i

 x

_i

_，

⁽

^{i  1 , 2 ,} _ ^{, n}

⁾

i i

n i

x f (



)





1

 ^{i i}

n

i

x







2 1



n n

i

n

i

2 1

1

 



 

















ⁿ

i

n

₁

i

2 3

1

6

) 1 2

)(

1 (

1

3



 

 n n n

n

例 1 利用定义计算定积分

1 , 1 2

6 1

1 



 

 



 

 

 n n







 0 n



dx



0¹

x

2 i i

n i

 x

 

 

2 0 1

lim 





 

 



 

 

 ⁿ n n

2 1 1 1

6

lim 1 ^.

3

 1

P 1(2) ： 利用定义计算定积分



¹

0

dx e^x

解 将 [0,1]

n

_{等分，左侧取点}

x n n

i

i i

, 1

1 

  

 _{f (}_{i )  e}^in1

] 1[

) (

1 2

1 0

1

n n n

i n n

i

i e e e e

x n f















^{ }  ^{ 等比数列}

n n n

e e

n ¹

1

1

) (

1 1



 



1 1 )

1

( ₁







en

e n    n  

n, 0 1 



1 1 lim

1 1

lim 1 0 

 

 ^



 x x

n n e

x e



n

  n

i

i

i x

f

0 1 ( )

lim  



1 1 )

1 (

lim ₁





  n n

e

e n  e  1

观察下列演示过程，注意当分割加细时，

矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

3

观察下列演示过程，注意当分割加细时，

矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

13

观察下列演示过程，注意当分割加细时，

矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

23

观察下列演示过程，注意当分割加细时，

矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

33

观察下列演示过程，注意当分割加细时，

矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

43

观察下列演示过程，注意当分割加细时，

矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

53

观察下列演示过程，注意当分割加细时，

矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

63

观察下列演示过程，注意当分割加细时，

矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

73

观察下列演示过程，注意当分割加细时，

矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

83

观察下列演示过程，注意当分割加细时，

矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

93

观察下列演示过程，注意当分割加细时，

矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

103

观察下列演示过程，注意当分割加细时，

矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

113

观察下列演示过程，注意当分割加细时，

矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

123

观察下列演示过程，注意当分割加细时，

矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

133

观察下列演示过程，注意当分割加细时，

矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

143